2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第3讲　空间直线、平面的平行

第八章立体几何与空间向量第3讲

空间直线、平面的平行1．了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出直线、平面平行的性质定理(并加以证明)与判定定理．2．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理此平面内相交相交直线相交交线重点考法突破考法1构造平行四边形证平行关系(2026·四川南充诊断考试)如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝4，M为线段AD上靠近点D的三等分点，N为线段PC的中点．证明：MN∥平面PAB．构造平行四边形证平行关系的方法可先在平面内作一条与已知直线平行的直线，连接相关的点，观察构成的图形像不像平行四边形，若像，就尝试进行论证，从而得到线线平行，再结合线面平行的判定定理或面面平行的判定定理证线面平行或面面平行．1．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1．求证：平面AB1D1∥平面BC1D．2．(2026·河北张家口模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1，F分别是BC，B1C1，A1B1的中点，BC＝4BE．求证：EF∥平面ADD1A1．考法2利用中位线证平行关系如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH．证法二：在三棱台DEF－ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，所以BE∥HF．在△ABC中，因为G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，GH，HF⊂平面FGH，AB，BE⊂平面ABED，所以平面FGH∥平面ABED．因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH．利用中位线证平行关系的方法(1)利用几何图形的性质，如平行四边形对角线相互平分，故见到平行四边形的一条对角线就尝试连接另一条对角线．(2)利用平行线的性质，如见三角形某边的中点，可取其他边的中点，就可能形成该三角形的一条中位线，这样就可以借助中位线的性质来证明线面平行．1．(2026·陕西咸阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，△BCD为等边三角形，AB＝AD，∠BAD＝120°，E，F分别为PC，CD的中点．求证：平面BEF∥平面PAD．证明：在△PCD中，E，F分别为PC，CD的中点，所以EF∥PD，因为PD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．因为AB＝AD，∠BAD＝120°，所以∠BDA＝30°．因为△BCD为等边三角形，所以∠BDC＝60°，所以∠ADC＝90°．又易知BF⊥CD，所以BF∥AD．又因为AD⊂平面PAD，BF⊄平面PAD，所以BF∥平面PAD．又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，所以平面BEF∥平面PAD．2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D．证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，因为四边形BCC1B1为矩形，所以O为B1C的中点．因为D为AC的中点，所以OD∥AB1．因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．(1)(2026·湖北随州模拟)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是EF的中点．①求证：AM∥平面BDE；②若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．考法3线面平行、面面平行性质定理的综合应用解：①证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE．因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE．又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE．②l∥m．证明如下：由①知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理可得，m∥AM，所以l∥m．(2)在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O、上底面圆O1的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且OP∥平面BCE，求证：DP＝PE．证明：如图，连接O1P，O1O，因为BC为母线，所以OO1∥BC，又BC⊂平面BCE，OO1⊄平面BCE，所以OO1∥平面BCE．因为OP∥平面BCE，OO1∩OP＝O，OO1，OP⊂平面OPO1，所以平面OPO1∥平面BCE．又因为平面DCE∩平面OPO1＝O1P，平面DCE∩平面BCE＝CE，所以O1P∥CE，因为O1是CD的中点，所以P是DE的中点，所以DP＝PE．三种平行关系的转化课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★★考点判断线线、线面的位置关系面面平行性质定理的应用判断线线、线面、面面的位置关系线面平行、面面平行性质定理的应用线面平行的判定；四边形形状的判定线面平行的判定线面平行的判定面面平行性质定理的应用线面平行、面面平行的判定题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点线面平行的判定线面平行性质定理的应用；线面平行的判定线面平行、面面平行性质定理的应用线面平行性质定理的应用线面平行的判定利用中位线证平行关系利用中位线证平行关系；构造平行四边形证平行关系；面面平行性质定理的应用线面平行、面面平行关系的综合应用一、单项选择题1．(2026·天津模拟)已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，则下列说法正确的是(

)A．a与l相交 B．b与l相交C．a∥b D．a与β相交解析：对于A，B，l∥γ，l⊂平面α，α∩γ＝a，则l∥a，同理可得l∥b，则a∥b，故A，B错误，C正确；对于D，由A项分析可知，l∥a，a⊄β，l⊂β，则a∥β，故D错误．故选C．2．(2026·湖北襄阳开学考试)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是(

)A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，∴AE∥C1F，∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．3．(2025·浙江金华模拟)设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中为真命题的是(

)A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α解析：对于A，如图1，满足a∥α，b⊂α，但a，b不平行，A为假命题；对于B，如图2，满足a∥α，b∥β，α∥β，但a，b不平行，B为假命题；对于C，如图3，满足a⊂α，b⊂β，a∥b，但α，β不平行，C为假命题；对于D，若a⊄α，b⊂α，a∥b，由线面平行的判定定理可得a∥α，D为真命题．故选D．5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(

)A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形6．(2026·湖南永州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，H，K分别为AC1，CB1，A1B，B1C1的中点，G为△ABC的重心．下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是(

)A．平面EFB1 B．平面EFHC．平面EFK D．平面EFG解析：如图1，平面EFB1即平面A1CB1，只有1条棱AB与其平行，所以A错误；如图2，对于平面EFH，有6条棱与其平行，它们分别为AB，BC，CA，A1B1，B1C1，C1A1，所以B错误；如图3，对于平面EFK，有5条棱与其平行，它们分别为AB，A1B1，AA1，BB1，CC1，所以C错误；如图4，平面EFG可由平面EFK绕直线EF旋转得到，有2条棱AB，A1B1与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确．故选D．7．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(

)解析：对于A，如图1，由正方体的性质可知BM∥B1N，所以易知直线BM与平面CNQ不平行，故A不符合题意；对于B，如图2，因为NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM⊄平面CNQ，AQ⊂平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B符合题意；对于C，如图3，因为NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C不符合题意；对于D，如图4，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点，由MD∥CQ，MD⊄平面CNQ，CQ⊂平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM∥平面CNQ，MD∩BM＝M，MD，BM⊂平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D不符合题意．故选B．二、多项选择题9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，下列结论正确的是(

)A．平面EFGH∥平面ABCDB．PA∥平面BDGC．EF∥平面PBCD．EF∥平面BDG解析：先把平面展开图还原为四棱锥，如图所示．对于A，因为E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，所以EF∥AD，GH∥BC，因为AD∥BC，所以EF∥GH，所以EF，GH确定平面EFGH，因为EF⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH，同理可得AB∥平面EFGH．又因为AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD，所以A正确；对于B，连接AC，BD交于点O，则O为AC的中点，连接OG，因为G为PC的中点，所以OG∥PA，因为OG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，所以B正确；对于C，因为EF∥GH，且EF⊄平面PBC，GH⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以C正确；对于D，若EF∥平面BDG，因为PA∥平面BDG，且EF∩PA＝E，EF，PA⊂平面PAD，可得平面PAD∥平面BDG,显然不正确,所以EF与平面BDG不平行,所以D错误.故选ABC．三、填空题12．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．可以填入的条件有________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①符合题意；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②不符合题意；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③符合题意．①或③14．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件____________________时，就有MN∥平面B1BDD1．(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：如图，连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需点M在线段FH上，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1．点M在线段FH上四、解答题15．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG．证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF