第08讲 应用一元二次方程-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第08讲应用一元二次方程【学习目标】1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【基础知识】一．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．二．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．【考点剖析】一．由实际问题抽象出一元二次方程（共5小题）1．（2020春•嘉兴期末）某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：（y﹣750）（30+）＝12000．（2）请写出一种完整的解答过程．【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．如图，在一块长为22m，宽为17m的长方形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路．两条道路各与长方形的一条边平行，剩余部分种上草坪．已知草坪的面积为300m2，设道路宽为x（m），写出关于x的方程．该方程是一元二次方程吗？如果是，把它化成一元二次方程的一般形式．【分析】由道路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长（22﹣x）m，宽（17﹣x）m的长方形，根据草坪的面积为300m2，即可得出关于x的一元二次方程，再将其转化为一般形式．【解答】解：∵道路的宽为xm，∴种植草坪的部分可合成长（22﹣x）m，宽（17﹣x）m的长方形，依题意得：（22﹣x）（17﹣x）＝300，∵该方程是一元二次方程，∴将其化为一般形式为x2﹣39x+74＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般形式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2021秋•赵县月考）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．（1）某印刷厂3月份印刷了50万册书籍，5月份印刷了72万册书籍，如果每月印刷的增长率都相同，求每月印刷的增长率x；（2）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生132条消息．【分析】（1）设每月印刷的增长率都为x，根据该印刷厂3月份及5月份印刷书籍的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解；（2）每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．【解答】解：（1）设每月印刷的增长率都为x，根据题意得：50（1+x）2＝72．化为一般形式为25x2+50x﹣11＝0；（2）设有x个好友，依题意得x（x﹣1）＝132，化为一般形式为x2﹣x﹣132＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．4．如图所示，要建一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门．现有能围成32米长的木板，求仓库的长和宽．对于这个问题，你能列出方程吗？试求其解，并与同伴交流一下自己的心得．【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，那么平行于墙的一边长为（32﹣2x+1），而仓库的面积为130平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米，依题意得（32﹣2x+1）x＝130，2x2﹣33x+130＝0，（x﹣10）（2x﹣13）＝0，∴x1＝10或x2＝6.5，当x1＝10时，32﹣2x+1＝13＜16；当x2＝6.5时，32﹣2x+1＝20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13米，10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，弄懂题意，根据面积为130平方米列出方程是解决问题的关键，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．5．如图，一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为整块地毯面积的45%，那么花边有多宽？（只需列方程）【分析】等量关系为：（8﹣2×花边的宽）×（5﹣2×花边的宽）＝18．【解答】解：可得方程为：（8﹣2x）×（5﹣2x）＝18．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解决本题的关键是得到相应的等量关系，难点是得到中央长方形图案的长与宽．二．一元二次方程的应用（共5小题）6．（2022•宝安区校级开学）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（680﹣10x）个．（2）在（1）的条件下，当该种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？【分析】（1）利用月均销量＝280﹣×20，即可用含x的代数式表示出月均销量；（2）利用总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为280﹣×20＝（680﹣10x）个．故答案为：（680﹣10x）．（2）依题意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，整理得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56．答：当该这种书包销售单价为42元或56元时，销售利润是3120元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出月均销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．7．（2022春•西湖区校级月考）某花圃需要绿化的面积为52000米2，施工队在绿化了28000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中，如图有长为2米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，此时花圃的面积刚好为45米2，求此时花圃的长和宽．【分析】（1）直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案；（2）利用矩形绿地，它们的面积之和为45米2，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣＝4，解得：x＝2000，经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设花圃的宽度为x米，则BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x，根据题意，得（24﹣3x）x＝45，解得：x1＝3，x2＝5．∵当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，∴不符合题意，舍去．∴宽为5米，长为9米．答：花圃的长为9米，宽为5米．【点评】此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．8．（2022春•番禺区校级期中）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到12.1万只．求该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．【分析】设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，利用2021年的年销售量＝2019年的年销售×（1+年销售量的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021秋•淮安区期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．（1）设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为30﹣2xm（用含x的代数式表示）；（2）若菜园的面积为100m2，求x的值．【分析】（1）根据图形直接可得答案；（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．【解答】解：（1）由图可得：平行于墙的一边长为（30﹣2x）m，故答案为：30﹣2x；（2）根据题意得：x•（30﹣2x）＝100，∴x2﹣15x+50＝0，解得x＝5或x＝10，当x＝5时，30﹣2x＝20＞18，∴x＝5不合题意，舍去，∴x＝10，答：x的值为10m．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是数形结合列方程．10．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【分析】利用经过两个周期的传染后感染新冠的人数＝1×（1+R0）2，即可得出关于R0的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意得：（1+R0）2＝36，解得：R0＝5或R0＝﹣7（不合题意，舍去）．答：新冠病毒的基本传染数R0为5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•兰山区一模）临沂一体彩销售中心今年开业，一月份总销售额12000元，三月份销售额为14520元，且从一月份到三月份，每月销售额的平均增长率相同，则每月销售额的平均增长率为（）A．8% B．9% C．10% D．