第05讲 正方形的性质（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第05讲正方形的性质（4种题型）【知识梳理】一、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．二、正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．【考点剖析】题型一：正方形性质理解例1．（2022春•仓山区校级期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等 B．轴对称图形 C．对角线互相平分 D．对角线平分每一组对角【变式1】（2022•虞城县二模）下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角【变式2】下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分题型二：根据正方形性质求角度例2.（2022春•潮安区期中）如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝．例3.如图，正方形ABCD的边长是4，BE＝CE，DF＝3CF．证明：∠AEF＝90°．题型三：根据正方形性质求线段长例4.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长为．例5.一个正方形的对角线长为2，则其周长为．例6.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF．求证：AE＝DF．【变式1】（2022•渭滨区一模）如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，并延长交CD于点F，过点C作CH∥AE，交BF于点H．求证：AG＝BH．【变式2】如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：AE＝AF．题型四：根据正方形性质求面积例7.（2022春•宜兴市校级月考）已知正方形的对角线长为6，则它的面积为．【过关检测】一、单选题1．（2023·四川成都·模拟预测）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．四个角都是直角 B．对角线相等C．四条边相等 D．对角线互相平分2．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市杏坛中学校考期末）正方形、矩形、菱形都具有的特征是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角3．（2023·河南·校联考二模）正方形具有而菱形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分C．四条边相等 D．对角线平分一组对角4．（2023秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市实验学校校考期末）以下说法不正确的是（

）A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形对角线相等C．正方形对角线互相垂直平分 D．菱形四条边相等5．（2023·山东东营·二模）如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，将沿折叠得到，点落在边上，连接．现有如下个结论：①＋＝；②；③；④．在以上个结论中正确的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）菱形中，，以为边长作正方形，连接，则的度数为__________．8．（2023·山西晋中·统考二模）如图，是一块直角三角尺，，，直角顶点恰好落在正方形的边上，且，则的度数为______°．

9．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图所示，在中，，为延长线上一动点，以为边在上方作正方形，连接，，则的面积为_________．10．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接交于点E，则的度数为__________．

11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____．12．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为，点，分别是对角线的三等分点，点是边上一动点，则的最小值是________.

13．（2023·江苏常州·统考二模）如图，正方形的边长是2，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接当最小时，的长是______．

14．（2023·山西运城·统考二模）如图，在边长为2的正方形中，E是边的一点，F是边上的一点，连接，若，，则的长为______．

15．（2023·天津东丽·统考二模）如图，正方形的边长是，对角线的交点为，点在边上且，，连接，则__________．

三、解答题16．（2023春·广东河源·九年级龙川县培英学校校考开学考试）如图，点是正方形的边上一点，把顺时针旋转至的位置．

(1)旋转中心是________点，旋转角度是_______度，则是_______三角形；(2)若四边形的面积为，求EF的长．17．（2023·陕西西安·统考三模）如图所示，为正方形内一点，连接和，点在边右侧，连接和，已知，且．求证：．18．（2023·全国·九年级专题练习）正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，，求的度数．19．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在菱形中，O为，的交点，P是边上一点，交于M点，于N点．

(1)求证：四边形是矩形．(2)若，，当四边形是正方形时，求的长．20．（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点．将沿对折至，延长交于点G，连接，平分．(1)试说明(2)求的长．2