《中考数学拔尖攻略》自主招生模拟测试3参考解答

《中考数学拔尖攻略》自主招生模拟测试3参考解答一．选择题（共6小题）1．【解答】解：当x＜﹣1时，则x+1＜0，∴＝|x|＝﹣x，＝|x+1|＝﹣（x+1）∴＝﹣x﹣[﹣（x+1）]＝1；当﹣1≤x≤0时，则x+1≥0，∴＝|x|＝﹣x，＝|x+1|＝x+1，∴＝﹣x﹣（x+1）]＝﹣1﹣2x；当x＞0时，则x+1＞0，∴＝|x|＝x，＝|x+1|＝x+1，∴＝x﹣（x+1）]＝﹣1．综上所述：若实数x满足，则x应满足的条件是﹣1≤x≤0．故选：C．2．【解答】解：设a＝mn，b＝st，c＝ms，d＝nt，满足ab＝cd，∵a+b+c+d＝（m+t）（n+s），∴a+b+c+d的和是一个合数，A、103是质数，不符合题意；B、105是合数，符合题意；C、107是质数，不符合题意；D、109是质数，不符合题意；故选：B．3．【解答】解：取AB中点F，连接OF、O′F，∵四边形ABCD是正方形，∴OF⊥AB，OF＝，∵四边形ABC′D′是菱形，∴∠D′AB＝∠BAD′＝∠BAC＝15°，在Rt△AO′B中，F是中点，∴O′F＝AF＝AB，∴点O运动的轨迹是一段圆弧，∴∠O′FB＝2∠O′AB＝30°，∴∠OFO′＝60°，∴点O运动的路程s＝•OF＝，故选：B．4．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故A正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故B错误；如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PBsin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故C正确；当秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故D正确．由于该题选择错误的，故选：B．5．【解答】解：方法一：如图，连接OP，OD，OA，过点P作PH⊥OD于点H，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，∴点A，O，D三点共线，OA＝OD，设OA＝OD＝x，OH＝y，∴DH＝OD﹣OH＝x﹣y，AH＝OA+OH＝x+y，在Rt△APH和Rt△DPH中，利用勾股定理得：PH2＝PD2﹣DH2＝PA2﹣AH2，∴2﹣（x﹣y）2＝6﹣（x+y）2，解得xy＝1，∵DP与⊙O相切，∴∠OPD＝90”，∵PH⊥OD，∴∠OHP＝∠DHP＝90”，∴∠OPH＝90°﹣∠HPO＝∠ODP，∴△OPH∽△ODP，∴＝，∴＝，∴OP2＝xy＝1，∴OP＝1，∴OD＝＝，6．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，∵点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，∴设A（a，），∵点C在函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，∴设C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△OCB，∴＝＝，∵S△ADO＝，S△BOC＝，∴k2＝，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）•b+＝6，∴k2﹣＝12，①当k＞0时，k＝﹣，∴k2+k﹣12＝0，解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），②当k＜0时，k＝，∴k2﹣k﹣12＝0，解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），∴k2＝9∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，∴OA′，OC′在同一条直线上，∴S△OBC′＝S△OBC＝＝，∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．故选：B．二．填空题（共6小题）7.【解答】解：∵a+b+c＝5，ab+bc+ac＝3，∴a+b＝5﹣c，ab＝3﹣c（a+b）＝3﹣c（5﹣c）＝c2﹣5c+3，∴a，b是关于t的一元二次方程t2﹣（5﹣c）t+c2﹣5c+3＝0的两实根，∵Δ＝（5﹣c）2﹣4（c2﹣5c+3）≥0，化简得3c2﹣10c﹣13≤0，∴（3c﹣13）（c+1）≤0，∴﹣1≤c≤，∴c的最大值为8．