2027版金版教程复习创新方案数学提升版本第8章第7讲　空间向量在立体几何中的应用

第八章立体几何与空间向量第7讲空间向量在立体几何中的应用1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．3．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．4．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．核心知识梳理重点考法突破课时作业目录核心知识梳理1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，把与a_______的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．平行位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔_____________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔______________l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔_______________n1·n2＝02．空间位置关系的向量表示m·n＝0m·n＝04．向量法求空间的距离(1)点到直线的距离如图，直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离d＝________________．(2)点到平面的距离如图，A是平面α内的定点，B是平面α外一点，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝_________．(3)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．重点考法突破考法1利用空间向量证明平行、垂直如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD所成的角为30°．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD．1．向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题2．向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直考法2利用空间向量求线线角、线面角、面面角2．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个正八面体，EF＝4，G为BC的中点，则异面直线EG与BF所成角的正弦值为________．角度2求直线与平面所成的角(2025·北京卷，17)四棱锥P－ABCD中，△ACD与△ABC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点．(1)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥平面PAB；(2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求AB与平面PCD所成角的正弦值．向量法求线面角的步骤如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l．因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC，所以l⊥DC，又PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD．又DC∩PD＝D，DC，PD⊂平面PDC，所以l⊥平面PDC．向量法求平面与平面夹角的步骤考法3

利用空间向量求距离2．(2026·湖南株洲模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．(1)证明FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离；(2)求点A1到平面AB1E的距离．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点直线的方向向量和平面的法向量向量法求线面距离向量法判断空间位置关系向量法求异面直线所成角的余弦值向量法求二面角的余弦值向量法求点到直线的距离向量法求直线与平面所成角的余弦值向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角向量法判断空间位置关系；向量法求异面直线所成角的余弦值向量法求点面距离；向量法求点到直线的距离题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★考点向量法判断线面位置关系；由线线角、线面角求参数向量法求直线与平面所成角的正弦值向量法求点面距离向量法求异面直线所成角的余弦值空间位置关系的向量证明向量法求直线与平面所成角的正弦值向量法求二面角的正弦值空间位置关系的向量证明；向量法求平面与平面夹角的余弦值；向量法求点面距离向量法求二面角的余弦值；向量法求直线与平面所成角的正弦值的最值一、单项选择题1．(2026·浙江金华期末)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中正确的是(

)A．v∥n1⇔l∥α B．n1⊥n2⇔α⊥βC．n1∥n2⇔α⊥β D．v⊥n1⇔l⊥α解析：v∥n1⇔l⊥α，n1⊥n2⇔α⊥β，n1∥n2⇔α∥β，v⊥n1⇔l∥α或l⊂α．故选B．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的位置关系是(

)A．异面 B．平行C．垂直不相交 D．垂直且相交三、填空题12．已知空间直角坐标系Oxyz中，过点P(x0，y0，z0)，且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0．用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x＋2y－2z＋1＝0，直线l是平面x－y＋3＝0与平面x－2z－1＝0的交线，试写出直线l的一个方向向量为______________________，直线l与平面α所成角的正弦值为________．(2，2，1)(答案