初中数学九年级上册 用树状图或表格求概率 教案

初中数学九年级上册用树状图或表格求概率教案

一、设计理念

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的核心素养，特别是数据观念、模型观念、推理能力和应用意识。教学设计的核心理念是“在真实情境中构建模型，在问题解决中发展思维”。

摒弃传统教学中对树状图和表格法的机械套用，本设计将这两种列举方法置于“系统化解决复杂等可能性问题”的认知框架下。通过创设从简单到复杂、从生活到数学的序列化问题情境，引导学生亲历“感知列举的必要性—探索列举的策略性—优化列举的系统性—内化列举的模型性”的完整认知过程。教学强调对“等可能性”这一前提的深刻理解与自觉检验，将树状图与表格从“计算工具”提升为“思维支架”与“表达语言”，促进学生对随机现象进行有序、不重不漏的数学思考，实现从具体操作到抽象思维的跨越。

教学设计融入跨学科视角，将概率问题与决策科学、信息编码、游戏设计等建立联系，展现数学的广泛应用价值。全过程贯穿“提出问题—建立模型—求解验证—解释应用”的探究主线，鼓励合作学习与批判性思维，旨在培养学生面对不确定世界时严谨、理性的科学态度和解决问题的结构化能力。

二、课程内容标准与教材分析

（一）内容标准关联

本节课对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“统计与概率”领域第三学段（7-9年级）的“随机事件与概率”主题。具体要求包括：

1.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并计算简单随机事件的概率。

2.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。

3.能结合具体情境，理解随机现象发生的可能性有大小，并能进行定性描述和定量分析。

本节课是上述标准第一条的核心载体，是学生系统学习概率计算从“一步”到“两步及两步以上”的关键转折点，为后续学习更复杂的概率问题（如非等可能、放回与不放回）奠定方法论基础。

（二）教材（北师大版九年级上册）分析

在北师大版教材体系中，本节内容是继“认识概率”、“用频率估计概率”之后，对概率进行精确计算的首次系统性教学。教材通过“配紫色游戏”、“掷骰子”等典型问题，自然引出了用树状图或表格进行列举的方法。其编排逻辑是由具体实例抽象出方法，再应用方法解决问题。本设计在尊重教材主干逻辑的基础上，对问题情境进行了重组与深化，加强了方法的对比与选择，强化了“等可能性”前提的辨析，并设计了更具思维梯度和现实意义的拓展环节，旨在实现从“教教材”到“用教材教”的转变。

三、学情分析

（一）已有认知基础

1.知识基础：九年级学生已经理解了随机事件、必然事件、不可能事件的概念；知道了概率的意义及其取值范围（0≤P(A)≤1）；掌握了等可能事件概率的古典概型计算公式P(A)=m/n（事件A包含的可能结果数m除以所有等可能结果的总数n）；能够计算涉及一步操作的简单等可能事件的概率（如抛一枚均匀硬币、掷一个均匀骰子）。

2.经验基础：学生在生活中对“可能性”有丰富的感性经验，在小学阶段接触过简单的列举法（如搭配问题），在七、八年级学习“有理数的运算”、“一元二次方程”等内容时，具备一定的有序思维和分类讨论意识。

（二）潜在学习困难与障碍

1.认知障碍：从“一步试验”到“两步乃至多步试验”的跨越，学生难以自发形成系统、有序地列举所有等可能结果的方法。容易产生重复或遗漏。

2.理解误区：容易忽视“等可能性”这一使用树状图或表格法的前提条件，对非等可能试验（如质地不均匀的骰子）机械套用公式。对“有放回”与“无放回”两类模型的理解容易混淆，特别是对“无放回”情境下各步骤结果之间的关联性认识不足。

3.方法选择困惑：面对具体问题时，对何时选用树状图、何时选用表格缺乏判断依据，可能机械记忆或随意选择，未理解两种方法的内在联系与适用场景差异。

（三）教学对策预设

1.针对认知障碍：设计循序渐进的探究活动，从最简单、最直观的两步等可能试验（如两枚硬币）入手，让学生暴露原始的列举方式（可能是无序的），再通过对比、讨论，引导学生发现“有序思考”的优越性，自然生成树状图和表格这两种系统化的“有序工具”。

