第09讲 用公式法求解一元二次方程（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第09讲用公式法求解一元二次方程【知识梳理】一、公式引入一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：．对上面这个方程进行讨论：因为，所以当时，利用开平方法，得：， 即：当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程（），当时，有两个实数根：，这就是一元二次方程（）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤把一元二次方程化成一般形式（）；确定a、b、c的值；求出的值（或代数式）；若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解．根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作．2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．【考点剖析】一．解一元二次方程-公式法（共12小题）1．（2023•西和县一模）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（）A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60【分析】直接利用Δ＝b2﹣4ac进行计算即可．【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．2．（2023•宜兴市一模）方程x2﹣3x＝1的解是x1＝，x2＝．【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．3．（2023•碑林区校级三模）关于x的方程x2﹣x+＝9的解是x1＝，x2＝﹣．【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：x2﹣x+＝9，x2﹣x﹣＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣）＝36＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．4．（2022秋•漳州期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为x＝3或．【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．【解答】解：当x＞1时，方程为：x2﹣6＝x，即x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝3；∴此时x＝3，当x＜1时，方程为：x2﹣6＝1，解得：（舍去），，∴．故答案为：x＝3或．【点评】本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．5．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．6．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．【分析】根据配方法先配成：（x﹣2）2＝7，然后解一元二次方程即可（方法不唯一）．【解答】解：x2﹣4x+7＝10，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．7．（2023•泉州一模）小明在解方程x2﹣5x＝﹣3的过程中出现了错误，其解答如下：解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，……第一步∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37，……第二步∴x＝，……第三步∴x1＝，x2＝．……第四步（1）问：小明的解答是从第一步开始出错的；（2）请写出本题正确的解答．【分析】（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到a＝1，b＝﹣5，c＝3，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）小明的解答是从第一步开始出错的；故答案为：一；（2）方程化为一般式为x2﹣5x+3＝0，a＝1，b＝﹣5，c＝3，Δ＝（﹣5）2﹣4×1×3＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．8．（2022秋•衡山县期末）下列方程中，以x＝为根的是（）A．x2﹣5x﹣c＝0 B．x2+5x﹣c＝0 C．x2﹣5x+4c＝0 D．x2+5x+c＝0【分析】根据求根公式逐一判断即可．【解答】解：A．此方程的根为x＝，不符合题意；B．此方程的根为x＝，符合题意；C．此方程的根为x＝，不符合题意；D．此方程的根为x＝，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．9．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝，（第三步）．∴x1＝，x2＝（第四步）．小明是从第一步开始出错．【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．故答案为：一．【点评】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键．10．（2023•台湾）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，求a值为何（）A． B． C． D．【分析】利用公式法即可求解．【解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，这里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，∴x＝＝，∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，∴a的值为．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．11．（2022秋•德城区期末）用公式法解方程2x2﹣1＝0，其中b2﹣4ac＝8．【分析】将a，b，c的值代入b2﹣4ac中即可求出结论．【解答】解：∵a＝2，b＝0，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×（﹣1）＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．12．（2023•遂平县一模）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．【分析】根据运算法则为a*b＝a2﹣ab，一一判断即可；【解答】解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；若a+b＝0，则a＝﹣b，∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，解得x1＝，x2＝，④正确．故答案为：①②④【点评】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考常考题型．二．根的判别式（共11小题）13．（2023•永城市二模）关于x的方程4x2﹣4x＝﹣1的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根【分析】根据方程根的判别式即可判断．【解答】解：原方程化为4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×4×1＝0，则方程有两个相等的实数根．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．14．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，解得：m≤1且m≠0，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．15．（2023•金平区三模）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0有两个实数根a，b，那么一次函数y＝（1﹣ab）x+a+b的图象一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由根与系数的关系可知：a+b＝2，ab＝﹣4，∴1﹣ab＝5∴一次函数解析式为：y＝5x+2，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及一次函数的性质，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．16．（2023•容县一模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+…+i2023的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．i【分析】根据i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，2023÷4＝505…3，进而得出i2023＝i3，进而求出即可．【解答】解：原式＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i＝﹣1．故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．17．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，解得：k＞﹣且k≠0；（2）当k＝1时，原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，直接开平方得：x﹣3＝±解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．18．（2023•扎兰屯市一模）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的负实根 D．有两个不相等的正实根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，结合三角形三边关系即可作出判断．【解答】解：在此方程中Δ＝b2﹣4ac＝（a+b）2﹣4c×＝（a+b）2﹣c2，∵a，b，c是△ABC三条边的长，∴a＞0，b＞0，c＞0．c＜a+b，即（a+b）2＞c2，∴Δ＝（a+b）2﹣c2＞0，故方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是﹣＜0，两根的积是＞0，∴方程cx2+（a+b）x+＝0的根的情况是有两个不相等的负根．故选：C．【点评】此题考查了根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．19．（2023•罗山县三模）若关于x的方程x2+2x＝c无实数根，则c的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据已知条件得出22﹣4×1×（﹣c）＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．【解答】解：原方程可化为x2+2x﹣c＝0，∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c）＜0，解得：c＜﹣1，∵﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，1＞﹣1，∴k只能为﹣2，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．20．（2023•贵州模拟）已知关于x的一元二次方程x2+6+c+c＝0的一个根是x＝1，则方程x2+6x﹣c＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有一个根是x＝1【分析】先把x＝1代入方程x2+6x+c＝0可得到c＝﹣7，则方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，再计算根的判别式的值得到Δ＝8＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：把x＝1代入方程x2+6x+c＝0得1+6+c＝0，解得c＝﹣7，所以方程x2+6x﹣c＝0化为x2+6x+7＝0，∵Δ＝62﹣4×7＝8＞0，∴方程x2+6x﹣c＝0有两个不相等的实数根．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解．21．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】（1）根据方程的解把x＝1代入方程得到c﹣b＝0，即c＝b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，a+c﹣2b﹣a+c＝0，化简得c＝b，则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，化简可得b2+a2＝c2，则该三角形△ABC的形状为直角三角形．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．22．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．23．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解得m且m≠0．【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·贵州黔东南·统考二模）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据关于x的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，解得，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程时有实数根是解题的关键．2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a满足条件是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：且，故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，则正数b的值是（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，∴，∴，∴，∵是正数，∴，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根．4．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期末）一元二次方程的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当时，方程为，解得不是整数，故A选项不符合题意；当时，方程为，解得不是整数，故B选项不符合题意；当时，方程为，解得或是整数，故C选项符合题意；当时，方程为，解得不是整数，故D选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x的一元二次方程无实数根，那么a的值可以为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：,从而列不等式可得答案．【详解】解：∵一元二次方程无实数根，∴，解得：，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．6．（2023·河南商丘·统考三模）方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有一个实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵，即，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程的较大的一根小于1，则实数的取值范围是（

