山东省部分学校(中昇)2023-2024学年高三上学期开学摸底大联考数学试题

2023-2024学年山东省部分学校（中昇）高三（上）开学摸底联考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，则A⋂B＝（）A．{﹣1，3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，3}2．（5分）已知复数z＝i（2+3i），则在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）已知非零向量，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）定义域为R的函数f（x）满足：当x∈[0，1）时，f（x）＝2x﹣1，且对任意实数x，均有f（x）+f（x﹣1）＝1，则f（log23）＝（）A．1 B．2 C． D．5．（5分）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m，n＞0）对称，则的最小值是（）A．10 B．20 C．30 D．406．（5分）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为的直线与C交于点M，N（M在x轴上方），则＝（）A． B．2 C．3 D．7．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．8．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，设，将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2024＝（）A．2022 B．2023 C．4048 D．4046二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）下列命题中正确是（）A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x＜ξ＜x+2）为偶函数，则μ＝1 C．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为130 D．已知随机变量，若D（2X+1）＝5，则n＝5（多选）10．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（x+4）+f（2），若函数y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则下列结论正确的是（）A．f（2）＝0 B．f（x）是奇函数 C．f（x）是周期为4的周期函数 D．f（3）＜f（﹣4）（多选）11．（5分）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（θ1＜θ0，单位℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（参考数据：ln2≈0.7）（）A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C．若f（60）＝10，则f（30）＝30 D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短（多选）12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）A．存在唯一点P，使得D1P⊥B1C B．存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值 C．若，则三棱锥P﹣BB1C外接球的表面积为8π D．若异面直线D1P与A1B所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣2y+1）5展开式中含xy3项的系数为．14．（5分）现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知AB＝6，A1B1＝2，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时分钟．15．（5分）设函数在上恰有2个零点，且f（x）的图象在上恰有2个最高点，则ω的取值范围是．16．（5分）已知双曲线C：16x2﹣9y2＝144，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为△PF1F2的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为，△IF1F2的面积的取值范围为．四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinC＝sinA+sin（B﹣C）．（1）证明：；（2）若b2＝ac，求cosB．18．（12分）喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A，B题库每题的概率分别为、，二班能正确回答A，B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响．（1）若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；（2）若一班和二班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，点E为棱PD的中点，O为边AB的中点．（1）求证：AE∥平面POC；（2）若侧面PAB⊥底面ABCD，且，AB＝2PA＝4，求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值．20．（12分）已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，是公差为1的等差数列，{bn+1﹣bn}是公差为2的等差数列．（1）若b2＝2，求{an}，{bn}的通项公式；（2）若b2∈N*，，证明：＜3．21．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣ax．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞﹣1时，恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆，且其右焦点为F，过F点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P、Q两点．（1）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n，0），使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；（2）过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．