2.针对理解误区：在引入和练习环节，刻意设计正反例。例如，先讨论均匀硬币和骰子，再设问“如果硬币两面轻重不同，还能用树状图直接求正面朝上的概率吗？”，引发学生对“等可能性”前提的警觉和辨析。明确对比“有放回”与“无放回”的典型例题，引导学生关注树状图或表格中前后步骤结果集合的变化。

3.针对方法选择：不急于给出结论，而是提供同一问题的两种不同解决视角（如涉及两个因素的问题用表格可能更清晰，涉及多个步骤的问题用树状图更具延展性），让学生在应用和比较中体会，最终师生共同归纳出方法选择的一般性原则。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.理解并掌握用树状图或列表格的方法来列举两步及两步以上简单随机试验的所有等可能结果。

2.能准确区分“有放回”与“无放回”两种抽样模型，并能在树状图或表格中正确体现。

3.能熟练运用列举出的结果，计算指定事件的概率。

4.能根据具体问题的特征，灵活选择树状图或表格进行求解，并解释选择的理由。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，体会树状图和表格作为数学建模工具的价值。

2.在探索列举方法的过程中，发展有条理、不重不漏地进行思考的逻辑能力（有序思维）和分类讨论的能力。

3.通过对比树状图与表格的异同，提高对数学方法的评价与选择能力。

（三）情感态度与价值观

1.在解决富有现实意义的概率问题中，感受数学的应用价值，增强学习兴趣。

2.通过探究活动，养成合作交流、严谨求实的科学态度。

3.形成对随机现象的理性认识，理解世界的不确定性，培养基于概率分析的决策意识。

五、教学重点与难点

教学重点：用树状图或表格有序、不重不漏地列举两步随机试验的所有等可能结果，并计算事件的概率。

教学难点：

1.理解并确保使用树状图或表格法的前提——试验的每一步骤都是等可能的。

2.正确区分并处理“有放回”与“无放回”两种情形下的结果列举。

3.根据问题背景灵活选用合适的方法（树状图或表格），并理解其内在联系。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画、交互式树状图/表格生成演示、例题与变式）、实物教具（均匀硬币两枚、均匀骰子一个、红蓝小球各一个、不透明袋子）。

2.学生准备：预习教材相关章节，准备课堂练习本、直尺、彩笔。

3.学习环境：学生按4-6人组成异质合作学习小组，便于开展讨论与探究活动。

七、教学过程实施

第一环节：创设情境，激趣引思——感知列举的必要性(预计时间：8分钟)

教师活动：

1.呈现情境问题：“小明和小红打算用玩一个游戏来决定谁负责本周的班级值日。游戏规则如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一颗均匀的骰子。若硬币正面朝上且骰子点数大于4，则小明胜；若硬币反面朝上且骰子点数小于等于4，则小红胜；其余情况为平局，重新开始。这个游戏公平吗？”

2.设问引导：“要判断游戏是否公平，核心是判断什么？”（引导学生回答：判断小明获胜的概率和小红获胜的概率是否相等。）“那么，如何求小明获胜的概率呢？这个随机试验与我们之前学过的抛一枚硬币或掷一颗骰子有什么不同？”

3.让学生独立思考片刻后，请几位学生尝试口头描述他们的计算思路。预计学生可能会直接尝试计算，但描述结果时可能出现混乱（如“正面和5点”、“正面和6点”……但总数可能不对）。

4.捕捉学生思维中的“无序”状态，提出核心挑战：“这个试验同时涉及两个步骤（抛硬币和掷骰子），可能的结果变多了。如何能确保我们找到所有可能的结果，并且一个都不重复、一个都不遗漏呢？我们需要一种系统化的‘计数’方法。”

