点到直线的距离-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.2.4点到直线的距离第二章平面解析几何学习目标掌握点到直线的距离公式，体现逻辑推理能力（重点）掌握两平行线间距离的求法，并且用公式解决问题，体现数学计算能力（重难点）新课导入平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，能不能快速地求出点到直线的距离呢？新课学习尝试与发现：想办法求出P(-1，2)到直线

l1：2x+y-5=0的距离？可以得到什么结论？如图所示，设P1(x1,y1)是直线l1上的点，且PP1⊥l1，则P到l1的距离等于PP1的长.2×(y1−2)=1×(x1+1)，整理得x1−2y1+5=0.①又因为P1(x1,y1)是直线l1上的点，所以2x1+y1−5=0.②新课学习思考一下：如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d

?设P1(x1,y1)是直线l上的点，且PP1⊥l，因此所要求的就是B(x1−x0)−A(y1−y0)=0.④又因为P1(x1,y1)是直线l上的点，所以Ax1+By1+C=0.⑤如果联立④和⑤求出x1，y1，再代入③，将是很繁琐，注意到为了求出③，只需要求出x1−x0与y1−y0的平方即可，而④正好有这两个式子，但⑤没有.新课学习思考一下：如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d

?为此，在⑤的左右两边同时减去Ax0，By0，并整理，得A(x1−x0)+B(y1−y0)=−(Ax0+By0+C).⑥将④与⑥两边平方后相加可得(A2+B2)[(x1−x0)2+(y1−y0)2]=(Ax0+By0+C)2，新课学习点到直线的距离公式已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，则点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为：例如：利用点到直线的距离公式，可以算得P(−1,2)到直线l1：2x+y−5=0的距离为新课学习思考一下：从向量角度考虑，如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d

?xyOlP1v点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式也可通过向量数量积来推导：因为v=(A,B)是直线l的一个法向量，设P1(x,y)是直线l上任意一点，则按照向量数量积的几何意义可知，P(x0,y0)到直线l的距离d满足新课学习思考一下：从向量角度考虑，如何求P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d

?xyOlP1v又因为P1(x,y)是直线l上一点，所以Ax+By+C=0，因此Ax+By=−C，从而新课学习例1：已知△ABC的三个顶点A(2,2)，B(2,0)，C(0,1)，求△ABC的BC边上的高.所求BC边上的高等于点A到直线BC的距离.因为BC所在直线的截距式方程为所以一般式方程为x+2y-2=0新课学习思考一下：如果两条直线平行，如何应用已知知识计算它们之间的距离？两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，因此，可以借助点到直线的距离求两条平行直线之间的距离．新课学习例2：求平行线l1：3x−4y+3=0与l2：6x−8y−5=0之间的距离.在l1的方程中，令y=0，则可得x=−1，因此(−1,0)是直线l1上一点.又因为(−1,0)到6x−8y−5=0的距离为新课学习设P(x1,y1)为l1上一点，则Ax1+By1+C1=0，从而Ax1+By1=−C1.因为P到l2的距离为所以结论成立.新课学习两条平行线的距离公式注意：应用两平行直线间的距离公式时，两条平行直线的方程需为一般式，且x，y