27.3 实际问题与反比例函数（第2课时 结合反比例函数图象分析实际问题）教学设计

.3实际问题与反比例函数（第2课时结合反比例函数图象分析实际问题)（教学设计）1.教学内容本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》，27.3实际问题与反比例函数第二课时结合反比例函数图象分析实际问题，核心教学内容为利用数形结合思想解决反比例函数实际应用问题.在第一课时“建立反比例函数模型”的基础上，本节课重点结合工程效率、压强、速度时间、经济预算等生活实际场景，根据实际问题建立反比例函数解析式，结合函数图像分析实际意义，利用图像的增减性、取值范围、图像交点、函数趋势解决求值、最值、范围判断、方案分析等实际问题，明确实际问题中自变量、函数值的实际取值限制，完成“实际问题—函数解析式—函数图像—实际结论”的完整解题闭环.内容解析本节内容是反比例函数整章的综合应用提升课。学生此前已掌握反比例函数的图像性质、纯代数建模方法，本节课将代数建模与几何图像深度融合，是对27.2函数图像性质、27.3第一课时建模思想的巩固与升华.第一课时侧重“列式建模、代数计算”，本节课侧重数形结合分析实际问题，弥补了纯代数解题无法直观分析变化趋势、取值范围的短板，是初中函数实际应用的核心重难点.同时为本章单元复习、中考反比例函数实际综合压轴题奠定核心解题方法.本节课聚焦数学核心素养，通过实际图像分析，让学生理解数学图像的实际现实意义，打破“函数图像仅为数学图形”的认知误区，培养学生用数形结合、模型思想解决生活实际问题的能力，体现数学来源于生活、服务于生活的本质.基于以上分析，本节课的教学重点是反比例函数实际问题的建模与自变量取值范围确定；利用数形结合思想，结合函数图像解决实际应用问题.教学目标（1）能根据生活实际问题准确建立反比例函数模型，写出自变量的实际取值范围；掌握反比例函数实际图像的特征，能读懂实际问题中函数图像的横纵坐标、增减趋势、特殊点的实际意义；能利用数形结合的方法，结合图像解决实际问题中的取值范围、最值、变化规律、参数求解等问题.（2）经历“审题建模、画图识图、用图解题、回归实际”的完整探究过程，掌握数形结合解决反比例实际问题的通用步骤，提升几何直观、数学建模、数据分析和逻辑推理能力.（3）通过具体真实场景的探究，感受反比例函数在生产生活中的广泛应用，体会数形结合思想的直观性与简洁性，提升数学应用意识，培养严谨的实际问题解题思维.2.目标解析目标1在掌握建模的基础上，突破“识图、用图”的核心能力，区别于纯代数计算，要求学生实现数与形的双向转化，能从解析式看图像趋势，从图像读实际数据，达成中考对反比例实际应用题的核心考查要求.目标2通过具体问题分层探究，固化实际问题数形结合解题模型，落实数学核心素养中模型意识、几何直观、应用意识，让学生掌握可迁移的解题方法.目标3通过生活化、实用化的例题场景，消除学生对函数应用题的畏难情绪，建立“数形结合简化复杂问题”的思维认知，培养学以致用的数学思维.学生已经掌握反比例函数的图像与性质，第一课时已学会根据乘积型等量关系建立反比例函数模型，具备基础的代数建模能力，初步掌握数形结合的基础思想.学生习惯纯代数计算解题，识图用图能力薄弱；无法将图像上的点、趋势、范围与实际生活场景对应；容易忽略实际问题中自变量的正数、整数、最值等限制条件，照搬纯函数的图像性质解题，出现答案脱离实际的错误.九年级学生逻辑思维趋于成熟，但具象转化抽象的能力不足，需要通过典型例题拆解图像与实际的关联，通过直观图像分析突破思维难点.基于以上分析，确定本节课的教学难点是准确理解实际问题中函数图像、特殊点、增减性的现实意义；根据实际限制条件，结合图像确定自变量、函数值的取值范围，区分纯函数图像与实际问题受限图像的区别.复习旧知、类比导入知识回顾：（1）生活中哪些等量关系可以建立反比例函数模型？（积为定值：总工程量=人数×效率、路程=速度×时间、压力=压强×面积等）（2）反比例函数y=kx(k>0)设疑导入：我们之前通过列式计算解决了反比例实际问题，但很多实际问题需要分析变化趋势、取值范围、最优方案，仅靠计算不够直观。今天我们学习数形结合解决反比例实际问题，通过图像直观解读实际问题的变化规律.（设计意图：回顾建模方法与函数基础性质，为本节课数形结合应用铺垫知识基础；通过新旧方法对比，点出纯代数解题的局限性，凸显本节课学习的必要性，明确本节课学习目标，激发学生探究欲望.）探究点1从函数图象中探究力F所做的功W问题1：在力F（单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W(单位：J）满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示.(1）当力F为10N时，求F所做的功W；(2)写出s关于F的函数解析式；（3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围.追问1.从图象中你能得出当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为多少？此时F所做的功是多少？当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J).追问2.当W为定值时，如何用反比例函数描述s与F之间的关系？由（1）W=Fs=10×50=500(J)，可知其解析式为s=500F追问3.在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，如何求力的范围？将s=100代入s=500F，可求F的值,因为s随着F的增大而减小，可以确定力F范围具体解答如下：解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J).(2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由（1）可知其解析式为s=500F(3）将s=100代入s=500F，可得F=5(N)因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N.探究点2从函数图象中探究行程问题问题2.一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t（单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120.(1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围；(2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围.追问1.甲地到乙地的路程为定值,平均速度v（单位:km/h)与行驶全程所用时间t之间的关系?平均速度v=路程÷行驶全程所用时间t.追问2.怎样确定t的取值范围根据60≤v≤120，和函数的增减性质确定.追问3.在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围？根据函数的增减性质确定客车平均速度v的范围.具体解答如下：解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由上面的图象可知，当t=2时，v=120，于是有v=240t当v=60时，由①得t=4.因为60≤v≤120，并且平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以2≤t≤4.（2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=223h，代入①，可得v=90(km/h)；若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h，代人①，可得v=80(km/h)因为平均速度随着行驶全程所用时间的增大而减小，所以客车平均速度的范围是80≤v≤90.总结结合反比例函数图象分析实际问题通用步骤：1.根据函数图象，确定固定总量（定值）、两个变化的变量；2.建立函数关系式，确定反比例关系；3.设变量，根据定值列等式，整理为反比例解析式；4.结合实际，确定自变量、函数值取值范围，分析解决实际问题.(设计意图:通过反比例函数图象分析解决实际问题，让学生通过数形结合真正掌握反比例建模的核心方法，落实本节课重点知识.)典型例题例1.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．(1)P关于S的函数关系式为．(2)求当时，物体所受的压强是．(3)当时，求受力面积S的变化范围．【分析】（1）观察图象易知P与S之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点A的坐标可以求得P与S之间的函数关系式．（2）将S代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．（3）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．【详解】（1）解：设，由图象可知：点在函数图象上，∴，∴；∴；故答案为：．（2）当，；故答案为：400；（3）当时，；当时，；∴当时，．(设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验)课本P78课堂练习.（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）1.如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示．(1)将水从加热到需要．(2)在水温下降的过程中，求水温y关于通电时间x的函数表达式．(3)加热一次，水温不低于的时间有多长？【分析】依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度即即可求解；结合中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式；分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得．【详解】（1）解：开机加热时每分钟上升，水温从加热到，所需时间为，故答案为：4．（2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，由题意得，点在反比例函数的图象上，，解得：，水温下降过程中，y与x的函数关系式是．（3）解：在加热过程中，水温为时，所需时间为，即温度都高于；在降温过程中，水温为时，，解得：，即内温度都高于，，一个加热周期内水温不低于的时间为．（设计意图：强化反比例函数的图象与性质）1．（2025•湖北）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（）A．3A B．4A C．5A D．6A【详解】解：根据图象，当R＞9时，I＜4，∴当电阻R大于9Ω时，电流I可能是3A，不可能是4A、5A或6A，∴A符合题意，BCD不符合题意．故选：A．2．（2025·贵港·九年级统考）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：

