2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第10章第2讲 用样本估计总体

第十章统计与成对数据的统计分析第2讲用样本估计总体

1．能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义.2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.3.会计算样本均值和样本方差，结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.4.能用样本估计总体的取值规律.5.能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．总体百分位数的估计(1)第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有_____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．(2)四分位数常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第____百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第___百分位数也称为第三四分位数或上四分位数．p%2575出现次数最多最中间总体均值总体方差总体标准差重点考法突破(1)(2026·浙江名校协作体高三开学联考)已知11位同学的身高(单位：cm)分别是167，172，178，175，172，178，185，182，186，190，188，则这组数据的第80百分位数是(

)A．185 B．185.5C．186 D．186.5考法1总体百分位数的估计解析：因为11×0.8＝8.8，所以第80百分位数是将这组数据从小到大排列后的第9个数，为186.故选C.(2)(2026·河北保定模拟)为了解某病毒的致病潜伏期，通过简单随机抽样，获取了100名患者的相关信息，并制作了如图所示的频率分布直方图：根据图中数据，估计病毒潜伏天数的样本数据的68%分位数是(

)A．6

B．7

C．7.2

D．81．计算一组n个数据第p百分位数的步骤

1.(2026·重庆部分校阶段练习)2024年四川实现地区生产总值64697.0亿元，从主要工业产品产量看，相比于上一年的产量，单晶硅、锂离子电池、汽油、多晶硅、集成电路、发电机组、天然气、发电量的增长率分别为56.1%，42.0%，27.1%，25.2%，25.1%，23.5%，9.3%，6.8%，则这组数据的60%分位数为(

)A．9.3% B．27.1%C．25.1% D．25.2%解析：将这组数据按照从小到大的顺序排列为6.8%，9.3%，23.5%，25.1%，25.2%，27.1%，42.0%，56.1%，因为8×60%＝4.8，所以这组数据的60%分位数为第5个数，即25.2%.故选D.2．(2026·辽宁沈阳三模)近日，数字化构建社区服务新模式成为一种趋势．某社区为了优化数字化社区服务，通过问卷调查的方式调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分100分)进行统计，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，图中b＝3a，则满意度计分的第一四分位数约为(

)A．87.5 B．85C．70 D．62.5解析：由题意可得10×(a＋0.015＋0.035＋3a＋a)＝1，解得a＝0.01，则第一个小矩形的面积为10×0.01＝0.1，第二个小矩形的面积为10×0.015＝0.15，又0.1＋0.15＝0.25，则第一四分位数即第25百分位数约为70.故选C.

(1)(2026·山东临沂模拟)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则(

)A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a考法2平均数、中位数、众数的计算(2)(多选)某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，以样本估计总体，则下列结论中正确的是(

)A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分D．该公司职工测试成绩的众数约为60分频率分布直方图中的数字特征(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．(3)平均数：各组区间的中点值与对应频率之积的和．

1.(多选)(2025·湖北武汉调研)如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是(

)A．图(1)的平均数＝中位数＝众数B．图(2)的平均数<众数<中位数C．图(2)的众数<中位数<平均数D．图(3)的平均数<中位数<众数解析：题图(1)的分布直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；题图(2)的众数最小，直方图为“右拖尾”，则平均数大于中位数，故B错误，C正确；题图(3)的众数最大，直方图为“左拖尾”，则平均数小于中位数，故D正确．故选ACD.2．(2026·河北张家口期末)某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则(

)A．a＝0.1B．车速的众数估计值是70C．车速的平均数估计值大于其中位数的估计值D．车速的中位数估计值是62.5解析：对于A，由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A错误；对于B，车速在[60，70)内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误；对于C，D，车速的平均数估计值为0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，因为0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.4＋0.4＝0.8>0.5，所以车速的中位数m∈(60，70)，则(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，车速的中位数估计值是62.5，C错误，D正确．故选D.