学生活动：

1.阅读和理解游戏规则，思考游戏的公平性。

2.在教师引导下，明确解决问题的关键在于计算两个特定事件的概率。

3.尝试用自己的方法描述试验的所有可能结果，体验直接列举的困难与无序的弊端。

4.形成认知冲突，认识到对于复杂一点的等可能试验，需要一种更清晰、更系统的工具来帮助列举。

设计意图：通过一个贴近学生生活的、稍复杂的概率判断游戏，快速激发学习兴趣和探究欲望。让学生在实际问题中自发感受到，当试验步骤增多时，原有的经验不足以清晰、完整地列举结果，从而产生对系统方法的内在需求，为引出树状图和表格做好认知与心理的双重铺垫。

第二环节：探究建模，建构新知——探索列举的策略性(预计时间：22分钟)

活动一：从“混沌”到“有序”——树状图的自然生成

教师活动：

1.简化问题，降低起点：“我们先研究一个更基本的问题：先后抛掷两枚均匀的硬币（记作硬币A和硬币B），两枚硬币都是正面朝上的概率是多少？”

2.请学生先独立尝试写出所有可能结果。巡视课堂，收集典型做法（可能有乱序列举、有序但未标记步骤、有序且标记步骤等）。

3.选取一位学生采用“先考虑第一枚，再考虑第二枚”有序思路的成果进行展示。用课件动态演示这种思考过程：“第一步，抛第一枚硬币，有两种等可能结果：正(A)、反(A)；对于第一步的每一个结果，进行第二步，抛第二枚硬币，又分别有两种等可能结果……”

4.将这种分支生长的思考过程，用图形直观地画出来，引出“树状图”的概念。强调画法要点：从“树根”（试验开始）出发，第一层分支代表第一步的所有等可能结果；从第一层的每个“节点”出发，画出第二层分支，代表在第一步某结果发生的前提下，第二步的所有等可能结果；以此类推。每条从树根到“树叶”（末端）的路径，代表一个等可能的最终结果。

5.带领学生一起画出该问题的树状图，并数出一共有4种等可能结果，其中“正正”结果有1种，故P(两枚正面)=1/4。

6.追问：“如果问题是‘恰好有一枚硬币正面朝上’的概率呢？”引导学生从树状图中快速找出所有满足条件的结果路径（正反、反正），计算概率为2/4=1/2。

学生活动：

1.尝试独立解决“抛两枚硬币”的问题，努力有序思考。

2.观察教师演示和自己尝试画图，理解树状图是如何将有序思考的过程进行可视化表达的。

3.学习规范的树状图画法，并在学案上练习。

4.利用画好的树状图，快速计算新事件的概率，体会树状图作为分析工具的便利性。

设计意图：从最简单的两步试验入手，让学生经历从“无序尝试”到“有序思考”，再到“图形表征”的完整过程。树状图的引入水到渠成，学生不仅能记住图形，更能理解图形背后“分步、分类、有序”的数学思想。这是数学建模的初步体现。

活动二：从“分步”到“联动”——表格法的巧妙引入

教师活动：

1.回到引例中的简化版（或新设问题）：“同时抛掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子，求硬币正面朝上且骰子点数为奇数的概率。”

2.提出问题：“对于这个问题，我们也可以画树状图。第一步是抛硬币（2种结果），第二步对于每一种情况，掷骰子（6种结果），树状图会有2*6=12条路径。有没有另一种直观的方式，能让我们一眼看清所有组合呢？”

3.引导学生思考：这个试验可以看作同时考察两个“维度”或“因素”——硬币的状态和骰子的点数。我们可以用一张表格来刻画这两个因素的所有组合。

4.课件演示表格构造法：在第一行列出骰子的所有可能点数（1至6），在第一列列出硬币的所有可能状态（正、反）。表格内部的每个单元格，就代表一个有序数对（硬币状态，骰子点数），即一个等可能结果。

5.带领学生完成表格，并数出总结果数为12。让学生在表格中标记出事件“正面朝上且点数为奇数”对应的单元格（正面行与1,3,5列的交叉格），共3格，故概率为3/12=1/4。

6.引导学生对比树状图与表格：“对于这个问题，表格法是不是显得更加紧凑和对称？”