【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，如图所示：∴∠BEF＝∠BHF＝90°，∴E、B、F、H四点共圆，∴∠EHB＝∠EFB，∵∠AHE+∠EHB＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，∴∠AHE＝∠EBF，∵∠EBF＝∠ACD，∴∠AHE＝∠ACD＝定值，∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∴sin∠AHE＝sin∠ACD＝＝，∵S△ACB＝AB•CB＝AC•BH，即×6×8＝×BH，∴BH＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝，∴AE的最小值＝AH•sin∠AHE＝＝．故选：D．9．【解答】解：∵a5＝b4，c3＝d2，∴可设a＝m4，b＝m5，c＝x2，d＝x3（m，x为正整数），∵a﹣c＝65，∴m4﹣x2＝65，即（m2+x）（m2﹣x）＝65，∴或，解得或，则（m不为正整数故此结果舍去）或，∴b﹣d＝m5﹣x3＝243﹣64＝179．10.【解答】解：由第一个方程得：x＝2y+3a﹣b，然后把x代入第二个方程得关于y的方程：2y2+（3a﹣b）y﹣（b2﹣2a2+3b+4）＝0，则根据题意得△≥0，即Δ＝（3a﹣b）2+4×2（b2﹣2a2+3b+4）≥0，∴9b2+6b（4﹣a）+（32﹣7a2）≥0，由于b取每一个实数都成立，把它理解为函数z＝9b2+6b（4﹣a）+（32﹣7a2）的图象不在横轴的下方，而开口向上，所以满足△≤0，即Δ＝36（4﹣a）2﹣4×9（32﹣7a2）≤0，整理得a2﹣a﹣2≤0，∴（a﹣2）（a+1）≤0，所以﹣1≤a≤2，则整数a的值为﹣1，0，1，2．11．【解答】解：将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3），过点A、B、C作△ABC的外接圆M（2，m），当点P在圆上时，∠APB＝∠ACB，点P在圆外时，∠APB＜∠ACB，则MA＝MC，即4+（m﹣3）2＝1+m2，解得：m＝2，则圆的半径为：，则点P的坐标为：（2，2+），则点P关于x轴的对称点P′（2，﹣2﹣），故答案为：n＞2+或n＜﹣2﹣．12．【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，如图所示：∵四边形OABC为矩形，且S△OAB＝，∴S△OBC＝S△OAB＝，∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B，∴S△OA'B＝S△OAB＝，∠BA'O＝90°，∴S△OA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D＝，∵A'D⊥x轴，BE⊥x轴，∴四边形A'BED为梯形，∵S△OA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，∴S梯形A'BED＝（A'D+BE）•DE＝，∴，整理得：2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，∵a＜b＜0，∴2a+b＜0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴点A'．设直线OB的表达式为：y＝mx，将B代入y＝mx，得：，∴直线OB的表达式为：，∴S△OA'B＝OB•A'G＝，S△OAC＝OB•CH＝，∴OB•A'G＝OB•CH，∴A'G＝CH，又∵A'G⊥OB，CH⊥OB，∴四边形A'CHG为矩形，∴A'C∥OB，设直线A'C的表达式为：y＝tx+n，则，∴直线A'C的表达式为：入，将点A'代入，得：，∴直线A'C的表达式为：，对于，当y＝0时，，∴点M的坐标为，∵A'D⊥x轴，BF⊥DA'，∴∠A'DO＝∠BFA'＝90°，∠FBA'+∠FA'B＝90°，∵∠BA'O＝90°，∴∠FA'B+∠DA'O＝90°，∴∠DA'O＝∠FBA'，∴△A'OD∽△BA'F，∴BF：A'D＝A'F：OD，∵A'，B，∴BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，∴，整理得：b4＝36，∴，（不合题意，舍去），∴，∴点M的坐标为．故答案为：．三．解答题（共2小题）13．（12分）解：（1）当时，，解得：，，点在点的左侧，且，，，当时，，，，，，如图1中，连接，，，，，，，、关于对称轴直线对称，，，，，，即，，，，，，，解得：或，经检验，是方程的根，，；（2）如图2，设交轴于点，当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即．，，，解得，又，同法可