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文档简介

第2课时对数函数的图象和性质(二)【学习目标】1.进一步研究对数函数的图象与性质.(直观想象、逻辑推理)2.会用对数函数的图象与性质解决有关综合问题.(逻辑推理、数学运算)3.运用对数函数模型解决实际问题.(数学建模)类型1对数型函数的单调性问题(数学运算)【典例1】(1)(2026·漳州高一检测)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(

)A.(-1,1)

B.(-∞,1)C.(1,+∞)

D.(1,3)√【解析】选D.对于函数y=ln(-x2+2x+3)有意义,可得-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0,解得-1<x<3.设t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则函数t=-x2+2x+3在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,又函数y=lnt在定义域上单调递增,故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为(1,3).

【解题有招】对数型函数的单调性问题1.求单调区间:首先求函数的定义域,然后再利用复合函数的单调性求单调区间;2.由单调性求参数的取值范围:利用复合函数“同增异减”及函数的定义域建立关于参数的不等式(组)求解.

√

【解题有招】形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其最值(值域)的求解步骤如下:(1)分解成y=logau,u=f(x)两个函数;(2)求f(x)的定义域;(3)求u的取值范围;(4)利用y=logau的单调性求解.【即学即练】1.函数y=log3(x2-2x+4)的值域是

.

【解析】易知x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,又y=log3x在定义域上单调递增,所以y=log3(x2-2x+4)≥log33=1.答案:[1,+∞)2.已知函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)的最大值为2,则a=

.

【解析】因为函数f(x)=log3(-x2+4x+a-1)由y=log3t,t>0与t=-x2+4x+a-1复合而成,而y=log3t在定义域上单调递增,所以当t=-x2+4x+a-1取最大值时,函数y=log3t取得最大值,由二次函数的性质易知当x=2时,tmax=a+3,此时f(x)max=log3(a+3),所以log3(a+3)=2,解得a=6.答案:6类型3与对数函数性质有关的综合问题(数学运算)【典例3】已知函数f(x)=ln(x+6)-ln(2-x).(1)证明:g(x)=f(x-2)是奇函数;(2)判断f(x)的单调性,并用定义证明;(3)若对任意的t∈(0,1),都有f(4t-2)+f(k·2t)>0,求实数k的取值范围.

【解题有招】对数函数性质的综合应用(1)判断函数的单调性:①要注意函数的定义域,②看底数是否需要分类讨论,③利用换元法解决复合函数的单调性与最值问题.(2)判断函数的奇偶性:①先求函数的定义域,②看定义域是否关于原点对称,③利用f(-x)=-f

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