新人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》导学案

新人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》导学案一、学习目标同学们，通过本节课的学习，我们期望达成以下目标：1.能够运用“两点之间，线段最短”的基本事实以及轴对称的性质，解决一些简单的最短路径问题。2.在探索最短路径的过程中，体会“转化”的数学思想，培养逻辑思维能力和空间观念。3.感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。二、学习重点与难点*学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。*学习难点：如何通过轴对称等方法，构造出最短路径的数学模型，并进行合理的逻辑推理。三、学习过程（一）温故知新，情境引入我们已经学习过“两点之间，线段最短”这一基本事实。生活中，我们常常会遇到这样的问题：从一个地方到另一个地方，如何走路径最短？例如，从家到学校，我们通常会选择直线路径（如果可能的话）。但如果路径中存在一些障碍，情况就会变得复杂一些。思考：如图1，一位将军从营地A出发，到一条笔直的河边饮马，然后再回到营地B。将军怎样走才能使总路程最短？![图1：将军饮马问题示意图（此处应有图，描述：直线l代表河岸，A、B两点在直线l的同侧）]这个问题就是著名的“将军饮马”问题。你能尝试解决它吗？（二）探索新知，合作探究1.问题分析：将军的路径是A->河边一点P->B。我们需要在河边找到一点P，使得AP+PB的长度最短。A、B两点在河岸的同侧。如果A、B两点在河岸的两侧，那么连接A、B与河岸的交点就是所求的点P，因为此时AP+PB=AB，根据“两点之间，线段最短”，这就是最短路径。但现在A、B在同侧，如何转化呢？2.尝试与转化：我们能否将点A或点B移动到河岸的另一侧，使得问题转化为我们熟悉的“两点在直线两侧”的情况呢？这就需要用到我们之前学习的轴对称知识。动手操作：*作点A关于直线l（河岸）的对称点A'。*连接A'B，交直线l于点P。*点P就是我们要找的饮马点。3.逻辑验证：为什么这样得到的点P能使AP+PB最短呢？*因为点A与点A'关于直线l对称，根据轴对称的性质，有AP=A'P。*所以AP+PB=A'P+PB=A'B。*对于直线l上任意另一点P'，连接AP'、P'B、A'P'。同样有AP'=A'P'。*那么AP'+P'B=A'P'+P'B。*在△A'P'B中，根据“三角形两边之和大于第三边”，有A'P'+P'B>A'B。*因此，AP+PB=A'B是最短的。4.归纳总结：对于“在直线上找一点，使它到直线同侧两点的距离之和最短”这类问题，我们通常的解决策略是：*作其中一个点关于这条直线的对称点。*连接对称点与另一个点，所得线段与直线的交点即为所求作的点。*其依据是“两点之间，线段最短”和“轴对称的性质”。（三）学以致用，巩固提升例题：如图2，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？![图2：泵站选址问题示意图（此处应有图，描述：直线l代表燃气管道，A、B两点在直线l的同侧）]解决步骤：1.作点A关于直线l的对称点A'（或作点B关于直线l的对称点B'）。2.连接A'B（或AB'），交直线l于点P。3.点P就是泵站应该修建的位置。练习：1.如图3，点A、B在直线l的异侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。（这个是不是更简单？）2.如图4，在∠AOB内部有一点P，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使△PMN的周长最小。![图3：两点异侧问题示意图]![图4：角内一点三角形周长最小问题示意图]（四）拓展延伸，深化理解有时候，我们遇到的最短路径问题可能不仅仅涉及一条直线，或者需要考虑其他因素。例如，在坐标系中求解最短路径，或者结合平移等其他图形变换。但核心思想仍然是“转化”，将不熟悉的问题转化为我们熟悉的“两点之间，线段最短”的模型。思考：如果将军饮马后，还需要到河岸另一侧的另一个营地C，路径如何选择最短？（此问题可作为课后思考）四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.我们学习了如何利用轴对称的性质解决简单的最短路径问题。2.解决这类问题的关键在于“转化”，即将同侧两点转化为异侧两点，从而利用“两点之间，线段最短”的基本事实。3.在解决问题的过程中，我们经历了观察、猜想、验证、归纳的过程，体会了数学思想方法的重要性。五、课后作业1.完成教材对应练习题。2.如图5，村庄A、B位于一条小河的两岸，现在要在河上建一座桥MN（桥与河岸垂直），请你设计一下，桥建在何处才能使从A村到B村的路径AMNB最短？（提示：可将点A沿与河岸垂直的方向平移桥长的距离）![图5：建桥问题示意图]3.思考：在一个平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(4,1)，在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标。六、学习反思*本节课你最感