福建莆田市城厢区南门学校2025-2026学年 九年级下学期返校考数学试题（含答案）

2025-2026学年南门中学九年级下学期返校考数学试题一、单选题1.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.把方程变形为的依据是（）A.分数的基本性质 B.等式的性质 C.去分母 D.倒数的定义3.歼-20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它的巡航速度约为每小时3185000米．将数据3185000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.4.下列方程有两个不相等实数根的是（）A. B. C. D.5.若点都在双曲线上，则大小关系是（）A. B. C. D.6.不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（）A.袋中红球有90个 B.第101次摸到红球的可能性较大C.第101次会摸到红球 D.红球数量占袋中总球数的7.如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（）A.3 B.4 C.6 D.98.如图，四边形内接于，延长交于点，连接．下列四个角中，与一定相等的是（）A. B. C. D.9.某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为，下列推断正确的是（）A.B.是乙车床一天总工时的反比例函数C.是甲车床一天总工时的正比例函数D.是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数10.已知是一元二次方程的实数根，，设，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.二、填空题11.已知是二元一次方程的一个解，则的值是__________．12.近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程___________．13.若锐角，则．已知，则的值为______．14.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的长是________．15.下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是________．16.如图，在四边形中，，，，，．为线段上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点在线段上由点向点运动时，与的交点总在线段上，则的最小值是___．三、解答题17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗）（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？（2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？20.如图，E是正方形的边上一点，将绕点C顺时针旋转得到，点E的对应点F在边上．（1）在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若点G恰好落在线段上，证明平分．21.2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．（1）求甲同学参加A赛道的概率；（2）求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．22.已知关于x一元二次方程．（1）求证：方程必有两个不相等的实数根；（2）若实数m，n满足，且，求的值．23.材料一：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“连续合数”，如，，，因此4，12，20这三个数都是“连续合数”．材料二：对于一个三位自然数，如果十位上的数字恰好等于百位上数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“行知数”．例如：在自然数231和132中，，则231和132都是“行知数”；在自然数396和693中，，则称396和693是“行知数”．（1）求证：任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；（2）已知三位数（其中a，b，c为整数，且，）满足既是“连续合数”，又是“行知数”，求所有符合条件的三位数的值．24.如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．25.已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点是直线下方抛物线上的点，连接交于点，连接，记，的面积分别为，．求的最大值；（3）直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点，求证：．

2025-2026学年南门中学九年级下学期返校考数学试题参考答案一、单选题1.2.B3.C4.．5.A．6.B7.D．8.D9.B10.C二、填空题11.25．12.．13.14.415.16.三、解答题17.解：原式．18.解：把代入，得．19.【小问1详解】解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得解得答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元．【小问2详解】解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．解得，答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克．20.【小问1详解】解：如图，即为所求；【小问2详解】证明：如图，由旋转变换的性质可知，，∵四边形是正方形，∴，，∵∴，∴，∴，∴平分．21.【小问1详解】解：∵竞赛设置了A，B，C，D四个赛道，∴甲同学参加A赛道的概率为；【小问2详解】解：列表如下：甲\乙由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的结果为7种，∴甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率为．22.【小问1详解】证明：一元二次方程中，，∴，∵，∴，即，∴方程必有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由，得，∵，∴，∴m和都满足方程，对于一元二次方程，有，∵m和是方程的两个根，且，∴，∴．23.【小问1详解】证明：设一个“连续合数”分成的两个连续偶数为，(n为整数)，则∵n为整数，∴是奇数，∴任何一个“连续合数”一定是4的奇数倍；【小问2详解】解：∵三位数是“行知数”，，其中，，且a，b，c为整数，，，，且为整数，∵由（1）得“连续合数”是4的奇数倍，∴是4的奇数倍，∴为奇数，或，当时，得或，∵为奇数，∴，此时；当时，得，∵为奇数，∴，此时．综上所述，所有符合条件的三位数为132，220．24.（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，∵OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∵OF＝FC，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝．（2）①证明：过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH．∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB．FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF．②∵OE∥FG∥BC，∴＝＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°．25.【小问1详解】解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．∴把，分别代入，得∴∴；【小问2详解】解：由（1）得，令，解得∵抛物线与轴交于点，点，∴点，过点作，交于点H，如图所示：依题意，设的解析式为，∵，，∴，解得，∴，∵点是直线下方抛物线上的点，∴设，且，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，的面积分别为，．∴（同高，三角形的面积比等于底边的比）∴，，令，∵，∴开口方向向下，在对称轴为直线处取得最大值，且把代入，得．即的最大值为；