第10讲 用因式分解法解一元二次方程（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第10讲用因式分解法解一元二次方程正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方方程的应用。一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点1：因式分解法解一元二次方程例1．方程的根为(

)A． B． C． D．或【答案】D【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程．【解析】解：故选：D．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．例2．方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可．【解析】解：∴故选：B【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键．例3．解下列方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．（1）解：，∴，解得：；（2）解：，整理得：，∴，解得：【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键．例4．用适当的方法解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：解得，(2)解：解得，【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．例5．用适当的方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案；先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．(1)解：，，则或，解得，，所以，原方程的解为，；(2)解：，则，或，解得，．所以，原方程的解为，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．例6．一元二次方程的根是__________．【答案】，【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10，x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，（x﹣2）（2x﹣5）＝0，x﹣2＝0或2x﹣5＝0，所以，．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键．考点2：因式分解法解一元二次方程易错题例7．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是

(

)A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2【答案】B【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【解析】∵，∴，∴，∴x-4=0或x+2=0，∴．故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．例8．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0【答案】A【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．【解析】A：等式右边为0，分解正确，符合题意；B：等式右边≠0，不符合题意；C：等式右边≠0，不符合题意；D：x(x+2)=0，∴x+2=0或x=0；故答案为：A【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．考点3：因式分解法解一元二次方程的应用例9．如果代数式与的值相等，那么x=______．【答案】2【分析】由题可得，整理得到即解出即可．【解析】解：根据题意得故答案为：2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键．例10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.例11．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．【答案】或【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．【解析】解：一元二次方程的解为，，，解得，一元二次方程可化为，，，解得，．一元二次方程的解为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．例12．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（

）A．11 B．21 C．11或21 D．11或1【答案】A【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【解析】解：由可得，∴或，解得x＝1或x＝11，当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点4：换元法例13．已知，则的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．【答案】C【分析】设，则原方程变为解出关于a的方程，取非负值值即为的值．【解析】解：设，∵，∴，即，∴，解得或（舍去），∴，故选C．【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意．例14．解方程：(x-2013)(x-2014)＝2015×2016．【答案】x1＝4029，x2＝-2【分析】设x-2013=t，则x-2014=t-1，可得t2-t-2015×2016=0，再利用因式分解法可得t1=2016，t2=-2015，再代入，即可求解．【解析】解：设x-2013=t，则x-2014=t-1，∴t（t-1）=2015×2016，即t2-t-2015×2016=0，∴（t-2016）（t+2015）=0解得：t1=2016，t2=-2015，∴x－2013=2016或x－2013=-2015，解得：x1＝4029或-2，∴原方程的解为x1＝4029，x2＝-2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．考点5：分类讨论思想例15．关于的一元二次方程的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（

）A．2个B．4个C．6个D．无数个【答案】D【解析】求得和为-5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．然后由-5+0=-5；-4+（-1）=-5；-3+（-2）=-5；1+（-6）=-5；2+（-7）=-5；3+（-8）=-5；4+（-9）=-5…可得p=-5×0=0或-4×（-1）=4或-3×（-2）=6或1×（-6）=-6或2×（-7）=-14；或3×（-8）=-24；或4×（-9）=-36…．故选：D．点睛：本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项．例16．解方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可．【解析】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，因式分解得(x-2)(x+1)=0，解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）；当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0，因式分解得(x+2)(x-1)=0，解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）；所以，原方程的根是x1=2，x2=-2．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键．考点6：创新题型例17．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（

）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可.【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣ax0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣ax0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.例18．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（

）A．6 B．2 C．2或 D．2或或6【答案】B【分析】分两种情况讨论：当m≤1时，当m＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．【解析】解：当m≤1时，则1★m=m+2=8，解得：m=6，故无解；当m＞1时，则1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，∴m=2，综上，m=2，故选：B．【点睛】本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．例19．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（

）A．13 B．10 C．8 D．7【答案】D【分析】由已知数列得出an＝1+2+3+…+n，再求出a9、ai、a11的值，代入计算可得．【解析】解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n，∴a945、ai、a1166，则a9+a11﹣ai＝83，可得：45+6683，解得：i＝7，（负根舍去）故选：D．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an＝1+2+3+…+n，一、单选题1．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程的根是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．【解析】解：，或解得：故选B【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．2．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．【解析】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，∴,∴一次函数表达式为，有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.二、填空题4．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．【答案】【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【解析】解：移项得：，∴，∴或，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．5．（2020·贵州毕节·统考中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；又0是该方程的一个根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．【解析】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．三、解答题7．（2022·四川凉山·统考中考真题）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【解析】解：，，或，或，故方程的解为．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；【解析】解：（1）∵△==∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）∵∴∴=0∴，或，当，时，∵k与都为整数，∴k=0或-2当，时，∴，∵k与都为整数，∴k=1或-1∴k所有可能的值为0或-2或1或-1【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可得到正确选项．【解析】解：∵，∴，∴，∴x+7=0，x-8=0，∴x1=-7，x2=8．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．2．方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】移项，得，因式分解，得，则或，解得或．3．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（