11%【分析】设每月销售额的平均增长率为x，利用三月份的销售额＝一月份的销售额×（1+每月销售额的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每月销售额的平均增长率为x，依题意得：12000（1+x）2＝14520，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），∴每月销售额的平均增长率为10%．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2022•肥东县二模）合肥市政府为坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”的定位，于2021年4月正式颁布实施“房地产新政八条”，当年6月、7月连续两个月全市二手房均价都有所下降，7月份下降的百分率是6月份的一半，设6月份下降的百分率为x，如果5月底全市二手房均价为每平方米m元，7月底均价为每平米n元，那么下列关系式成立的是（）A．n＝m•x•x B．n＝m•（1+x）•（1+x） C．n＝m•（1+x）2 D．n＝m•（1﹣x）•（1﹣x）【分析】由7月份下降的百分率是6月份的一半可得出7月份下降的百分率为x，利用7月底全市二手房的均价＝5月底全市二手房的均价×（1﹣x）×（1﹣x），即可得出结论．【解答】解：∵7月份下降的百分率是6月份的一半，设6月份下降的百分率为x，∴7月份下降的百分率为x．依题意得：n＝m•（1﹣x）•（1﹣x）．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2022•贵港模拟）某运动品牌的一双运动鞋，春节过后进行两次特价处理，使每双的价格由280元降至220元，求两次平均降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A．280（1﹣x）+280（1﹣x）2＝220 B．280（1﹣x）2＝220 C．220（1+x）2＝280 D．280（1﹣x）×2＝220【分析】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：280（1﹣x）2＝220．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022•温州模拟）某口罩厂平均每天可生产20万只口罩，厂家引进新技术，经过连续两次增速后，平均每天可生产30万只．若两次的增长率都为x，则可得方程（）A．（20+x）2＝30 B．20（1+x）2＝30 C．20（1+2x）＝30 D．20（1+x）+20（1+x）2＝30【分析】利用经过连续两次增速后每天的产量＝原产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20（1+x）2＝30．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（2022•福州模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864 B． C．（60+x）x＝864 D．（30+x）（30﹣x）＝864【分析】根据长与宽之间的关系，可得出长为步，宽为步，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵长与宽和为60步，长比宽多x步，∴长为步，宽为步．依题意得：•＝864．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2022•泰安一模）华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（）A．10% B．15% C．20% D．25%【分析】设每次降价的百分比是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设每次降价的百分比是x，依题意得：（1﹣x）2＝，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2022春•西湖区校级期中）如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是x2﹣45x+44＝0．（化为一般形式）【分析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，根据试验田面积为912m2，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．【解答】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，依题意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，化简得：x2﹣45x+44＝0．故答案为：x2﹣45x+44＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022春•柯桥区月考）电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．【分析】由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入累计达7亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵某地第一天票房约2亿元，且以后每天票房的增长率为x，∴第二天票房约2（1+x）亿元，第三天票房约2（1+x）2亿元，依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．故答案为：2+2（1+x）+2（1+x）2＝7．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2022•芜湖一模）为推进“书香芜湖”建设，让市民在家门口即可享受阅读和休闲服务，某社区开办了社区书屋.2021年9月份书屋共接待了周边居民200人次，11月份共接待了648人次，假定9月至11月每月接待人次增长率相同设为x，则可列方程200（1+x）2＝648．【分析】利用111月份接待的人次数＝9月份接待的人次数×（1+每月接待人次增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：200（1+x）2＝648．故答案为：200（1+x）2＝648．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有40名学生．【分析】设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，利用九（1）班共用去贺卡的数量＝人数×每人送出新年贺卡的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九（1）班有x名学生，则每名学生需送出（x﹣1）张新年贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝1560，整理得：x2﹣x﹣1560＝0，解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去），∴九（1）班有40名学生．故答案为：40．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．（2021秋•朝阳县期末）为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排36场比赛，应安排多少个球队参赛？设安排x个球队参赛，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝36．【分析】利用比赛的总场次数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝36．故答案为：x（x﹣1）＝36．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）12．（2022•西安二模）直播购物逐渐走进人们的生活．某电商在抖音上对一款标价为400元/件的商品进行直播销售，为了尽快减少库存，直播期间，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．求该种商品每次降价的百分率．【分析】设该种商品每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设该种商品每次降价的百分率为x，依题意得：400（1﹣x）2＝324，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2022•内黄县模拟）某县生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率．（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园冬桃产量．【分析】（1）根据2021年的产量＝2019年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可；（2）由（1）中的平均增长率，即可求出2022年水果产量的吨数．【解答】解：（1）设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意得：80（1+x）2＝115.2，解这个方程得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．x2＝﹣2.2＜0，不符合题意，舍去．答：该果园水果产量的年平均增长率为20%；（2）由题可知115.2×（1+0.2）＝138.24（吨），答：预计该果园2018年水果产量为138.24吨．【点评】考查根据实际问题列一元二次方程，找准等量关系：2021年的产量＝2019年的产量×（1+年平均增长率）2是解决问题的关键．14．（2021秋•驿城区期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮有x人被传染，第二轮有（1+x）x人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患了新