《中考数学拔尖攻略》自主招生模拟测试1参考解答

《中考数学拔尖攻略》自主招生模拟测试1(参考解答)一、选择题（每题7分，共42分）1．解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝，x1•x2＝，又知（x1﹣x2）＝，则（x1﹣x2）2＝2，即（x1+x2）2﹣4x1•x2＝2，∴2×﹣4×＝2，解得b＝a，∴底角的余弦cosC＝＝＝，∴底角为30度．故选：B．2．解：去分母，将原方程两边同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）＝0．①方程①的根的情况有两种：（1）方程①有两个相等的实数根，即△＝9﹣4×2（4﹣a）＝0．解得a＝．当a＝时，解方程2x2﹣3x+（4﹣）＝0，得x1＝x2＝．（2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．（i）当x＝0时，代入①式得4﹣a＝0，即a＝4．当a＝4时，解方程2x2﹣3x＝0，x（2x﹣3）＝0，x1＝0或x2＝1.5．而x1＝0是增根，即这时方程①的另一个根是x＝1.5．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．（ii）当x＝2时，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）＝0，即a＝6．当a＝6时，解方程2x2﹣3x﹣2＝0，x1＝2，x2＝﹣．x1是增根，故x＝﹣为方程的唯一实根；因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是，4，6共3个．故选：C．3．解：∵﹣＝﹣＝﹣＝＝＝，∴a的小数部分＝﹣1；∵﹣＝＝﹣＝＝，∴b的小数部分＝﹣2，∴﹣＝＝＝＝．故选：B．4．设虚线为x＝m（显然，m＞0），易知两条由图中可知，当x＜m时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，当x＞m时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，故选：B．5．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．解法二：过点B作BM⊥DE于M，设A（a，），则B（，）．由题意，OE＝﹣a，DE＝﹣a，ME＝﹣a，BM＝，DM＝﹣a，∵S△ABE＝S梯形ADMB+S△BEM﹣S△ADE＝7，∴（+）×（﹣a）+×（﹣a）×（）﹣××（﹣a）＝7，解得k＝﹣12．故选：A．二、填空题（每题8分，共48分）7.解：∵不定方程+＝1，∴4n+2m＝mn，可知m＞4，n＞2，当m＝5，n＝10，当m＝6，n＝6，当m＝7，n不是整数，当m＝8，n＝4，当m＝12，n＝3．故方程：+＝1的正整数有序数对为：（5，10），（6，6），（8，4），（12，3），共4个．8．解：显然a≠0．故原方程为关于x的二次方程．Δ＝[﹣（3a2﹣8a）]2﹣4a2（2a2﹣13a+15）＝[a（a+2）]2是完全平方式．故x＝，即x1＝＝2﹣，x2＝＝1﹣．当2﹣是整数时，a＝1，3；当1﹣是整数时，a＝1，5．综上所述，a＝1，3或5．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∵AM⊥BC，∴BM＝BC＝×6＝3，∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，在Rt△ABM中，AM＝＝3，当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，在Rt△ADM中，AD＝＝2，∴在Rt△ADG中，AG＝＝8．故答案为：8．12．解：∵y＝﹣+x+＝﹣+2，∴顶点E（1，2）．∴M（1，0）．∴OM＝1，ME＝2．令x＝0，则y＝．∴D（0，）．∴OD＝．令y＝0，则＝0．解得：x＝﹣1或x＝3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．∴OA＝1，OB＝3．∴AB＝4．∴⊙M的半径为2．①∵ME＝2，⊙M的半径为2，∴E点在⊙M上．故①不正确；②连接MC，则MC＝2，如图：在Rt△OCM中，sin∠OCM＝，∴∠OCM＝30°．∴OC＝MC×cos30°＝．∴CD＝OC+OD＝．故②不正确；③连接MC，ME，CE，如图：由②知：∠OCM＝30°．∵ME∥OC，∴∠MEC＝∠DCE．∵ME＝MC＝2，∴∠MCE＝∠MEC．