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文档简介

[4]若,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于．若，则是正定矩阵．证实对称矩阵可对角化为其中，恰好是的特征值，则二次型的标准形为：++…+,而非退化实线性变换保持正定性不变，由(,,…，)=++…+.正定得>0()．例7证明：二次型为正定二次型。证设的矩阵为，则由，可知的特征值，由于特征值全为正数，所以是正定矩阵，从而为正定二次型。例8设A为n阶实对称矩阵，且.证明：A正定.证设是A的任一特征值，对应特征向量为，即，代入已知等式,有，因为，故满足得，因A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有，即A的全部特征值就是，这就证明A是正定矩阵.结论本文把正定矩阵定义，正定矩阵的性质与矩阵正定的若干判别的方法作为重要理论依据，从矩阵和矩阵正定的相关性质和定理出发，简单介绍了矩阵正定的4个判别方法：定义法、标准型法、顺序主子式法、特征值法来判定一个矩阵是否属于正定矩阵，且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.正定矩阵涉及到了物理、概率论与统计、计量经济学等各个领域.总之，研究正定矩阵的性质和判别方法对于自然科学的发展，理论学科的进步有着不可替代的重要作用.参考文献何亚丽．《线性代数》[M]．科学出版社．王萼芳，石生明．《高等代数》（第三版）．北京：高等教育出版社．陈大新．《矩阵理论》[M]．上海：上海交通大学出版社．刘畅．正定矩阵性质的推广［J］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271．岳贵鑫．正定矩阵及其应用[J］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33．黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88．张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J］．中南大学学报，2011,31（4）．庭骥.判别正定矩阵的充分必要条件及其等价性.焦作矿业学院学报，1992.常兴邦.判别正定矩阵的充分必要条件及其等价性.洛阳师范学院学报，2001.黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J］．烟台职

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