椭圆的标准方程-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册2.5.1椭圆的标准方程第二章平面解析几何学习目标理解椭圆的定义，体现数学抽象能力（重点）掌握椭圆的标准方程，体现逻辑推理能力（重难点）新课导入在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图（1）（2）所示．我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径.那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？新课学习椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.新课学习尝试与发现：设F1，F2是平面内的两个定点，|F1F2|=8，证明平面上满足|PF1|+|PF2|=10的动点P有无数多个，并求P的轨迹方程.以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y

轴，建立平面直角坐标系xOy，设椭圆的焦点分别为F1(−4,0)，F2(4,0).新课学习可以验证，如果P的坐标(x,y)满足④式，则可得|PF1|+|PF2|=10.不难看出，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足|PF1|+|PF2|=10的点有无数多个，而且P的轨迹方程为④式.新课学习思考一下：设F1，F2是平面内的两个定点，若|F1F2|=2c，且满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹方程.一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0.则以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.此时，椭圆的焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0).设P(x,y)是椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|=2a，新课学习新课学习因为a>c>0，所以a2−c2>0，设a2−c2=b2且b>0，则⑧式可化为可以验证，方程⑨就是椭圆的方程，通常称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.新课学习尝试与发现：设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0.以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.此时：(1)椭圆焦点的坐标分别是什么？(2)能否通过⑨式来得到此时椭圆方程的形式?新课学习此时椭圆的焦点是F1(0,−c)，F2(0,c)，而且只要将方程⑨中的x与y互换，就可以得到椭圆的方程为其中b2=a2−c2.这个方程通常称为焦点在y轴上的椭圆的标准方程.新课学习椭圆的标准方程焦距在x轴上椭圆的标准方程：如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0，则以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴的椭圆的方程为新课学习椭圆的标准方程焦距在y轴上椭圆的标准方程：如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足|PF1|+|PF2|=2a，其中a>c>0，则以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴的椭圆的方程为新课学习新课学习例1：分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是F1(−3,0)，F2(3,0)，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8；由已知得2a=8，因此a=4.又因为c=3，所以b2=a2−c2=42−32=7，因为椭圆的焦点在x轴上，所以所求椭圆的标准方程为新课学习由已知得c=4.又因为c2=a2−b2，所以a2=b2+16.新课学习例2：已知B，C是平面内的两个定点，|BC|=8，且平面内△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程.分析：由△ABC的周长等于18且|BC|=8，可知点A到B，C两个定点的距离之和总是等于10，因此点A一定在以B，C为焦点的椭圆上.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.由|BC|=8，可知B(−4,0)，C(4,0).又因为|AB|+|AC|+|BC|=18，所以|AB|+|AC|=10.新课学习从而点A在以B，C为焦点的椭圆上，而且这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10，又焦距2c=8，因此a=5，c=4.从而b2=a2−c2=25−