∴∠MCE＝∠DCE＝∠OCM＝15°．∵P与C重合，∴∠DPE＝∠DCE＝15°．故③正确；④如图，连接PB，AE，ME，过点A作AK⊥PE于K，∵ME＝2，∴E点在⊙M上．∴∠AEP＝∠ABP．∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°．∴sin∠ABP＝．∴∠ABP＝60°．∴∠AEP＝60°．∵AE＝，∴EK＝AE•cos∠AEP＝2×＝．AK＝AE•sin∠AEP＝2×＝．∵∠AME＝90°，∴∠APE＝∠AME＝45°．∴△AKP为等腰直角三角形．∴PK＝AK＝．∴PE＝EK+PK＝．故④正确；⑤如图，连接AE，BE，设AE，BE的中点分别为G，F，连接GF交ME于点R．∵G，F为EA，EB的中点，∴FG为△EAB的中位线．∴FG＝AB＝2．连接MN，∵N为PE的中点，M为圆心，∴MN⊥PE．∴点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆．即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆．∴点N运动的路径长是×2π×1＝π．故⑤正确；综上，正确的选项为③④⑤．三、解答题13.解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c∴A（c，0），B（﹣2c，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH⊥GH于点H，如图1∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝∴AM＝AD∴MD＝＝4AD∵c＝﹣∴A（﹣，0），B（1，0），C（0，﹣）∴OA＝OC∴∠OAC＝45°∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°∴△ADG为等腰直角三角形∴∠ADG＝45°∴∠MDH＝180°﹣∠ADG﹣∠ADM＝45°∴△MDH为等腰直角三角形设AG＝DG＝t，则AD＝t∴MD＝4AD＝4t∴DH＝MH＝4t∴xM＝xA+t+4t＝﹣+5t，yM＝4t﹣t＝3t∵点M在抛物线上∴（﹣+5t）2﹣（﹣+5t）﹣＝3t解得：t1＝0（舍去），t2＝∴xM＝﹣+＝，yM＝∴点M坐标为（，）（2）EF所在直线的纵坐标是定值，理由如下：过点P作PQ⊥EF于点Q，如图2∵P（m，﹣2）在抛物线上∴m2+bm+c＝﹣2，即c+2＝﹣m2﹣bm∵EF∥x轴且在点P上方∴xQ＝xP＝m，设yE＝yF＝yQ＝n，n＞﹣2∴PQ＝n﹣（﹣2）＝n+2∵x2+bx+c＝n，整理得x2+bx+c﹣n＝0∴xE+xF＝﹣b，xE•xF＝c﹣n∴∠PQE＝∠PQF＝90°∵∠EPF＝90°∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPQ+∠PFQ＝90°∴∠EPQ＝∠PFQ∴△EPQ∽△PFQ∴∴PQ2＝EQ•FQ∴（n+2）2＝（m﹣xE）（xF﹣m）∴n2+4n+4＝m•xF﹣m2﹣xE•xF+m•xE＝m（xE+xF）﹣m2﹣xE•xF＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）＝c+2﹣c+n=2+n解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．14.（1）证明：连接OC，如图①，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，----------------1分∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，-----------------2分∵∠BCM＝∠A，∴∠OCB+∠BCM＝90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切线；-----------------3分已知P为上的一点，AB为直径∴∵α=45°,∴AC＝BC,∴,∴，过点C作并与PA延长线交于点P’，∴△PCP’为等腰直角三角形，∴PC=P’C，CB=CA,∴△P’CA≌△PCB∴P’A=PB,∵PC=，AP=5∴PB+PA=P’A+PA=PP’=PC=6∴PB=1（3）如图②，∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为1，∴AB＝2，∵cos∠BAC＝,即，∴，∵∠AFE＝∠ACE，∠GFH＝∠AFE，∴∠GFH＝∠ACE，∵DH⊥M