2025-2026学年河北省邯郸冀南新区凌云中学高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省邯郸冀南新区凌云中学高一（下）期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足z(3+2i)=13，则复数z的共轭复数z−的虚部为(

)A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.已知向量a=(1,x)，b=(3,4x+2)，若a//b，则实数A.2 B.1 C.−1 D.−23.某市交通部门在早高峰时段，记录了15辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第60百分位数为(

)A.32 B.33.5 C.35 D.384.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥β，则α//β B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若α⊥β，m⊥β，则m//α5.如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，若O′A′=2,A′B′=10，则A.8

B.4

C.42

6.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=3P(B)，则P(A−)=A.1720 B.1120 C.9207.如图，两座山峰的高分别为AM=200m，CN=300m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且∠MBN=30°，则两座山峰峰顶之间的距离MN=(

)A.200m

B.2003m

C.400m8.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且AP=14A.34

B.16

C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z=3−2i1+i，则(

)A.z的实部是12 B.|z|=332

C.10.设A，B是两个随机事件，且P(A)=12，P(B)=13A.若A，B是互斥事件，则P(A∪B)=56

B.若B⊆A，则P(A∪B)=56

C.若A，B是相互独立事件，则P(A∪B)=23

D.若11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1DA.直线BC与平面ABC1D1所成角的正弦值为22

B.异面直线D1C和BC1所成的角为π3

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为23的半圆，则该圆锥的体积是

．13.甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲、乙命中目标的概率分别为34，45，则目标至少被击中1次的概率为

．14.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c(cosB−cosA)=a−b，则sinA+cosB+sinC的取值范围为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

复平面内表示复数z=(m2−2m−3)+(m−3)i的点为Z．

(1)当实数m取何值时，复数z表示纯虚数，并写出z的虚部；

(2)当点Z位于二、四象限时，求实数m16.(本小题15分)

已知向量a=(−1,2)，b=(2,λ)．

(1)若a//b，求|b|的值；

(2)若|a−b|=|a+b17.(本小题15分)

某校AI社团组织全校学生参加AI伦理与法治素养主题知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩中，随机调查了部分同学的测试成绩，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中的x值，并估计考核得分的第70百分位数；

(2)已知落在[80,90)内的平均成绩是85分，方差是6，[90,100]内的平均成绩是97分，方差是4，求两组成绩合并后的平均数w−和方差s218.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=23且cosC+(cosB−3sinB)cosA=0．

(1)求角A的大小；

(2)若b=22，求△ABC的面积；19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=2，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．

(1)证明：AB/​/平面PCE；

(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；

(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】3π

13.【答案】192014.【答案】(1,1+15.【答案】m=−1时，复数z是纯虚数，虚部为−4

{m|m<−1}

16.【答案】解：(1)∵a/​/b，a=(−1,2)，b=(2,λ)，

∴(−1)×λ−4=0，

∴λ=−4，

∴b=(2,−4)，

∴|b|=22+(−4)2=25．

(2)∵|a−b|=|a+b|，两边同平方得|a−b|2=|a+b|2，

则化简得a⋅b=0，

∴17.【答案】x=0.020，第70百分位数为2503

平均数w−=8818.【答案】解：(1)因为cosC+(cosB−3sinB)cosA=−cos(A+B)+(cosB−3sinB)cosA

=sinB(sinA−3cosA)=0，且A,B∈(0,π2)，则sinB≠0，

可得sinA−3cosA=0，

整理得tanA=3，所以A=π3．

(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，即12=8+c2−2×22c×12，

解得c=2+6或c=2−6(舍去)，19.【答案】证明：(1)∵BC/​/AE且BC=AE，

∴四边形BCEA为平行四边形，

∴AB/​/EC，

又∵AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，

∴AB/​/平面PCE；

(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

连接BE，∵BC/​/DE且BC=DE，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∵DE⊥CD，BC=CD=2，

∴平行四边形BCDE为正方形，

∴BD⊥EC，

又∵AB//EC，∴BD⊥AB，

又∵PA⋂AB=A，PA⊂面PAB，AB⊂面PAB，

∴BD⊥面PAB，

∵BD⊂面PBD，

∴平面PAB⊥平面PBD；

解：(3)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，

∴∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，从而∠PDA=45°，

∴在Rt△PAD中，PA=AD=4，

作AM⊥PB于M，连接MD，

由(2)知，平面PAB⊥平面PBD且AM⊂平面PAB，平