九年级数学下册 第二章 二次函数2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案 （新版）北师大版

PAGE1PAGE2九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案（新版）北师大版课题九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案（新版）北师大版课程基本信息1.课程名称：九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a（x-h）2的图象与性质教案

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年4月10日星期一上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.培养学生运用二次函数解析式分析函数图象与几何性质的能力。

2.培养学生观察、分析、归纳和抽象思维能力，理解函数图象与系数的关系。

3.培养学生运用数学语言表达数学思想，提高数学表达和交流能力。

4.增强学生对数学与实际生活联系的认识，提高解决实际问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握的知识：在进入本节课之前，学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c及其图象的基本特征。他们能够识别二次函数的顶点、对称轴以及开口方向。

2.学习兴趣、能力和学习风格：九年级学生对数学仍然保持一定的兴趣，尤其对图形和图像相关的知识更感兴趣。他们的数学能力已经具备一定的逻辑推理和抽象思维能力，能够通过观察和分析来理解数学概念。学习风格上，部分学生偏好通过直观图形理解抽象概念，而另一部分学生则更倾向于通过代数方法来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习二次函数的图象与性质时，可能会遇到以下困难：一是理解二次函数顶点的坐标与系数之间的关系；二是区分不同系数情况下二次函数图象的形状和位置；三是将二次函数的性质应用到解决实际问题中。这些困难可能源于对二次函数概念的理解不够深入，或者是对数学语言表达的理解不够清晰。教学方法与策略1.采用讲授法与小组讨论相结合的方式，首先通过讲解二次函数y=a(x-h)^2的标准形式，帮助学生理解其图象的对称性和顶点坐标。

2.设计小组合作活动，让学生通过绘制函数图象，观察不同a、h值对图象的影响，培养学生的观察和分析能力。

3.利用多媒体展示二次函数图象的动态变化，帮助学生直观理解函数性质。

4.结合实际问题，如抛物线运动轨迹等，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力和创新能力。教学过程1.导入新课

（老师）同学们，我们上节课学习了二次函数的一般形式，现在请大家回顾一下二次函数的基本性质。今天我们要继续探索二次函数的图象与性质，特别是二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质。首先，请同学们思考一下，这个形式与之前学习的二次函数有什么不同？

（学生）老师，这个形式多了h，它好像与函数图象的平移有关。

（老师）很好，同学们观察得很仔细。今天我们就来深入探讨这个形式，理解它对二次函数图象的影响。

2.讲解二次函数y=a(x-h)^2的标准形式

（老师）同学们，现在我们来看一下二次函数y=a(x-h)^2的标准形式。这里，a、h分别代表什么？它们对函数图象有什么影响？

（学生）a代表二次项系数，h代表平移量。

（老师）正确。当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下。而h的值则决定了函数图象在x轴方向上的平移。

3.动手绘制函数图象

（老师）接下来，请同学们拿出练习本，尝试绘制几个二次函数y=a(x-h)^2的图象。注意观察不同a、h值对图象的影响。

（学生）老师，我画出了y=2(x-1)^2的图象，发现开口向上，且顶点在(1,0)。

（老师）很好，同学们已经成功绘制出了函数图象。接下来，请同学们比较一下y=2(x+1)^2和y=2(x-1)^2的图象，看看它们有什么不同。

（学生）老师，我发现y=2(x+1)^2的图象比y=2(x-1)^2的图象向左平移了2个单位。

（老师）同学们观察得很仔细。现在，请同学们尝试绘制y=-3(x-2)^2的图象，并观察其开口方向和平移情况。

4.小组合作，探究函数性质

（老师）同学们，现在我们已经掌握了二次函数y=a(x-h)^2的图象特征。接下来，请同学们以小组为单位，探究以下问题：

（1）当a、h取不同值时，函数图象的形状、开口方向和顶点坐标如何变化？

（2）如何根据二次函数的系数判断其图象的开口方向和平移情况？

（学生）我们小组讨论后发现，当a>0时，函数图象开口向上，且顶点坐标为(h,0)；当a<0时，函数图象开口向下，且顶点坐标为(h,0)；当h>0时，函数图象向右平移h个单位；当h<0时，函数图象向左平移|h|个单位。

（老师）非常好，同学们已经成功探究出了二次函数y=a(x-h)^2的性质。现在，请同学们尝试将所学知识应用到实际问题中。

5.应用所学知识解决实际问题

（老师）同学们，请看这样一个实际问题：一个抛物线运动轨迹的方程为y=2(x-1)^2。请根据这个方程，回答以下问题：

（1）该抛物线的开口方向是什么？

（2）该抛物线的顶点坐标是多少？

（3）当x=3时，抛物线上的点坐标是多少？

（学生）老师，根据方程，我们可以得出以下答案：

（1）该抛物线的开口方向是向上。

（2）该抛物线的顶点坐标是(1,0)。

（3）当x=3时，抛物线上的点坐标是(3,8)。

（老师）很好，同学们已经成功地将所学知识应用到实际问题中。现在，请同学们尝试自己解决以下问题：

问题1：请绘制二次函数y=-3(x+2)^2的图象，并观察其性质。

问题2：已知二次函数的顶点坐标为(-1,4)，且开口向下，请写出该函数的解析式。

6.总结与反思

（老师）同学们，今天我们学习了二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质。通过这节课的学习，我们掌握了二次函数的平移规律，以及如何根据系数判断函数图象的开口方向和平移情况。同时，我们还学会了将所学知识应用到实际问题中。

