2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第3章微点探索 抽象函数

第三章函数微点探索抽象函数

1.能从已知表达式中抽象出相应的函数模型，并解决问题.2.会利用赋值法和函数性质法解决抽象函数问题．重点考法突破课时作业目录重点考法突破考法1一次、二次、反比例型抽象函数考法2指数、对数、幂函数型抽象函数解析：当x＝1，y＝1时，f(1)＝f(1)－f(1)＋1，所以f(1)＝1；令y＝2x，得f(2x)＝f(x)－1，所以f(2)＝f(1)－1＝0，f(22)＝f(2)－1＝－1，f(23)＝f(22)－1＝－2，f(24)＝f(23)－1＝－3，…，f(512)＝f(29)＝f(28)－1＝－8.故选C.2．(2026·四川南充模拟)已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝____________________．解析：由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1，所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x(答案不唯一)．1－log3x(答案不唯一)考法3正弦、余弦、正切型抽象函数课时作业基础题(占比20%)中档题(占比40%)拔高题(占比40%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点指数、对数、正切型抽象函数反比例型抽象函数正弦型抽象函数一次函数型抽象函数余弦型抽象函数二次函数型抽象函数一次函数型抽象函数抽象函数的应用二次函数型抽象函数对数型抽象函数3．已知函数f(x)的定义域为R，且满足[f(x)]2－[f(y)]2＝f(x＋y)f(x－y)，f(1)＝1，f(3)＝－1，则下列结论错误的是(

)A．f(2)＝0 B．f(4)＝2C．f(x)是奇函数 D．f(x＋4)＝f(x)解析：令x＝2，y＝1，则[f(2)]2－[f(1)]2＝f(3)f(1)，解得f(2)＝0，故A正确；令x＝1，y＝0，则[f(1)]2－[f(0)]2＝f(1＋0)f(1－0)，解得f(0)＝0，令x＝0，则－[f(y)]2＝f(y)f(－y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，且定义域为R，故f(x)为奇函数，故C正确；用x－2替换y，则[f(x)]2－[f(x－2)]2＝f(2x－2)f(2)＝0，因为f(x)不恒为0，且f(3)≠f(1)，所以f(x)＝－f(x－2)，从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，显然f(4)＝f(0)＝0，故B错误，D正确．故选B.4．(2026·河南驻马店开学考试)已知函数f(x)对任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2，且当x>0时，f(x)>2，若f(2)＝6，则不等式f(x)＋f(2x－2)>6的解集为(

)A．(4，＋∞) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)解析：令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＋2，可得f(0)＝2，令g(x)＝f(x)－2，则f(x)＝g(x)＋2，对任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2，则g(x)＋g(y)＝g(x＋y)，则g(x)符合一次函数模型．当x>0时，f(x)>2，对任意的x>0，g(x)>0，则可令g(x)＝cx(c>0)，因此f(x)＝cx＋2.因为f(2)＝6，所以将x＝2代入f(x)＝cx＋2，得到f(2)＝2c＋2＝6，则c＝2，因此函数f(x)＝2x＋2，又因为f(x)＋f(2x－2)>6，所以(2x＋2)＋[2(2x－2)＋2]>6，解得x>1，因此不等式f(x)＋f(2x－2)>6的解集为(1，＋∞)．故选D.解析：令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，即f(0)＝0，A正确；令y＝0，则f(x)＝f(－x)．令y＝x，则f(－x)＋f(x)－2x2＝f(0)＝0，则f(x)＝x2，故f(2)＝4，B正确；y＝f(x)－2x＝x2－2x是非奇非偶函数，C不正确；y＝f(x)－2x2＝－x2是偶函数，D正确．故选ABD.三、填空题9．(2025·浙江