理科数学概率题型归纳与练习

概率统计

一,离散型随机变量的期望［均值)和方差

假设离散型随机变量X的分布列或概率分布如下:

.r2••・

X

PlP・・・Pn

P2

1.其中，Pi20,，=1,2,+P?+•••+〃”=1，那么称MP1+电〃2+•••+£〃”为随机变量X的

均值或X的数学期望，记为E(X)或〃.

数学期望E(X)=xlpl+x2p.+...+xnpn

性质⑴E(c)=c；(2)E(aX+b)=aE(X)+b.(a,b,c为常数)

2.(演一［+但-〃+…+Un,(其中Pi-0,i=1,2,...,zi,PI+p2+...+pn=1)刻l@l了随机变量X与

其均值〃的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为"X)或。2.

i

方差0X=(.0-P,+(x2-/j)p2+...+(X*-2Pli

2.方差公式也可用公式以*)=£七2〃,一〃2=研2_(研)2计算.

3.随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差。(X)的算术平方根称为X的

标准差，即b=jax).

例1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX,DXo

X-101

5

p1-%g2

9

二、几何分布

几何分布(Geometricdistribution)是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努

利试脸中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-l次皆失败，第k次

成功的概率。

例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球再放回,

取出白球或取了4次后那么停止摸球。求取球次数X的数学期望与方差。

例2.某射击运发动每次射击击中目标的概率为p[0<p<l）o他有5发子弹.，现对某一

目标连续射击，每次打一发子弹.，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望

与方差。

三.超几何分布

对一般情形，一批产品共N件，其中有加件不合格品，随机取出的〃件产品中，

不合格品数X的分布如下表所示:

X012・・・/

「2z^n-2✓*>/

P•••

GQ

其中/=min(n,Af)

一般地，假设一个随机变量X的分布列为2（乂=r）=理2,

其中r=0,1,2,3,/=min（〃,何），那么称>服从超几何分布，记为

校华■记为H（r,n、M,N）

X并将P(X=〃)=

CN

一般地，根据超几何分布的定义，可以得至U&x）=力=〃也.

r=0C'N

例I.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球,

这些球除颜色外完全相同.现一次从中摸出5个球，

（1）假设摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率.

（2）假设至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.

例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这1。件产品中任取3件,

求：（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

四,二项分布

1.〃次独立重复试验

一般地，由〃次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立

的状态，即八与每次试验中尸(八)=〃>0。我们将这样的试验称为〃次独立重复试验，

也称为伯努利试验。

(1)独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试

验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。

(2)n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=。-P尸。

2.二项分布

假设随机变量X的分布列为P(X=k)=c：p*qi，其中0<p<l.p+q=I.A=0,l,2,，儿那么称

X服从参数为〃，〃的二项分布，记作X8(〃,p)。

一般地，根据超几何分布的定义，可以得到二〃p。

例1.一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回,

求在取得正品前已取出的次品数X的概率分布。

例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇

到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

3

(1)设g为这名学生在途中遇到红灯的次数，求g的分布列；

⑵设〃为这名学生在首次停车前经过的路口数，求〃的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

例3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为上，乙每次击中目标的概率为二

23

(1)记甲击中目标的此时为g,求g的分布列及数学期望；

(2)求乙至多击中目标2次的概率；

(3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

五、正态分布

例I、随机变量J〜若P(g>3)=0.023,则P(-34gw3)=()

A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977

例2、设随机变量X〜%(3,1),假设尸。>4)=〃,,那么P(2<X<4)=

(A)；+p(B)l-pC.l-2pD."p

例3、三个正态分布密度函数聂e一毛台。右儿，=123)的图象如下图，那么()

2名女性，假设从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

1______nad-bc2

'Ka+bc+da+cb+d'

P(K2>k)0.050.01

k3.8416.635

例3、重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每立同学的成绩作相关分析时,

得到周卓婷同学的某些成绩数据如下：

第一次考试第二次考试第三次考试第四次考试

数学总分118119121122

总分年级

133127121119

排名

⑴求总分年级名次关于数学总分的线性回归方程£=加+2

（2）假设周卓婷同学想在下次的测试时考入年级前100名，预测该同学下次测试的数学

成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）.

例4、设某大学的女生体重），（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样

本数据（r,）力（i=l,2,…，〃），用最小二乘法建立的回归方程为£=0.85工一85.71,那么以下

结论中不正确的选项是（）

A.y与x具有正的线性相关关系

B.归直线过样本点的中心（x,y）

C.假设该大学某女生身高增加1cm,那么其体重约增加0.85kg

D.假设该大学某女生身高为170cm,那么可断定其体重必为58.79kg

例5、x与y之间的一组数据：

X0123

ym35.57

已求得关于y与x的线性回归方程f=2.1x+0.85,那么川的值为（）

A.1B.0.85

C.0.7D.0.5

例7、以下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与/的关系，请用相关系数加以说明；

（II）建立），关于，的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害亿

处理量.

附注：

参考数据：£匕=9.32,立y=40.17,愎州-“二好，#2646.