）A．一切实数 B． C． D．【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：解方程得：，∵一元二次方程的较大的一根小于1，∴，∴，两边平方得：，∴，故选：D．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b的不等式是解题的关键．8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程的整数对有（

）A．0对 B．2对 C．4对 D．6对【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出的范围，根据是整数求出的值，进而求出的值，利用也是整数判断即可得出结论．【详解】解：原方程可化为，∵方程有实数根，∴，∴，∵是整数，∴，，，0，1，2，3，当时，原方程可化为，∴（由于为整数，所以舍去），当时，原方程可化为，∴（由于为整数，所以舍去），当时，原方程可化为，∴（由于为整数，所以舍去），当时，原方程可化为，∴（由于为整数，所以舍去），当时，原方程可化为，∴（由于为整数，所以舍去），当时，原方程可化为，∴或，当时，原方程可化为，∴或，∴原方程的整数解为：或或或，即：方程的整数对为、、，共四对，故选：C．【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是________．【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______．【答案】【分析】设方程为，根据方程有两个相等的实数根可知，据此列式求解即可．【详解】设方程为，由题意得，∴，∴一次项为．故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________．【答案】且【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义得出，即可求解．【详解】解：依题意，且，解得：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________．【答案】【分析】先把这个一元二次方程变成一般式，再根据一元二次方程根的判别式计算即可．【详解】，．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式性质，准确计算是解本题的关键．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围，再根据根与系数的关系可得：，，代入得到关于m的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：，即的取值范围是；∵由根与系数的关系可得：，∴，∵，∴，即，∴，解得或，∵，∴，故答案为：2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．三、解答题14．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）解方程：【答案】，【分析】用公式法解此方程即可．【详解】解：，，此方程的解为：，．【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤．15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）【答案】【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．16.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴（2）两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解．17..用公式法解下列方程：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：；，则，则， ∴原方程的解为：．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．18.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）； （2）；（3）； （4）． 【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【解析】（1），，，，方程有两不等实根；，，，，方程无实数根；，，，，方程有两相等实根；（4），，，，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意、异号时则必有两不等实根．19.已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值．【答案】0．【解析】∵，，，∴，整理即得，解得：，，同时方程是一元二次方程，知，故，由此得．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．20．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)当取满足要求的最小正整数时，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，且，求出的取值范围即可；（2）得到的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，即，且，解得：且；（2）满足条件的最小正整数是，此时方程为，解得：，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答本题的关键．21．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为，即可证明结论；（2）根据题意得到是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．【详解】（1）证明：由得，，∵，∴方程总有两个实数根；（2）∵，∴，∴，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴m的最小值为．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．22．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于的方程没有实数根，试判断关于的方程实数根的情况，并说明理由．【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于的方程没有实数根，求出的求值范围；再表示关于的方程，，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程没有实数根，，，对于关于的方程，，，，即，∴方程一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．23．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241

“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”；(2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