重庆市沙坪坝区2025-2026学年高二数学下学期5月期中试题【含答案】

2025－2026学年高二下学期期中学业水平检测数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡的相应位置上．1.已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（）A.中位数为5，极差为7 B.中位数为5，极差为8C.中位数为5.5，极差为7 D.中位数为5.5，极差为8【答案】C【解析】【分析】利用中位数和极差公式求解即可.【详解】由题可得中位数是，极差为：2.某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（）A.10 B.12 C.18 D.20【答案】C【解析】【详解】设应从中年人中抽取的人数为50×360240+360+4003.已知等差数列的前n项和为，且满足，则数列的公差为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【详解】设等差数列的公差为，则a1+2d+4.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算“恰好击中两次”的三种互斥情况的概率；最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可.【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C，甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为：甲：，不命中，乙：，不命中P(B)=丙：P(C)=15，不命中所以共有3种可能的情况：甲、乙击中，丙未击中概率为：P1甲、丙击中，乙未击中概率为：P2乙、丙击中，甲未击中概率为：P3将三种情况的概率相加：P=P5.的展开式中的常数项为15，则实数a＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项，结合通项得到展开式的常数项为，列出方程，即可求解.【详解】由二项式的展开式的通项为，令，可得，可得展开式的常数项为，因为二项展开式的常数项为，所以，可得，解得.6.计划将甲、乙、丙、丁、戊五名教师分配到三个不同的乡村学校支教，每个学校至少分配一人，若甲、乙两人必须分配在同一个学校，且丙不能与甲、乙分配在同一个学校，则不同的分配方案种数为（）A.24 B.30 C.36 D.42【答案】B【解析】【分析】将甲、乙捆绑成1个小组，则相当于共4个“元素”，将4个“元素”分到3个学校，每个学校至少分到一人，求出总的分配方案，然后用总的种数减去甲乙与丙在一个学校的种数，即可得到答案．【详解】将甲、乙捆绑成1个小组，则相当于共4个“元素”.将4个“元素”分到3个学校，每个学校至少分到一人，则有种.甲、乙与丙分配在同一个学校的方案数为：种.故不同的分配方案种数为种.7.若函数不单调，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解.【详解】函数的定义域为,f'令，解得：，且恒成立，因为函数不单调，则在上有变号零点，则两个根和至少有一个在，由于，则必在区间内，故，解得：8.已知为坐标原点，、、分别是椭圆：（）的右顶点、下顶点和左焦点，点在椭圆上，且．若，估计椭圆的离心率的值所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合已知条件求出，进而得到1-e23=e2，构造函数f【详解】由题意知，、、，设，因为，所以，代入椭圆方程解得y02=由已知可知点在第二象限，所以，则，则，又，，所以，整理得，则，又，所以a2-又（），则1-e23令fe=1-则f'e所以在上单调递减；又f0=1-02f12f33f22结合零点存在定理可知，椭圆的离心率e∈12二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．9.已知一组数据的平均数为5，方差为．现将该组数据进行以下两种处理：操作1：加入一个新数据5，得到10个数据，方差为；操作2：将每个数据都乘以2再加3，得到新数据，方差为，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【详解】因为数据的平均数为5，所以，因为加入一个新数据5，得到10个数据，所以，由新数据的方差为，所以，所以，所以，所以，故A正确，B错误；由题意，，，所以，故C正确，D错误.10.已知，则下列结论正确的有（）A.所有二项式系数之和为 B.二项式系数最大的项是第五项和第六项C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用二项式定理逐项进行判断即可求解.【详解】对于A，二项式的所有二项式系数之和是C100对于B，在的展开式中，二项式系数是，由于指数为偶数，所有二项式系数在中间一项达到最大，即当时，最大，对应于第六项，所以二项式系数最大的项只有第六项，故B错误；对于C，已知，令，得1-210=1=令，得-1-210=两式相加得1+310=2a0对于D，对(x-2)10两边求导得10(x-2)令，得a1+2a2+⋯+10a11.在我国的“杨辉三角”中蕴含着优美的组合数关系式．瑞士数学家欧拉也曾提出过一个名叫“欧拉三角形”的数表，其中的数类似于组合数，也蕴含着优美的关系式．将1，2，…，n（n≥2）这n个数排成一排，得到一个排列（），设排列中满足的正整数i有k个，就称排列（）的“升程数”为k．比如：n＝3时，排列1，2，3的“升程数”为2，排列2，1，3的“升程数”为1．记为将1，2，…，n（n≥2）排成一排后“升程数”恰为k（k＝0，1，…，n－1）的排列数．比如：n＝3时，“升程数”为1的排列有（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，1，2）这4个，即＝4．则下列说法正确的是（）A.＝1 B.＝10C. D.【答案】ACD【解析】【分析】选项A：直接分析升程数为0的排列唯一性.选项D：通过插入法推导升程数的递推关系，为后续计算提供依据.选项B：利用D的递推式计算B42的具体值，验证结论.选项C【详解】选项A：升程数为0的排列需满足所有相邻元素递减，即唯一的降序排列(n,n-1,…,1)，故Bn0选项D：将插入1,2,…,n-1的排列中，升程数的变化可分两类：1.若原排列升程数为，插入后升程数变为，此类插入位置共种，对应排列数(n-k)Bn-1k-1；2.若原排列升程数为，插入后升程数不变，此类插入位置共种，对应排列数(k+1)Bn-1k.因此递推关系Bnk=(n-k)B选项B：已知B31=4，则B42=(4-2)B3选项C：定义排列(a1,a2,…,a原排列中等价于补排列中bi>b原排列升程数为时，降程数为(n-1)-k，对应补排列的升程数为(n-1)-k.由于补排列与原排列一一对应，故Bnk=B第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上．12.曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【详解】曲线的导函数为.在点处切线斜率.由点斜式得切线方程，整理得.13.