；=1i=V1=1

£（—心一刃

参考公式：相关系数,•=「"，

JZ（C-O2X（y,-y）2

VM加I

回归方程）=。+匕中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

.£&-7）（》-汾___

h--.--------,a=y-bt.

尸

t=l

【稳固练习】

1、以下命题：

、⑴]

Ji工厂14

(2)不等式|x+11+1x-3尼a恒成立，那么a<4;

(3)随机变量X服从正态分布N(l,2),那么P(X<0)=P(X>2);

71

(4)4力£/?+,2〃+。=1,那么±+!之8.其中正确命题的序号为____________.

ab

2、由数据(xi,yi),(12,J2),…,(xio,yio)求得线性回归方程£=源+」那么”(xo,.yo)满足

,.„1..AA_xi+x2+...+xioyi+yz+...+yio,,

线u性回归方程)=/»+/是“xo=-----访------，”="-F—1'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1•箱中装有4个白球和5个黑球，且规定:取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该

箱中任取(无放回，且每球取到的时机均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之

和.

(I)求X的分布列;(II)求X的数学期望E(X).

2.(本小题总分值13分,(1)小问5分,(11)小问8分.)

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定中先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或

每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为:，乙每次投篮投中的概率为

工且各次投篮互不影响.

2

(I)求甲获胜的概率；

(H)求投篮结束时甲的投篮次数J的分布列与期望

3.设篮球队4与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，假设有一队胜4场那么比赛宣告结束,

假定AA在每场比赛中获胜的概率都是,，试求需要比赛场数的期望.

2

3.电视传媒公司为了了解某地X电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名

观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布

直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.

(I)根据条件完成下面的2x2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

(n)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中、采用随机抽样方

法每次抽取I名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.假设每次抽

取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X).

5.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考试，

否那么即被淘汰，某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为g、［、］，且

各轮问题能否正确答复互不影响.

(I)求该选手被淘汰的概率；

(II)该选手在选拔中答复以下问题的个数记为3求随机变量4的分布列与数数期望注:

本小题结果可用分数表示)

6.一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种

情况下，分别求直至取得正品时所需次数J的概率分别布.

(1)每次取出的产品不再放回去；

(2)每次取出的产品仍放回去；

(3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量。表示方程x2+bx+c=0实根

的个数(重根按一个计).

(1)求方程x2+bx+C=0有实根的概率;

(II)求&的分布列和数学期望；

8.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规那么如.下：消费额每满10()元可转动如

下图的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.假

口域不返

设指针停在A区域返券6()元；停在B区域返券3()元；停在C区Zc

券.例如：消费218元，.可转动转盘2次，所获得的返券金额是两，一♦)次金额

之和.V

(I)假设某位顾客消费128元，求返券金额不低于3()元的概率；

(II)假设某位顾客恰好消费280元，并按规那么参与,了活动，他获得返券的金额记为

X(元)，求随机变量X的分布列和数学期望.

%(此题总分值12分)中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游.节将于2012年8月20日在黄石

铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名

和12名志愿者，将这2()名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)

假设身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括

175cm)定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。

(I)根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北

师范学院志愿者身高的中位数；

湖北理工学院湖北师范学院

(2)如果用分层抽样的方法从“.高个子”和

91589

“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，

91612589

那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？65017346

721801

⑶假设从所有“高个子”中选3名志愿者,

119

用g表示所选志愿者中能担任“兼职导游''的人

数，试写出j的分布列，并求4的数学期望，。

10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……，8,其中XN5为

标准A,XN3为标准B,甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行

标桂B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标

准

(D甲厂产品的等级系数Xi的概率分布列如下所示：

为5678

P0.4ab0.1

且Xi的数字期望EXi=6,求a,b的值;

(II)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系

数组成一个样本,数据如下:

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆济车的利润与该轿车首次出现

故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已

售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

将频率视为概率，解答以下问题：

(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的

概率;

(ID假设该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X-生产一

辆乙品牌轿车的利润为兀，分别求K，X2的分布列；

(ill)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品

牌轿车，假设从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明

理由。

稳固练习答案

【答案】(2)(3)(1)，4=1用=由2,所以⑴错误.⑵不等式|x+l|+|x-3|的最小

X

值为4,所以要使不等式|x+l|+|x-3|2a成立，那么a44,所以⑵正确.(3)正

确.(4)2+」=(2+3(2〃+/力=4+1+殳+生25+2、陛互=9,所以(4)错误,所以正确的

ababahVah

为⑵⑶.

解析：选Bxo,州为这10组数据的平均值，又因为回归直线9一以十公必过样本中心点(T,

)，)，因此*0,油)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x,y).

1.【解析】此题主要考察分布列，数学期望等知识点.

(I)X的可能取值有34,5,6.

P(X=3)=g=a；&x=4)=年智；

C；42C-42

P(X=5)=-^-=—；P(X=6)=4=Z.

642c42

故，所求X的分布列为

X3456

D520101552I

P万a=天a=R42=21

(II)所求X的数学期望E(X)为：

E(X)=/p(X=i)==.