(1)(2026·山西大同质检)若数据x1，x2，x3，…，x12的方差为9，则数据2x1－2026，2x2－2026，2x3－2026，…，2x12－2026的方差为(

)A．2007

B．1989C．36 D．18考法3方差、标准差的计算亩产量[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1100)[1100，1150)[1150，1200]频数101122302072．某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差为(

)A．1.3 B．1.5C．1.7 D．1.9课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号

12345678难度★★★★★★★★★★★考点平均数、中位数、众数、方差的特征求百分位数方差的计算条形图与众数、中位数、平均数百分位数的应用读图分析中位数、平均数、标准差、极差两样本合成新样本的平均数与方差由平均数、众数、方差推断数据题号910111213141516难度★★★★★★★★★★★★★★考点折线图与数据的极差、百分位数、方差变化前后两组数据的平均数、中位数、方差、极差之间的关系由频率分布直方图计算平均数、中位数、百分位数等平均数、众数、中位数的应用由百分位数推断某个数据的值分层随机抽样中的均值与方差平均数、方差的计算及简单应用频率分布直方图中百分位数的计算；分层随机抽样中的均值与方差一、单项选择题1．(2026·湖南永州模拟)某班50名同学的体育测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖．下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(

)A．平均数和方差 B．中位数和方差C．中位数和众数 D．平均数和众数成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012成绩/分919293949596979899100人数■■1235681012解析：由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数之和为50－(12＋10＋8＋6＋5＋3＋2＋1)＝3，100分出现的次数最多，所以成绩的众数为100，成绩从小到大排列后处在第25和26位的都是98分，所以成绩的中位数为98，所以中位数和众数都与被遮盖的数据无关．故选C.2．(2026·湖南长沙模拟)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是(

)A．7 B．6C．5 D．44．(2026·河北保定定州中学高三开学考试)小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月(30天)每天花在健身运动上的时间(单位：分钟)，记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则(

)A．N<M<P B．P<N<MC．M<P<N D．M<N<P5．(2025·安徽黄山二模)为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量(单位：t)，将该数据按照[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的居民予以表彰，制定了一个用水量标准x，使表彰的居民不超过15.4%，则下列各项比较适合作为标准x的是(

)A．3.2

B．5

C．5.04

D．15.7解析：由题意及0.077×3＝0.231>0.154，得0.077×(x－1.2)＝0.154，可得x＝3.2.故选A.6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则(

)A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差7．(2026·山东青岛第一中学开学考试)某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的(

)A．平均数为5.5 B．平均数为6.5C．方差为12.5 D．方差为13.58．某高校分配给某中学一个保送名额，该中学进行校内举荐评选，评选条件除了要求学生获得该校“三好学生”称号，还要求学生在近期连续3次大型考试中，每次考试的名次都在全校前5名(每次考试无并列名次)．现有甲、乙、丙、丁四位同学都获得了“三好学生”称号，四位同学在近期连续3次大型考试名次的数据分别为甲同学：平均数为3，众数为2；乙同学：中位数为3，众数为3；丙同学：众数为3，方差小于3；丁同学：平均数为3，方差小于3.则一定符合推荐要求的同学是(

)A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁二、多项选择题9．(2026·山东潍坊高三开学考试)如图是某市2025年1月至7月全社会用电量(单位：亿千瓦时)的折线图，则(

)A．1月至7月全社会用电量逐月增加B．1月至7月全社会用电量的极差是20.7C．1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3D．1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大解析：对于A，由题图知，3月到4月全社会用电量减少，故A错误；对于B，由题图知，全社会用电量的极差为79.9－59.2＝20.7，故B正确；对于C，将数据从小到大排列为59.2，60.1，61.6，61.9，64.3，66.4，79.9，又7×75%＝5.25，所以全社会用电量的第75百分位数是第6个数据66.4，故C错误；对于D，由1月至3月全社会用电量的极差为66.4－59.2＝7.2，4月至6月全社会用电量的极差为64.3－61.6＝2.7，显然7.2>2.7，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故D正确．故选BD.11．(2025·山东德州三模)某高中学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生中成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，将频率视为概率，则下列结论正确的是(

)A．学生成绩的众数估计为75B．学生成绩的平均数大于中位数C．此次成绩在[90，100]的学生人数为120D．学生成绩的第45百分位数为70三、填空题12．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数？甲：_______，乙：________，丙：________.众数平均数中位数13．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学的成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________________________________________(写出一个满足条件的m值即可)．解析：7，6，8，