第10讲 相似三角形的性质-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第十讲相似三角形的性质及应用【学习目标】1、理解并熟练应用相似三角形的性质:周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方;(重点)2.会利用相似三角形的性质来解决简单的问题。)3.使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质.【基础知识】相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【考点剖析】考点一：相似三角形的性质例1．（1）如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．【答案】AB＝，OC＝，∠D＝58°．【解析】解：∵OA＝2，AD＝9，∴OD＝9﹣2＝7，∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝，∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，∴＝＝，解得OC＝，AB＝，∵△AOB∽△DOC，∴∠D＝∠A＝58°．（2）如图，已知AD＝4cm，BC：AC＝3：2，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC，求AB的长和∠BAD的度数．【答案】AB＝6cm；∠BAD＝153°【详解】解：∵△ABC∽△DAC，∴，∵BC：AC＝3：2；AD＝4cm，∴，∴AB＝6cm；∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°．考点二：相似三角形性质与判定的综合应用例2．如图，在四边形中，∠＝90°，∥，对角线⊥．（1）求证：△∽△．（2）若＝2，＝3，求△与△的面积比．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）∵⊥，∠B＝90°，∴，即：，又∵∥，∴，∴△∽△；（2）∵△∽△，∴相似比为，∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴．例3．如图，中，平分，是上一点，．（1）求证：．（2）已知，，试求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE，∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD，∴∠B=∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：∵△ABD∽△ACE，∴，∵，∴，∵AD=14，∴AE=，∴DE=14-=．考点三：相似三角形性质的实际应用例4．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行并使直角边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，且测点到地面的距离米，，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．【答案】【详解】解：∵，，∴，∵，米，∴四边形CBGD是矩形，∴，∵∠ADC=∠ADC，，∴，∴，∵米，米，米，∴，∴米，∴．例5．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点、、在一条直线上，且直线与河垂直，在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，与过点且与垂直的直线的交点为．如果，，，求的长．【答案】120m【详解】解：由题意可知，，，设，∵，，，∴，，解得，经检验x=120是方程的解的长为．【真题演练】1．如图，与交于点，则（）A．2 B．3 C．3.5 D．4【答案】B【详解】解：∵在△ACB和△AED中，（已知），∠CAB=∠EAD∴△ACB∽△AED∴即，解得ED=3．故选B．2．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4 C．6 D．4【答案】B【详解】解：∵BC＝8，AD是中线，∴CD＝BD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴，∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故选：B．3．某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用1.5m的竹竿作为测量工具．在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面处重合，如图，测得，，则教学楼的高是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵OD=3，BD=33，∴OB=OD+BD=36，由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，∴△OCD∽△OAB，∴，，解得：即教学楼的高是18m故选：A4．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是0.6，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为0.9，又测得地面的影长为2.7，请你帮她算一下，树高是（）A．7 B．6 C．4.5 D．5.4【答案】D【详解】解：如图所示：过点D作DC⊥AB于点C，连接AD，∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴∠DCB=∠CBE=∠DEB=90°，∴四边形CBED为矩形，∴∵一根长为1m的竹竿的影长是，∴，解得，∴．故选：D．5．如图，为测量楼高，在适当位置竖立一根高的标杆，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长，则楼高为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴，∴AB＝16（米）．故选：B．6．如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC的中点．若S△APQ=1，则S四边形PBCQ=____．【答案】3．【详解】∵P，Q分别为AB，AC的中点，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：3．7．平行于墙面的三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则三角尺与它在墙上影子的周长比是________．【答案】【详解】解：如图，∵OA=10cm，AA′=15cm，∴OA′=25cm，∴，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比=，故答案为：．8．如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是_____．【答案】【详解】解：∵EB⊥AC，CD⊥AC∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，∴CD＝．故答案为：．9．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝__m．【答案】【详解】解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN=（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．10．如图，已知，若，，，则的长为______．【答案】10【详解】解：∵，，∴，∵，∴，即，∴．故答案为：10．11．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为__m．【答案】6.4【详解】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，故△EAB∽△DCB，则，∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，∴，解得：DC＝6.4m，故答案为：6.4．12．如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即CO＝2米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即AC＝1.8米），排球落地点离墙的距离是6米（即OD＝6米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD的长是_____米．【答案】5.4【详解】解：由题意得：∠AOC＝∠BOD．∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACO＝∠BDO＝90°．∴△ACO～△BDO．∴．即．∴BD＝5.4（米）．故答案为：5.4．13．如图，在中，，，，，，，求：（1）与的度数；（2）的长．【答案】（1）∠AED=∠C=75°；（2）【详解】解：（1）∵∠A=65°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴∠AED=∠C=75°，（2）由（1）知，△AED∽△ACB，∴，∴，∴BC=．14．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】这个正方形零件的边长是48mm．【详解】设正方形的边长为xmm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴，即，解得x＝48mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．15．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．【答案】（1）3m；（2）1.2m【详解】解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽△BED，故，即，解得：BC＝3，经检验，BC＝3是上述分式方程的解，∴BC的长为3m；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴，∴，解得：AG＝1.2（m），∴灯泡到地面的高度AG为1.2m．【过关检测】1．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，∴S△ADE=S△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，故选：D．2．如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（）A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2【答案】A【详解】∵△ABC∽△DEF，∴=，即=∴DE=1.2故选A.3．在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE：BC＝1：2，∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，故选：A．4．如图，∽，且，则与的相似比为（

）A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2【答案】A【详解】解：∵AD：DB=2：1∴AD：AB=2：3∵△ADE∽△ABC,∴AD：AB=2：3∴△ADE与△ABC的相似比为2:3.故答案为：A.5．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（）A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2【答案】A【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A6．如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（）A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm【答案】B【详解】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，∵OC：AC＝1：3，∴OC：OA＝1：2，∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，∵∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△COD，∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，∵CD＝10mm，∴AB＝20mm，∴零件厚度为，故选：B．7．据记载，金字塔的高度最早是由古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理测得的．胡夫金字塔是古埃及金字塔中最高的金字塔，现仿照泰勒斯的方法，测量胡夫金字塔的高度，右图为示意图．在同一时刻，标杆高度是3米，影长是4米，胡夫金字塔影长约为182米，则胡夫金字塔的高度大约为（）A．109.2米 B．136.5米 C．242.7米 D．303.3米【答案】B【详解】解：设胡夫金字塔的高度大约为x米，由标杆高度与影长之比等于塔高与影长之比可得：，解得．故选：B．8．已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△的最短边为10，则△的周长是____【答案】36【详解】解：△ABC与△相似，经检验：符合题意；故答案为：9．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为________米．【答案】6【详解】解：∵米，米，∴AE=1.2米，∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△BDE，∴，即，∴AC=6米故答案为：610．如图，路灯Р距地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯杆的底部（点O）12米的点A处，小明的影长是_________；【答案】3米【详解】解：∵OPAB则△ABC∽△OPC，∴∴解得AC=3．故答案为：3米．11．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．【答案】5【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴，，又∵，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，∴，解得，，即建筑物CD的高是5m，故答案为：5．12．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点是连接夹面的轴上一点，于点．这个侧面图是轴对称图形，直线是它的对称轴．已知，，．求点与点之间的距离．【答案】连接AB交直线OC于点E，根据轴对称图形的性质得直线OC⊥AB，AE=BE，，，∴，∴，即，∴，∴．答：