2023-2024学年山东省部分学校（中昇）高三（上）开学摸底联考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，则A⋂B＝（）A．{﹣1，3} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，3}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】根据题意，由交集的定义直接求解，可得答案．【解答】解：集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，3}，在集合B中找出符合﹣2＜x＜3的元素，可得A⋂B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．（5分）已知复数z＝i（2+3i），则在复平面内表示的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算；共轭复数．【答案】C【分析】由复数乘法运算以及共轭复数的概念，利用复数的几何意义可求出结果．【解答】解：由z＝i（2+3i）＝2i+3i2＝﹣3+2i可得，，所以在复平面内表示的点坐标为（﹣3，﹣2）位于第三象限，故选：C．3．（5分）已知非零向量，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】B【分析】由可得向量与平行且同向即可得到答案【解答】解：由及向量的加法法则，可得向量与平行且同向，且可得向量，平行且同向或者反向，因此“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）定义域为R的函数f（x）满足：当x∈[0，1）时，f（x）＝2x﹣1，且对任意实数x，均有f（x）+f（x﹣1）＝1，则f（log23）＝（）A．1 B．2 C． D．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【答案】D【分析】判断1＜log23＜2，计算出f（log23﹣1），再由f（log23）+f（log23﹣1）＝1可得出f（log23）的值．【解答】解：对任意的x∈R，f（x）+f（x﹣1）＝1，因为1＝log22＜log23＜log24＝2，则0＜log23﹣1＜1，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x﹣1，则，因为，因此，．故选：D．5．（5分）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A（﹣1，0）和B（2，1），且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m，n＞0）对称，则的最小值是（）A．10 B．20 C．30 D．40【考点】轨迹方程．【答案】B【分析】先求出点P的轨迹方程，结合直线mx+ny﹣2＝0过圆心，得5m+2n＝2，然后利用基本不等式求的最小值即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），因为，则|PA|2＝2|PB|2，即（x+1）2+y2＝2[（x﹣2）2+（y﹣1）2]，所以点P的轨迹方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2＝20，因为P点的轨迹关于直线mx+ny﹣2＝0（m＞0，n＞0）对称，所以圆心（5，2）在此直线上，即5m+2n＝2，所以＝＝，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是20．故选：B．6．（5分）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为的直线与C交于点M，N（M在x轴上方），则＝（）A． B．2 C．3 D．【考点】抛物线的性质．【答案】C【分析】由题意可得直线MN的方程为，联立方程，求出M，N两点的坐标，从而求得|AM|，|AN|，由此得解．【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，得F（1，0），A（﹣1，0），则直线MN的方程为，联立，解得或，即，所以，，所以．故选：C．7．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的三角函数；运用诱导公式化简求值．【答案】C【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简可得答案．【解答】解：因为，所以：＝．故选：C．8．（5分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，设，将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，则c2024＝（）A．2022 B．2023 C．4048 D．4046【考点】数列的求和．【答案】C【分析】根据等比数列定义，将n＝1，2代入计算可得a1＝1，q＝2；可得，再由新的数列{cn}的性质求出其通项为cn＝2n即可得出结果．【解答】解：令数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴a1＞0，q＞0，因为，所以当n＝1时，，即a1＝1，当n＝2时，，即q（1+q）＝6，解得q＝2（舍去q＝﹣3），所以，即，因为数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn}，所以n＝2k2，k∈N*，此时，即cn＝2n，可得c2024＝2×2024＝4048．