专题13 利用三角形全等测距离-七年级数学下册暑假精炼（北师大版）（解析版）

利用三角形全等测距离一、单选题(共30分)1．(本题3分)下列说法：①全等三角形的面积相等；②全等三角形的周长相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的对应边相等．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】根据全等三角形的性质进行判断即可．【详解】解：①全等三角形的面积相等，说法正确；②全等三角形的周长相等，说法正确；③全等三角形的对应角相等，说法正确；④全等三角形的对应边相等，说法正确；故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．2．(本题3分)如图，两个三角形全等，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：∵两个三角形全等，且是b、c两边的夹角，∴=58°故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确识图、掌握全等三角形的性质是关键．3．(本题3分)如图，点、分别在的边、上，且，若，则的度数为（）A．30° B．32° C．35° D．40°【答案】A【分析】根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵△DEF≌△DEA，

∴∠F＝∠A，∵∠BDF＝∠A＋∠1，∠1＝∠CEF＋∠F，∴∠1＝∠CEF＋∠A，∴∠BDF＝∠A＋∠CEF＋∠A，∴2∠A＝∠BDF−∠CEF＝60°，∴∠A＝30°，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．4．(本题3分)如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（）A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5【答案】D【分析】根据点M的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的性质和时间=路程÷速度分别求解即可．【详解】解：当点M在AB上时，显然A、B、M构不成三角形，故不符合题意；当点M运动到BC上时，连接AM，如下图所示∵四边形ABCD为正方形∴AB=DC=4，∠B=∠C=90°，结合题意，可知≌∴BM=CE=3∴点M运动的路程为AB＋BM=7∴此时t=7÷2=；当点M运动到CD上时，连接AM、BM，如下图所示∵四边形ABCD为正方形∴AB=DC=4，由图易知AM和BM均大于CE，∴此时不存在和全等；当点M运动到DA上时，连接BM，如下图所示∵四边形ABCD为正方形∴AD=BC=AB=CD=4，∠A=∠C=90°，结合题意，可知≌∴AM=CE=3∴点M运动的路程为AB＋BC＋CD＋AD－AM=13∴此时t=13÷2=；综上：t的值为或故选D．【点睛】此题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键．5．(本题3分)如图所示，平分，点M，N分别在边，上，如果添加一个条件，即可推出，那么下面条件不正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据选项和题意结合全等三角形的判定方法，判断与是否全等，来判断是否能推出AM=AN，再逐项判断即可．【详解】AP平分，所以．A．PM=PN，不能证明出，所以不能推出AM=AN，故A符合题意．B．∵，AM=AN，，∴，∴AM=AN．所以能推出AM=AN，故B不符合题意．C．∵，∴，又∵AM=AN，，∴，∴AM=AN．所以能推出AM=AN，故C不符合题意．D．∵，，AM=AN，∴，∴AM=AN．所以能推出AM=AN，故D不符合题意．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，熟练利用三角形全等的判定方法是解答本题的关键．6．(本题3分)如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．【详解】∵O是AA′、BB′的中点，∴AO＝A′O，BO＝B′O，在△OAB和△OA′B′中，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），故选：A．【点睛】此题主要全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件．7．(本题3分)如图，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则DC的长是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，即可求解．【详解】解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE+CD＝BC+DE＝14，∴2CD＝14，∴CD＝7，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是本题的关键．8．(本题3分)如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．【详解】解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）∴EM=FN；（故①正确）由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正确）由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．9．(本题3分)如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′DEB′BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．α+β＝150° D．β﹣α＝60°【答案】A【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和定理，三角形外角性质和等角代换，进一步变形后即可得到答案．【详解】解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和灵活运用平行线的性质是解题的关键．10．(本题3分)如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要满足条件∠BAC=∠BCA，据此可判断①②；在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论，据此可判断③④．【详解】解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；故①不一定正确；②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；故②不一定正确；③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF与△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，则∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC与△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正确；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正确；综上所述，正确的结论有2个．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．二、填空题(共18分)11．(本题3分)工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是__．【答案】【分析】角尺与已知角固定点重合时有，分析已知条件，就能确定全等三角形判定定理．【详解】由图可知，，在和中，，，即是的平分线．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形边边边定理在实际生活中的应用，能根据题意分析出三角形判定的条件是解题关键．12．(本题3分)如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．【答案】60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一个外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．13．(本题3分)如图，，，则__________．【答案】60°【分析】根据全等三角形的性质求得∠A=∠F，然后利用三角形内角和定理求解．【详解】解：∵∴∠A=∠F=40°∴∠ACB=180°-∠ABC-∠A=180°-80°-40°=60°故答案为：60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．14．(本题3分)如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是__m．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】，，，，，，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．15．(本题3分)如图，四边形中，，，，则的面积为______．【答案】50【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明∆ACD≅∆CBE，进而即可求解．【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在∆ACD与∆CBE中，∵，∴∆ACD≅∆CBE（AAS），∴BE=CD=10，∴的面积=CD∙BE=×10×10=50，故答案是50．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键．16．(本题3分)如图为的角平分线，且，E为延长线上一点，，过E作于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________．【答案】①②④【分析】根据SAS易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确；再判断AB∥CE，可得③错误；判断出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，进而判断出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判断出④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正确；③根据已知条件，可得不一定成立，故③错误；④如图，过作于点，是上的点，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．三、解答题(共52分)17．(本题10分)如图，小叶和小丽两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．【答案】见解析【分析】本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，是一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，从而得知两家的距离．【详解】解：在点B所在的河岸上取点C，连结BC，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，且A、C、E三点在同一直线上，测量出DE的长，就是AB的长．在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．18．(本题12分)如图，，直线过点，直线，直线，垂足分别为、，且．（1）求证；（2）求证．【答案】证明见解析．【分析】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【详解】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝，在Rt△AMB和Rt△CNA中，，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝，∴∠CAN+∠BAM＝，∴∠BAC＝﹣＝【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．(本题10分)如图所示，有两个长度相同的滑梯和，，，垂足分别为，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．问：两个滑梯的倾斜角和的大小有什么关系？【答案】，理由见解析【分析】由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等，再根据全等