第14讲 重难点专项突破02正方形中的十字架模型（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

重难点专项突破02正方形中的十字架模型【知识梳理】【考点剖析】一．解答题（共10小题）1．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．2．（2022•湘潭县校级模拟）如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有什么关系吗？并给予证明．3．（2023•运城二模）综合与实践：问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α到矩形CEFG的位置，点D恰好在边CG上．问题解决：（1）如图1，连接AC，CF，AF，AF与CG交于点H．①α的值为，AF＝；②求GH的长．（2）如图2，若将四边形ABCP沿渞直线CP折叠，得到四边形A′PCB′，使得点B的对应点B′恰好在EF上，点A的对应点为A′，点G在A′P上，求AP的长．4．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由．5．（2023•湘潭县三模）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°；（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA；（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值．6．（2022•天桥区一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．7．（2022春•潮阳区期末）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．8．（2023春•青秀区校级期中）在正方形ABCD中：（1）已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE＝BF．（2）如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论．（3）如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE、HF相等吗？证明你的结论．9．（2020秋•漳州期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE，DF相交于点O且AE⊥DF．则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边AD，BC，CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．

【过关检测】一．解答题（共13小题）1．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE＝BF，求证：AF⊥DE．2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．求证：AF＝BE．3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，BE＝CF，连接AE、BF相交于点G．现给出了四个结论：①AE＝BF；②∠BAE＝∠CBF；③BF⊥AE；④AG＝FG．请在这些结论中，选择一个你认为正确的结论，并加以证明．结论：．4．已知：正方形ABCD．（1）如图①，E，F分别是边CD，AD上的一点，且AE⊥BF，求证：AE＝BF．（2）M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，且MN＝EF，那么MN⊥EF？请画图表示，并作简要说明：（3）将正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN，若已知该正方形边长为12，MN的长为13，求CE的长．5．探究一：如图1，已知正方形ABCD，E、F分别是BC、AB上的两点，且AE⊥DF．小明经探究，发现AE＝DF．请你帮他写出证明过程．探究二：如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、G分别在边BC、AD上，F、H分别在边AB、CD上，且GE⊥FH．小明发现，GE与FH并不相等，请你帮他求出的值．探究三：小明思考这样一个问题：如图3，在正方形ABCD中，若E、G分别在边BC、AD上，F、H分别在边AB、CD上，且GE＝FH，试问：GE⊥FH是否成立？若一定成立，请给予证明；若不一定成立，请画图并作出说明．6．问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下命题：①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN．②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求（1）请你对命题③进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：如图4，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON＝108°时，请问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．7．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，连接GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF＝∠HDF．8．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．9．如图1，正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，且满足AF＝DE，连接BF、AE，交点为O，（1）请判断AE与BF的关系，并证明你的结论．（2）如图2，连接BE、EF，若G、H、P、Q分别是AB、BE、EF、FA的中点，试说明四边形GHPQ是正方形．10．在正方形ABCD中：（1）如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．求证：AE＝BF．（2）如图②，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M．那么GE、HF相等吗？证明你的结论．（3）如图③，在等边三角形ABC中，点E、F分别在BC、CA上，且BE＝CF，你能猜想∠AMF的度数吗？证明你的结论．11．如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：（1）在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有何关系？并给予证明；（2）若AE和BF相交点O，图中有多少对相似三角形？请把它们写出来．12．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图a，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图b，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图c，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN；任务要求：（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（说明选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）（2）请你继续完成下面的探索：ⅰ、如图d，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立？（不要求证明）ⅱ、如图e，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由．13．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类比的思想提出了如下命题；③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