已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球．小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球．小明第二次摸到白球的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”，求得和，结合全概率公式，即可求解.【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”，则,若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为，若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为，由全概率公式，可得.14.为了增强学生体质，提高学生运动兴趣，某校高二年级共6个班准备在5月中旬举行自编操比赛，出场顺序抽签决定．则1班不在第一个出场，6班不在第6个出场，且2班和3班出场顺序不相邻的不同抽签结果有______种．（请用数字作答）【答案】【解析】【分析】先计算满足前两个位置限制的所有排列数，再用捆绑法计算其中2、3班相邻的排列数，利用对立事件的思想，两者相减得到同时满足三个条件的结果.【详解】①满足“1班不在第1位、6班不在第6位”的排列数：总排列数为，减去“1班在第1位”的排列数，减去“6班在第6位”的排列数，再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数，因此：N1=②满足“1班不在第1位、6班不在第6位，且2班与3班相邻”的排列数：将2班与3班捆绑为一个整体，内部有种排列方式，此时转化为对5个元素的排列问题，总排列数为A22A55，减去“1减去“6班在第6位”的排列数，再加上重复减去的“1班在第1位且6班在第6位”的排列数，因此：N2=综上所述，符合全部条件的排列数为：.四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．15.已知数列的前项和为，满足．（1）求证：是等比数列，并求；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用可得，再利用等比数列定义即可求解；（2）由裂项相消法即可求解.【小问1详解】已知数列的前项和为，满足，当时，有S1=a1=2当时，有，对于，有Sn+1=2an+1-n+1化简得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式有an+1=a【小问2详解】由（1）可知，则bn=则数列的前项和Tn=b解得Tn16.从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（1）求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线；（3）在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各个小矩形面积之和为1即可求得A的值;（2）根据小矩形面积与频率的关系可以计算出前所占比例，从而计算出获奖学生的最低分数线；（3）根据和频率分别为和，进而得到在样本中的人数，再求出抽取的对象来自不同分组的概率.【小问1详解】由频率分布直方图各个小矩形面积之和为1可知10(0.01+0.015+0.015+A+0.025+0.005)=1,【小问2详解】设获奖学生的最低分数线为,那么0.025(90-x)+0.005×10=0.25，，所以，获奖学生的最低分数线为.【小问3详解】由频率分布直方图可知，和频率分别为和，所以，样本中有人，有人，那么随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率为.17.已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点．（1）求轨迹的方程；（2）设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点．【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】（1）由抛物线的定义，直接得到轨迹的方程；（2）结合设直线的方程和，两点坐标，联立曲线的方程，写出直线的方程，结合韦达定理化简即可到直线恒过定点．【小问1详解】∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等，∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，∴其轨迹方程为.【小问2详解】由题意可知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，则.由，得.Δ=16m2∵不重合，∴，即，∴直线的方程为，即y=4m∴直线过定点.18.某7层高的写字楼有两部独立运行的电梯A和B，初始都在1楼．每部电梯每次运行时，有的概率向上运行2层、有的概率向上运行1层．两部电梯各自独立运行3次（每次运行后记录所在楼层）．设电梯A，B第i次运行后所在楼层分别为和．（1）求电梯A最终停在6楼的概率；（2）若电梯每向上运行1层消耗0.005度电，向上运行2层消耗0.010度电．记电梯A这3次运行中向上运行1层的次数为X，3次运行总耗电量为Y，求X的分布列及Y的数学期望；（3）若对任意都成立，则称两部电梯“同步”．当电梯A最终停在6楼时，求两部电梯3次运行时始终同步的概率．【答案】（1）；（2）的分布列见详解，的数学期望为度；（3）.【解析】【分析】（1）先通过目标楼层反推电梯运行的次数组合，用方程确定两种运行方式的次数，再利用独立重复试验的特征，计算目标组合的概率，最后建立总耗电量与运行次数的线性关系，用期望性质直接计算即可；（2）先识别出随机变量服从，再通过公式计算各取值概率，列出分布列；并建立总耗电量与的线性关系，最后利用期望的线性性质，结合二项分布期望公式，直接求出的数学期望即可；（3）先确定电梯A停在6楼的所有运行序列，再针对每一种序列，按“每一步楼层差不超过1”的同步条件，分步枚举所有符合要求的B序列，接着计算出“同步且A停在6楼”的联合概率，最后利用条件概率公式，用联合概率除以“A停在6楼”的概率，得到最终结果即可.【小问1详解】设电梯A在3次运行中，向上运行1层的次数为，向上运行2层的次数为，因为电梯从1楼出发，最终停在6楼，总上升层数为：，所以，解得：，即电梯A需要1次向上运行1层，2次向上运行2层，根据二项分布，概率为：，所以电梯A最终停在6楼的概率为.【小问2详解】由题意，为3次运行中向上运行1层的次数，每次运行向上1层的概率为，因此，所以，，，，所以的分布列：0123由题意，总耗电量与的关系为：，化简得：，则期望：，因此，的数学期望：，所以的分布列如上，的数学期望为度.【小问3详解】事件M：电梯A停在6楼，其运行序列为“1次1层、2次2层”，所以电梯A运行序列共有种排列，记为：.同步条件：对，，①当电梯A运行序列为时：符合条件的电梯B运行序列：，共6种，其概率和为227+②当电梯A运行序列为时：此时电梯B运行序列中只有1,1,1不满足同步条件，所以满足同步条件的概率为1-1③当电梯A运行序列为时：