学生活动：

1.思考教师提出的新问题，尝试构思解决方法。

2.跟随教师学习表格的构造方法，理解表格中行、列及交叉点的意义。

3.利用表格计算概率，感受其直观性。

4.初步比较两种方法在此问题中的应用感受。

设计意图：通过一个适合用表格呈现的问题，自然引出表格法。让学生认识到，对于涉及两个独立因素（且每个因素的可能结果数量适中）的试验，表格法具有结构清晰、一目了然的优势。这丰富了学生解决问题的工具箱。

活动三：辨析前提，深化理解——“等可能性”与“有放回/无放回”

教师活动：

1.提出关键辨析问题：“是不是所有两步试验都能直接用树状图或表格求概率？”呈现反例：“一个袋子中装有1个红球和2个蓝球（除颜色外完全相同），第一次摸出一个球，记下颜色后不放回，第二次再摸一个球。求两次都摸到蓝球的概率。”

2.让学生先凭直觉猜想，然后尝试用树状图分析。巡视并发现学生可能犯的错误：直接画第一步3种等可能（红、蓝、蓝），第二步对于“蓝”分支，仍画3种等可能。

3.请学生代表展示错误画法，并组织讨论：“第二次摸球时，袋子里的球还和第一次一样吗？每一步的等可能性还成立吗？如何调整？”

4.引导学生正确分析：第一步，摸出一个球，有3种等可能结果（红、蓝1、蓝2）。第二步，情况不同：若第一次摸出红球，袋中剩蓝1、蓝2，第二次摸出蓝球的概率？若第一次摸出蓝1，袋中剩红、蓝2，第二次摸出蓝球的概率？…强调在画第二步分支时，必须依据第一步的具体结果，来确定第二步可能的结果集合及其个数，确保每一步在给定前情下仍是等可能的。

5.画出正确的树状图（需区分蓝1和蓝2以体现等可能，但最终计算概率时，不区分的同色球可合并结果）。计算P(两蓝)=(2/3)*(1/2)=1/3。并与“有放回”情形进行对比计算。

6.总结强调：使用树状图或表格法的根本前提是——在试验的每一步（或在表格考虑的每一个维度上），所考虑的结果必须是等可能的。对于“无放回”抽样，每一步的结果集合和等可能性在动态变化，画图列表时需要格外细心。

学生活动：

1.思考反例问题，尝试应用新学方法。

2.在探究中暴露错误认知，通过讨论和教师讲解，深刻理解“等可能性”前提的动态性。

3.学习正确处理“无放回”问题的树状图画法，理解其与“有放回”问题的本质区别。

4.深化对列举法适用条件的认识，避免今后机械套用。

设计意图：这是突破难点的关键环节。通过精心设计的反例和对比，将学生的注意力从单纯的操作步骤引向对概率本质（等可能性）的思考。明确方法的适用范围，培养学生的批判性思维和严谨的科学态度。

第三环节：变式演练，方法优化——内化列举的模型性(预计时间：12分钟)

教师活动：

1.呈现一组有代表性的例题，引导学生分组讨论，选择合适方法解决。

例题1（树状图典型）：小明有红、黄、蓝三件上衣，黑、白两条裤子。他随机搭配一套衣服，求恰好穿上红上衣和白裤子的概率。

例题2（表格法典型）：小亮和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，求两人出相同手势的概率。

例题3（综合辨析）：从一副去掉大小王的扑克牌中，先后有放回地抽两张牌。求第一张是红色花色（红心或方块），第二张是黑色花色（黑桃或梅花）的概率。（追问：若无放回呢？）