（学生）老师，我们通过这节课的学习，对二次函数的图象与性质有了更深入的理解，也学会了如何解决实际问题。

（老师）很好，同学们。希望你们在今后的学习中，能够继续努力，不断提高自己的数学能力。下课！拓展与延伸六、拓展与延伸

1.拓展阅读材料：

-《二次函数在物理学中的应用》：介绍二次函数在抛物线运动、简谐振动等物理现象中的应用，帮助学生理解数学与物理的关联。

-《二次函数在经济问题中的应用》：分析二次函数在经济学中的模型构建，如成本函数、收益函数等，让学生体会到数学在解决实际问题中的价值。

-《二次函数在工程学中的应用》：探讨二次函数在工程设计、建筑结构分析等领域的应用，增强学生对数学应用的认识。

2.课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己推导二次函数y=a(x-h)^2的顶点坐标公式，并验证其正确性。

-通过绘制不同系数a、h值的二次函数图象，探究函数图象的对称性，并尝试总结规律。

-研究二次函数在解决实际问题中的应用，如求解二次方程的根、优化问题等，提高学生的实际应用能力。

-鼓励学生探索二次函数与其他数学知识（如一次函数、指数函数等）之间的关系，拓宽学生的数学视野。

-学生可以尝试将二次函数应用于生活中的实际问题，如计算抛物线运动的最高点、最小点等，提高学生的数学素养。

3.综合实践活动：

-组织学生开展“二次函数设计大赛”，让学生利用所学知识设计具有实际意义的二次函数模型，如最佳路径设计、最佳投资策略等。

-邀请相关领域的专家为学生举办讲座，让学生了解二次函数在各个领域的应用，激发学生的学习兴趣。

-开展小组合作学习，让学生在合作中共同探究二次函数的性质和应用，培养学生的团队协作能力。

4.家庭作业建议：

-完成课后习题，巩固二次函数的性质和应用。

-查阅相关资料，了解二次函数在其他领域的应用。

-尝试解决一些实际生活中的问题，如计算最佳购买数量、最佳生产数量等，提高学生的数学应用能力。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学与生活》中关于二次函数在实际生活中的应用案例，如建筑设计中的抛物线屋顶、运动轨迹分析等。

-视频资源：《二次函数在物理学中的应用》科普视频，通过动画演示抛物线运动的原理。

2.拓展要求：

-学生在课后可以选择阅读上述材料或观看视频，了解二次函数在实际生活中的应用。

-鼓励学生思考二次函数如何解决实际问题，并尝试将所学知识应用于日常生活中的情境。

-教师可以组织学生进行小组讨论，分享各自的阅读心得和观看视频后的理解。

-学生可以尝试自己设计一些简单的二次函数问题，如优化问题、成本收益分析等，并尝试解决。

-对于有疑问的学生，教师应提供必要的指导和帮助，如解答疑问、推荐相关学习资源等。

-学生可以通过绘制函数图象来直观地观察函数的变化，加深对二次函数性质的理解。

-鼓励学生探索二次函数与其他数学知识（如一次函数、指数函数等）的结合，如构建复合函数模型。

-学生可以尝试将二次函数应用于科学实验或工程设计的模拟，如模拟抛物线运动轨迹的实验设计。教学评价1.课堂评价：

-在课堂上，我将通过提问的方式检查学生对二次函数y=a(x-h)^2的图象与性质的理解程度。我将提出一系列问题，如函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向等，以评估学生的知识掌握情况。

-观察学生的课堂参与度，包括他们是否积极参与讨论、是否能够正确绘制函数图象等，以此来评估学生的参与度和实践能力。

-在课堂上进行小测验，测试学生对二次函数图象与性质的掌握程度，及时发现问题并给予个别辅导。

2.作业评价：

-对学生的作业进行认真批改，重点关注学生是否能够正确运用二次函数的性质来解决实际问题。

-提供详细的点评，指出学生的优点和需要改进的地方，鼓励学生在未来的学习中继续努力。

-及时反馈学生的学习效果，对于作业中的错误，提供具体的纠正方法，帮助学生理解和掌握正确的解题思路。

-鼓励学生在遇到困难时寻求帮助，无论是同学间的互助还是向教师寻求解答，以此来提高学生的学习自主性和解决问题的能力。

-定期对学生的作业进行统计分析，了解整体学习情况，根据学生的反馈和表现调整教学策略，确保每个学生都能在课堂上得到有效的学习体验。教学反思教学这节课，我觉得有几个方面做得还可以，也有一些地方需要改进。

首先，我觉得课堂上的互动挺不错的。学生们对于二次函数的性质都很感兴趣，讨论很活跃。看到他们能够通过小组合作，自己发现并总结出函数图象的变化规律，我挺欣慰的。但是，我发现有些学生对于如何将理论知识应用到实际问题中还是有些吃力，这可能是我在讲解时没有做到足够的启发和引导。

其次，我在课堂上采用了多媒体教学，通过动态展示二次函数图象的变化，让学生直观地感受到了函数的性质。这种方法确实提高了学生的兴趣，但也有些学生反映说，虽然图象很直观，但他们对函数解析式的理解还是不够深入。这可能需要我在今后的教学中更加注重解析式的讲解和实际应用。

再者，我觉得作业批改后学生的反馈很有价值。有的学生能通过作业发现自己对某些概念的理解不够清晰，有的学生则能通过作业巩固所学知识。但是，我也发现有些学生的作业完成质量不高，可能是他们对作业不够重视或者没有充分理解作业的要求。这让我意识到，在布置作业时，我需要更加明确作业的目的和重要性，同时也要关注学生的作业完成情况。内容逻辑关系:①本文重点知识点：

-二次函数y=a(x-h)^2的标准形式

-函数图象的顶点坐标（h,0）

-函数图象的对称轴x=h

-函数图象的开口方向由a的正负决定

-函数图象的平移规律

②关键词句：

-“二次函数y=a(x-h)^2的图象是一个顶点在(h,0)的抛物线。”

-“当a>0时，抛物线