2027届新高考数学热点精准复习两直线的位置关系与对称问题

2027届新高考数学热点精准复习两直线的位置关系与对称问题【课标要求】

1.掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.2.掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.【知识要点】1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇒

，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直①如果l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔

.

②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，那么l1⊥l2.k1=k2k1k2=-1

唯一解无解无穷多组解3.三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|=

;

(2)点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=

;

(3)两平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为

.

5.轴对称(1)设平面上有直线l:Ax+By+C=0和两点P(x，y)，P'(x'，y')，若满足下列两个条件:①

;②

，则点P，P'关于直线l对称.

PP'⊥直线lPP'的中点在直线l上(2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解:①关于x轴对称(以

代

);

②关于y轴对称(以

代

);

③关于y=x对称(

互换);

④关于x+y=0对称(以

代

，以

代

);

⑤关于x=a对称(以

代

);

⑥关于y=b对称(以

代

).

-yy-xxx，y-xy-yx2a-xx2b-yy

【基础检测】

×[解析](1)两直线可能重合.√×√√2.[选择性必修1p67T8]若直线2x+(m+1)y+4=0与直线4x+6y-2=0平行，则m=(

)A.2 B.-3 C.3

D.-2A

C

4.若三条直线y=2x，x+y=3，mx+2y+5=0相交于同一点，则m的值为

.

-9

5.点P(2，5)关于直线x+y=1的对称点的坐标是

.

(-4，-1)

考点1两条直线的平行与垂直问题

C

[小结]1.解题要“前思后想”解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”2.方法要“因题而定”(1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行、垂直的方法:①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.(2)由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0l1与l2平行的充分条件l1与l2相交的充分条件l1与l2重合的充分条件

1.已知直线l1:2x+2y-1=0，l2:4x+ny+3=0，l3:mx+6y-1=0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为(

)A.-10 B.10

C.-2 D.2C

对应训练2.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R，则(

)A.当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行，则a=0或a=-1C.直线l过定点(0，1)D.当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等ABC[解析]

对于A:当a=-1时，直线l的方程为x-y+1=0，其斜率为1，而直线x+y=0的斜率为-1，所以当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直，故A正确;对于B:若直线l与直线x-y=0平行，则a2+a+1=1，解得a=0或a=-1，故B正确;对于C:当x=0时，y=1，与a无关，故直线l过定点(0，1)，故C正确;对于D:当a=0时，直线l的方程为x-y+1=0，在两坐标轴上的截距分别是-1，1，不相等，故D错误.故选ABC.考点2两直线的交点问题例2

(1)直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点为

.

(2)在平面直角坐标系xOy中，过直线l1:7x-3y+1=0与l2:x+4y-3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线l的方程为

.(写成一般式)

9x+5y-5=0[解析]

由题设，令直线l的方程为7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0，且直线过点(0，1)，则0-3+1+λ(0+4-3)=0⇒λ=2，故直线l的方程为9x+5y-5=0.[小结](1)求解两直线交点问题通常转化为解方程组的问题.(2)求过两直线交点的直线方程的方法:一是先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;二是利用相交直线系方程求解.

A

对应训练4.使三条直线x+y=2，mx+y=0，x-y=4不能围成三角形的实数m的值为

.

[解析]

当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形.

考点3距离公式的应用例3

(1)已知直线l1:x-y=1，l2:-x+y=1，则l1与l2的距离为

.

(2)已知点P(-2，-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是

.

[小结]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.5.已知直线l过点(3，9)，且原点到直线l的距离为3，则l的方程为

.

x=3或4x-3y+15=0

对应训练

C

考点4对称问题角度1.中心对称例4直线l:y=x+1关于点P(2，4)对称的直线方程为

.

y=x+3[解析]

在直线l上取两点A(0，1)，B(1，2)，则它们关于点P(2，4)的对称点分别为A'(4，7)，B'(3，6)，所以所求的直线方程即过点A'，B'的直线方程，为y=x+3.角度2.轴对称例5直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是

.

x-2y+3=0

解法二:设所求直线上任意一点P(x，y)，则点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0，y0)，

∴2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0.

C[解析]

根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出F，E关于AC，BC的对称点G，H，连接GH，交BC于D，则D点即为所求，如图，

[小结]解决对称问题的方法(1)中心对称

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点R(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为R'(m,n),则有