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．（多选）9．（5分）下列命题中正确是（）A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x＜ξ＜x+2）为偶函数，则μ＝1 C．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为130 D．已知随机变量，若D（2X+1）＝5，则n＝5【考点】百分位数；命题的真假判断与应用；二项分布与n次独立重复试验的模型；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【答案】ABD【分析】根据中位数定义可得A正确，利用函数奇偶性和正态分布的对称性计算可得B正确；按分层抽样样本方差的计算公式可得总体样本方差为132.25，可知C错误；由二项分布方差计算公式可得D正确．【解答】解：对于A，中位数就是第50百分位数，所以A正确；对于B，随机变量ξ～N（μ，σ2），且函数f（x）＝P（x＜ξ＜x+2）为偶函数，则f（﹣x）＝P（﹣x＜ξ＜﹣x+2）＝f（x）＝P（x＜ξ＜x+2），即区间（﹣x，﹣x+2）与（x，x+2）关于x＝μ对称，故，即B正确；对于C，根据分层抽样的平均数公式可得，按分层抽样样本方差的计算公式可得，所以C错误；对于D，随机变量，，即可得n＝5，即D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R都有f（x）＝f（x+4）+f（2），若函数y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，则下列结论正确的是（）A．f（2）＝0 B．f（x）是奇函数 C．f（x）是周期为4的周期函数 D．f（3）＜f（﹣4）【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【答案】AC【分析】根据函数的周期性，奇偶性，单调性等性质逐一判断即可．【解答】解：y＝f（x+3）的图象关于直线x＝﹣3对称，故y＝f（x）关于y轴对称，f（x）是偶函数，故B不正确；f（x）＝f（x+4）+f（2）中，令x＝﹣2得：f（﹣2）＝2f（2），因为f（﹣2）＝f（2），所以f（2）＝2f（2），解得：f（2）＝0，A正确；由于f（x）＝f（x+4）+f（2），f（2）＝0，故f（x）＝f（x+4），即f（x）是周期为4的周期函数，故C正确；D选项，对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＞0，故f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是周期为4的周期函数，且f（x）是偶函数，故f（0）＝f（﹣4），f（3）＝f（﹣1）＝f（1），因为f（1）＞f（0），所以f（3）＞f（﹣4），故D不正确．故选：AC．（多选）11．（5分）某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为θ0（单位：℃），环境温度为θ1（θ1＜θ0，单位℃），物体的温度冷却到θ（θ＞θ1，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（参考数据：ln2≈0.7）（）A．函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B．当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C．若f（60）＝10，则f（30）＝30 D．这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】BCD【分析】根据函数，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：对于A：，则kt＝ln，∴＝ekt，整理得，故A错误；对于B：由题意得t＝f（θ）＝[ln（100﹣20）﹣ln（θ﹣20）]＝ln，则当时，，故B正确；对于C：∵f（60）＝10，∴，解得k＝，∴t＝•ln＝•ln8＝30，故C正确；对于D：设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为t1分钟，则t1＝ln＝（ln8﹣ln5），设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为t2分钟，则t2＝（ln5﹣ln2），∵，∴t1＜t2，故D正确．故选：BCD．（多选）12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）A．存在唯一点P，使得D1P⊥B1C B．存在唯一点P，使得直线D1P与平面ABCD所成的角取到最小值 C．若，则三棱锥P﹣BB1C外接球的表面积为8π D．若异面直线D1P与A1B所成的角为，则动点P的轨迹是抛物线的一部分【考点】球的体积和表面积；直线与平面所成的角．【答案】BCD【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点P位置，判断选项A；几何法找线面角，当角最小时确定点P位置，判断选项B；P为DB中点时，求三棱锥P﹣BB1C外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P的轨迹，判断选项D．