(1)求电流I关于电阻R的函数解析式；(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为,∵函数图象过点（9，4），∴，解得：，∴电流I与电阻R之间的函数表达式为．（2）解：∵限制电流不能超过，∴，解得：，∴用电器的可变电阻应大于或等于．3．（2025·永州·九年级期中）为预防新冠病毒，零陵区某中学定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与时间之间成一次函数关系；燃烧完后与时间之间成反比例函数关系．根据图象解答下列问题：

(1)求药物燃烧完后与时间的函数表达式；(2)当每立方米空气中的含药量低于4时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？【详解】（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数表达式为，把和代入，得：，解得：，∴药物燃烧时y关于x的函数表达式为，当时，，设药物燃烧后y关于x的函数表达式为，把代入，∴，∴，∴药物燃烧后y关于x的函数表达式为；（2）解：对于，当时，解得：；对于，当时，解得：，∴从消毒开始，第2分钟到第分钟学生不能停留在教室里．（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）知识技能：（1）结合函数图象，能根据积为定值的实际关系，建立反比例函数解析式，并结合实际确定自变量取值范围；（2）识图技能：掌握实际反比例函数图像仅为第一象限双曲线分支，能解读图像增减趋势、特殊点的实际意义；（3）解题技能：可利用数形结合思想，结合函数图像解决实际问题中的变化规律、取值范围、最值问题.思想方法：（1）数形结合思想：将实际代数问题转化为函数图像问题，以形助数、直观解题；（2）模型思想：提炼生活中的反比例定值模型，用函数知识解决实际问题；（3）转化思想：将实际限制条件（工期、效率、压强等）转化为函数的取值范围问题.易错提醒：（1）忽略实际限制，画出完整双曲线，实际问题中自变量多为正数，图像只有第一象限分支；（2）直