2.巡视各组，指导方法选择与规范作图列表。重点关注学生是否明确选择依据。

3.请不同小组汇报解题过程，重点阐述“为什么选择这种方法”。

4.引导全班共同归纳方法选择的一般性策略：

1.5.倾向于使用树状图的情形：试验涉及明确的先后步骤或顺序（如多次抽取）；试验步骤超过两步；每个步骤的可能结果数量较多，但总体路径尚可清晰画出。

2.6.倾向于使用表格的情形：试验涉及两个独立的“因素”（如两个骰子、抽签的甲乙两人），且每个因素的可能结果数量不多；需要清晰对比两个因素结果组合的对称性。

3.7.本质联系：两者都是系统化列举样本空间的方法，核心思想都是“有序、不重不漏”。树状图更强调过程与步骤，表格更强调因素与组合。很多时候，两者可以互通。

学生活动：

1.以小组为单位，分析例题特征，讨论并选择合适方法（画树状图或列表格）解决问题。

2.规范书写解答过程，相互检查纠错。

3.小组代表展示，说明方法选择的理由。

4.参与全班讨论，总结归纳树状图与表格法的适用情境与选择策略，深化对两种模型的理解。

设计意图：通过一组典型例题的实战演练，巩固画树状图和列表的技能。更重要的是，将教学重心从“如何画”提升到“如何选”，引导学生在具体问题情境中分析特征，理性选择最有效的工具，并理解两种工具的内在统一性。这促进了学生对方法本质的把握和元认知能力的提升。

第四环节：拓展迁移，素养提升——应用列举的创造性(预计时间：6分钟)

教师活动：

1.提出一个具有开放性和一定综合性的挑战问题，作为本节内容的升华：“某密码锁的密码由1、2、3三个数字组成（数字可重复）。小明忘记了密码，他决定通过尝试来开锁。

(1)如果密码就是这三个数字的一个排列（每个数字用一次），他第一次就试对密码的概率是多少？

(2)如果密码是三位数（数字可重复），但小明记得密码中恰好有两个数字相同（如121），他第一次就试对符合这个特征的密码的概率是多少？”

2.此问题涉及排列组合思想的初步渗透和复杂事件的分解。引导学生先分析问题特征，确定是“有顺序”的排列问题，可用树状图（分三位思考）或直接利用计数原理思考。

3.对于第(2)问，引导学生将复杂事件“恰好有两个数字相同”进行分解分类（哪两个位置相同？相同的数字是几？），再利用树状图或分类相加的方法解决。

4.简要点评，指出有序列举思想在解决更复杂计数问题中的威力，为高中进一步学习排列组合和概率做铺垫。

学生活动：

1.独立思考或小组探讨挑战问题。

2.应用本节课所学的有序思考框架，尝试解决新问题，体验方法迁移的乐趣。

3.在教师点拨下，理解如何将复杂事件分解，化归为基本列举问题。

设计意图：设计略高于课本的拓展问题，旨在满足学有余力学生的需求，将课堂思维引向更深、更广的层次。通过解决实际问题，展示树状图/表格列举法的应用潜力，培养学生的分析综合能力和创新意识，实现核心素养的进一步提升。

第五环节：课堂小结，反思提升(预计时间：2分钟)

教师活动：引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知识：我们学习了哪两种求概率的列举方法？它们的适用前提是什么？

2.方法：如何画树状图？如何列表格？如何根据问题特征选择合适的方法？

3.思想：本节课贯穿了哪些重要的数学思想？（化归思想：将复杂事件化归为基本事件；有序思想：通过树状图或表格实现有序思考；模型思想：树状图和表格是分析概率问题的数学模型。）

学生活动：自主回顾，梳理知识脉络，凝练方法要点，升华数学思想。

八、板书设计

（左侧主板书区域）

用树状图或表格求概率

一、核心：有序、不重不漏地列举所有等可能结果

二、方法

1.树状图法

1.2.适用：分步进行的试验

2.3.关键：从“根”到“叶”，步步分明

3.4.示例：（画出两枚硬币问题的树状图简略框架）

5.表格法

1.6.适用：涉及两个独立因素的试验

2.7.关键：行列对应，交叉为果

3.8.示例：（画出硬币与骰子问题的表格框架）

三、前提

每一步（每一因素）的结果必须等可能！

1.辨析：“有放回”vs“无放回”

四、选择策略

1.看步骤顺序→树状图

2.看因素组合→表格

3.本质：有序化思想

（右侧副板