【解答】解：对于A选项：正方形BCC1B1中，有BC1⊥B1C，正方体中有AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，AB⊥B1C，又BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1D1，B1C⊥平面ABC1D1，只要D1P⊂平面ABC1D1，就有D1P⊥B1C，P在线段AB上，有无数个点，A选项错误；对于B选项：D1D⊥平面ABCD，直线D1P与平面ABCD所成的角为∠D1PD，D1D＝2，∠D1PD取到最小值时，PD最大，此时点P与点B重合，B选项正确；对于C选项：若，则P为DB中点，△PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥P﹣BB1C外接球的球心到平面PBC的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥P﹣BB1C外接球的表面积为8π，C选项正确；对于D选项：以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），设P（x，y，0）（0≤x≤2，0≤y≤2），则有，，有＝，化简得x2＝4y，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，所以P的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣2y+1）5展开式中含xy3项的系数为﹣160．【考点】二项式定理．【答案】﹣160．【分析】变形为[（x﹣2y）+1]5，写出通项公式，求出k＝3，r＝1，得到答案．【解答】解：（x﹣2y+1）5变形为[（x﹣2y）+1]5，故通项公式得，其中（x﹣2y）5﹣r的通项公式为，故通项公式为，其中，k，r∈N，令k＝3，5﹣r﹣k＝1，解得k＝3，r＝1，故．故答案为：﹣160．14．（5分）现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知AB＝6，A1B1＝2，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时19分钟．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．【答案】19．【分析】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，则答可求．【解答】解：不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为2h，由AB＝6，A1B1＝2，正四棱台的中截面是边长为4的正方形，当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为，设水流速度为v，则，，当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为，当水的高度是四棱台高度的一半时用时为分钟．故答案为：19．15．（5分）设函数在上恰有2个零点，且f（x）的图象在上恰有2个最高点，则ω的取值范围是（，）．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【答案】．【分析】结合三角函数的图象性质，找出到满足条件的所在的区间，解不等式组即可作答．【解答】解：因为，所以，而函数f（x）在上恰有2个零点，且f（x）的图象在上恰有2个最高点，因此，即，当k＜0时，不符合题意，当k＝0时，不等式组为，不等式组无解，当k＝1时，不等式组为，解得，当k≥2时，不等式组无解，所以ω的取值范围是．故答案为：．16．（5分）已知双曲线C：16x2﹣9y2＝144，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的第一象限内的点，点I为△PF1F2的内心，点I在x轴上的投影H的横坐标为3，△IF1F2的面积的取值范围为（0，20）．【考点】双曲线的性质．【答案】3，（0，20）．【分析】由题意，根据双曲线的定义得到I在F1F2上垂足为右顶点，设出渐近线的倾斜角θ，得到tanθ的值，∠IF2H＝α，可得2α∈（0，π﹣θ），求出tanα的取值范围，进而可得点I的纵坐标的取值范围，代入三角形面积公式中即可求解．【解答】解：已知双曲线C：16x2﹣9y2＝144，所以c2＝9+16＝25，此时|F1F2|＝2c＝10，设点I（x1，y1），且I在F1F2上垂足为H，根据双曲线定义及切线长定理得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝|HF1|﹣|HF2|，又|HF1|+|HF2|＝2c，所以|HF1|＝a+c，则点H坐标为（a，0），可得点H的横坐标为3，不妨设渐近线的倾斜角为θ，此时，设∠IF2H＝α，则2α∈（0，π﹣θ），所以，即，又，解得，所以tanα∈（0，2），此时y1＝|HF2|tanα＝2tanα∈（0，4），所以．故答案为：3，（0，20）．四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinC＝sinA+sin（B﹣C）．（1）证明：；（2）若b2＝ac，求cosB．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．【分析】（1）由两角和与差的正弦公式化简，结合正弦定理可证明结论；（2）由已知条件结合余弦定理求出的值，再由余弦定理求cosB．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，sinA＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），由2sinC＝sinA+sin（B﹣C），得2sinC＝sin（B+C）+sin（B﹣C），所以2sinC＝sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC，所以2sinC＝2sinBcosC，而B∈（0，π），sinB≠0，结合正弦定理，所以．（2）由（1）知：，所以2ac＝ac+a2﹣c2，即c2﹣a2+ac＝0，所以．解得或（舍），所以．18．（12分）喜迎新学期，高三一班、二班举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从A，B两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，A题库每题20分，B题库每题30分，一班能正确回答A，B题库每题的概率分别为、，二班能正确回答A，B题库每题的概率均为，且每轮答题结果互不影响．（1）若一班前两轮选A题库，后三轮选B题库，求其总分不少于100分的概率；（2）若一班和二班在前两轮比赛中均选了B题库，而且一班两轮得分60分，二班两轮得分30分，一班后三轮换成A题库，二班后三轮不更换题库，设一班最后的总分为X，求X的分布列，并从每班总分的均值来判断，哪个班赢下这场比赛？