/-4J

【答案】(I)见解析;(|【)*

2.【考点定位】此题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率，考查运用概

率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，注意应用

相互独立事件同时发生的概率公式.

解:设以分别表示甲、乙在第女次投篮投中，那么

P(A)=；,P(《)=g,丘(1,2,3)

(1)记“甲获胜''为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率

计算公式知,P(C)=P(A)+P(耳瓦4)+尸(还a瓦A)

(2)g的所有可能为:1,2,3

由独立性知：P(J-I)-P(A)+P(A“J-』+2X_L-2

333

综上知看有分布列

123

P22

399

7?113

从而,£^=以彳+2*§+3*§=](次)

3.解：(1)事件“X=4”表示，A胜4场或8胜4场(即6负4场或A负4场)，且两两互斥.

P(X=4)=《x(l)4x(；)。+&x(l)°x(J)。=A；

(2)事件“X=5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或8在第5场中取胜且

前4场中胜3场(即第5场A负且4场中A负了3场)，且这两者又是互斥的，所以

⑶类似地,事件“X=6”、“X=7”的概率分别为

&x=6)弓吗吗严+；%吗严二5，

比赛场数的分布列为

X4567

2455

P16161616

故比赛的期望为以X）=4x—7+5x—4+6x52+7x52=53125（场）

16161616

这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负.

4.【答案及解析】

⑴由频率公布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2x2列联表如下：

由2x2列联表中数据代入公式计算，得：

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(H)由频率公布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率，即从观众中抽取

一名"体育迷''的概率为由题意，

4

X〜8(3,

4。从而X的分布列为：

【点评】此题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分

布列，期望E(X)和方差"X),考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中.准确

读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.

5.（I）解法一：记”该选手能正确答复第，轮的问题”的事件为A（i=L2,3）,

432

那么P（4）=丁P（A）=-,P（A）=-,

.该选手被淘汰的概率

I42433101

=—+—X—+—X—X—=.

555555125

（I）解法二：记“该选手能正确答复第i轮的问题''的事件为A（i=L2,3）,

432

那么p（4）=g,P（A）=-,P（A,）=-.

.•・该选手被淘汰的概率

,432101

=1—x—x—=-----.

555125

一1

（II）4的可能值为1,2,3,PC=1）=P（A）=葭

——428

pe=2）=p（44）=P（4）P（4）=n=^

JJ

＞431）

P«=3）=P（^A）=P（A）/（A2）=-X^=—

JJ4J

二.J的分布列为

自123

812

P

52525

1257

X——=——

2525

6.（1）X的所有可能值为1,2.3,4oX的分布列为

P（X=l）=7/10,

P（X=2）=3/10x7/9=7/30,

P（X=3）=3/10x279x7/8=7/120,

P（X=4）=3/10x2/9x1/8=1/120。

（2）X的所有可能值为1,2,3,4oX的分布列为

37

P（X=k）=（一产.一,k=l,2,3,....

1010

（3）X的所有可能值为1,2,3,4。X的分布列为

P（X=l）=7/10,

P（X=2）=3/10x8/10=6/25,

P(X=3)=3/10x2/10x9/10=27/500,

P(X=4)=3/10x2/10x1/1()=3/5(X)。

7.解：(I)由题意知，此题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的根本领件总数为6x6=36,

满足条件的事件是使方程有实根，那么△:b2-4cX),即应2无

下面针对于c的取值进行讨论

当c=l时，b=2,3,4,5,6；

当c=2时，b=3,4,5,6；

当c=3时，b=4,5>6；

当c=4时，b=4,5,6；

当c=5时，b=5,6；

当c=6时，b=5,6,

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19,

因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为4

36

(II)由题意知用随机变量4表示方程x2+bx+c=0实根的个数得到片0,1,2

根据第一问做出的结果得到

那么%=0嘘，*1尸,喂吟2尸春

・•・G的分布列为

012

P17117

361836.飞的数学期望哈。啜+*+2*口

8.设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

那么P(4)=，P(⑶=[P(C)=1.

........................3分

632

(I)假设返券金额不低于30元，那么指针落在A或B区域.

/.P=P(4)+?(/?)=1+1=1

632........................4分

即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是:.

(II)由题意得，该顾客可转动转盘2次.

随机变量X的可能值为0,30,60,90,120.............5分

P(X=0)=lxl=l；

224

p(X=30)=-x-!-x2=i;

233

P(X=60)=—x—x2+-x-=—;

263318

尸(X=90)=』x1x2」；

369

P(X=120)=-xi=—.

663610分

所以，随机变量X的分布列为:

p0306090120

X\_\_51

4318936

其数学期望

EX=0xl+30x-!-+60xA+90xl+l20x—=40

431893612分

9、解：m根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为:

168+169=]68.5.…2分

2

(2)由茎叶，图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，

二.校照分层抽样抽取的5人中“高个子”为5x2=2人，“非高个子”为5x^=3人；

2020

r27

那么至少有1人为高个子的概.率0=1一……6分