【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析，一班赢下这场比赛．【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解；（2）由题意求出两个班的总分可能取值，然后求出对应的概率，进而列出分布列，并根据期望的概念求出期望，比较大小即可判断．【解答】解：（1）由条件知，若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，其概率为，若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，其概率为，于是一班总分不少于100分的概率为．（2）由条件知，随机变量X可能取值为60，80，100，120，，，，．所以X的分布列为：X6080100120P，设二班最后的总分为Y，Y可能取值为30，60，90，120，，，，，所以X的分布列：Y306090120P，因为105＞90，所以从总分的均值来判断，一班赢下这场比赛．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，点E为棱PD的中点，O为边AB的中点．（1）求证：AE∥平面POC；（2）若侧面PAB⊥底面ABCD，且，AB＝2PA＝4，求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答；（2）平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为．【分析】（1）取线段PC的中点F，连接OF，EF，可证明四边形AOFE平行四边形，进而得OF∥AE，可证结论；（2）利用余弦定理可求PB，以O为坐标原点，OB，OC，过O作平面ABCD的垂线为坐标轴建立空间坐标系O﹣xyz，求得平面PAD的一个法向量＝（，1，﹣1），平面POC的一个法向量为＝（，0，1），进而利用向量法可求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取线段PC的中点F，连接OF，EF，∵E，F分别为PD，PC的中点，∴EF∥CD且，∵底面ABCD是菱形，且O为AB的中点，∴AO∥CD且，∴AO∥EF且AO＝EF．∴四边形AOFE平行四边形，∴OF∥AE，又∵OF⊂平面POC，AE⊄平面POC，∴AE∥平面POC；（2）连接AC，由，得△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，∵OC⊂底面ABCD，∴OC⊥侧面PAB，因为，AB＝2PA＝4，由余弦定理的：，解得：，以O为坐标原点，OB，OC，过O作平面ABCD的垂线为坐标轴建立空间坐标系O﹣xyz，如图所示．则A（﹣2，0，0），，，，则＝（﹣2，2，0），＝（1，0，），＝（0，2，0），＝（﹣1，0，），设平面PAD的一个法向量＝（x，y，z），则，令，则y＝1，z＝﹣1．∴平面PAD的一个法向量＝（，1，﹣1），设平面POC的一个法向量为＝（a，b，c），则，解得：b＝0，令c＝1，则，∴平面POC的一个法向量为＝（，0，1），∴cos＜，＞＝＝＝，所以平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为．20．（12分）已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，是公差为1的等差数列，{bn+1﹣bn}是公差为2的等差数列．（1）若b2＝2，求{an}，{bn}的通项公式；（2）若b2∈N*，，证明：＜3．【考点】数列与不等式的综合．【答案】（1）；；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知求得an＝nbn，bn+1﹣bn＝2n﹣1，通过累加法求得，进而求得an；（2）根据已知求得an，构造，求导后得f'（b2）≥0，结合得，又，从而求得b2＝1，进而证得结论．【解答】（1）解：∵a1＝b1＝1，∴，又是公差为1的等差数列，∴，即an＝nbn，且b2﹣b1＝1，又{bn+1﹣bn}是公差为2的等差数列，bn+1﹣bn＝2n﹣1，可得bn﹣bn﹣1＝2n﹣3，bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣5，…，b2﹣b1＝1，累加得bn+1﹣b1＝（2n﹣1）+（2n﹣3）+...+1＝，∴，则，∴；（2）证明：由（1）可得bn+1﹣bn＝2n+b2﹣3，则bn﹣bn﹣1＝2（n﹣1）+b2﹣3，bn﹣1﹣bn﹣2＝2（n﹣2）+b2﹣3，…，b2﹣b1＝2+b2﹣3，累加得，∴，则，则，则，令，得，∴，已知，∴b2＝1，∴，且，从而，∴，又当n＝1时，时，，∴．21．（12分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣ax．（1）当a≠0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x＞﹣1时，恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【答案】（1）答案见解析；（2）（﹣∞，e）．【分析】（1）求得函数定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，通过分类讨论即可得到答案；（2）首先得到t＝（x+1）﹣ln（x+1）的范围，将原式转化为a[（x+1）﹣ln（x+1）]＜e（x+1）﹣ln（x+1）对x＞﹣1恒成立，即a＜对t≥1恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案．【解答】解：（1）f（x）＝aln（x+1）﹣ax定义域为（﹣1，+∞），f′（x）＝，①当a＞0时，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0，此时f（x）单调递增，令f′（x）＜0，得x＞0，此时f（x）单调递减；②当a＜0时，令f′（x）＞0，得x＞0，此时f（x）单调递增，令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0，此时f（x）单调递减；综上所述，当a＞0时，f（x）在（﹣1，0）单调递增，在（0，+∞）单调递