）A．∵，∴或B．∵，∴或C．∵，∴或D．∵，∴【答案】A【解析】∵，∴或，A选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B，C选项错误；∵，∴或，故D选项错误．4．下列方程适合用因式分解法解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题可将选项先化简成，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则方程适用因式分解．【解析】A、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；B、，即，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；C、，即，则，故适合用因式分解法来解题；D、，适用公式法，不适合用因式分解法来解题；故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．5．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．5【答案】C【分析】由已知的方程进行换元a=x2+y2转化为一元二次方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2+2a﹣15=0，∴(a+1)2=16，解得：a=3或a=﹣5，又∵a≥0，∴a=x2+y2=3.故选C.【点睛】解此题的关键在于利用换元法将原方程简化.换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.6．若x，y都是负数，且，则的值是（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】将x+y看作一个整体，把已知等式进行因式分解即可求出x+y的值．【解析】解：，∴，即，可得或．∵x，y都是负数，∴x+y＜0，∴，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是利用整体思想，掌握因式分解法．7．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（

）A．7 B．10 C．10或11 D．11【答案】C【分析】把x＝3代入已知方程求得m的值，然后求出该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解析】解：把x＝3代入方程得：，解得m＝6，则原方程为，解得：x1＝3，x2＝4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为4＋4＋3＝11，②当△ABC的腰为3，底边为4时，符合三角形三边关系，△ABC的周长为3＋3＋4＝10，综上所述，△ABC的周长为10或11．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．8．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为()A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，1【答案】B【分析】先将，代入一元二次方程得出与的关系，再将用含的式子表示并代入一元二次方程求解即得．【解析】∵关于的一元二次方程的两根为，∴或∴整理方程即得：∴将代入化简即得：解得：，故选：B．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．9．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x2-x+1-1=0，求出方程的解；当x＜1时方程为x2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案．【解析】当x≥1时，方程为x2-x+1-1=0，∴x1=0（舍去），x2=1；当x＜1时，方程为x2+x-1-1=0，∴x1=-2，x2=1（舍去），∴方程的解是x1=-2，x2=1．故选：B．【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．10．对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（

）①当时，若，则②无论x取任何实数，等式都恒成立，则③若，，则④满足的整数解共有8个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．【解析】①当时，若，则∴或者，故①错误；②等式化简后为∵无论x取任何实数，等式都恒成立，∴，即∴，故②正确；③若，，则两个方程相加得：，∴∴，故③错误；④整理得：∴∵整数解∴，，，∴，，，，，，，，，∴整数解共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A．【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．二、填空题11．一元二次方程的解是________．【答案】【解析】原方程可转化为，∴或，解得．12．一元二次方程的解是________．【答案】【解析】∵，∴．∴．∴或，解得．13．一元二次方程的解为__．【答案】，【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式．【解析】解：，．故答案是：，．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．14．关于x的方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0的根为整数，则所有整数的和为____________．【答案】【分析】分两种情况讨论，当时，方程为一元一次方程时，或当时，根据因式分解法解题即可．【解析】当时，原方程可化为解得为整数；当时，原方程是关于x的一元二次方程，可化为根据题意根为整数，或，解得所有整数的和为：故答案为：-5．【点睛】本题考查方程的解，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．若方程和的解相同，则的值为______．【答案】4【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，则b=4．故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．菱形的两条对角线长分别为方程的两个根，则该菱形的周长为______．【答案】10【分析】解方程，可得菱形的对角线长，根据菱形的性质，可通过菱形的对角线求得菱形的边长，进而求出周长．【解析】解：解方程，解得，，菱形的对角线互相垂直且边长相等，根据勾股定理可得，边长为，菱形的周长为．故答案为：10．【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，熟知菱形性质是解题的关键．17．定义新运算“”，规则：，如，．若的两根为，则_____．【答案】或【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据，可以得到的值是两个根中的较大的一个．【解析】解：解方程，，或，解得：，或，，，当，时，．当，时，.故答案为：或．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解．18．已知正整数满足：，则值为___________．【答案】146【分析】将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．【解析】解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解得t=55或16，∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．故x2+y2的值为146．故答案为146.【点睛】本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．三、解答题19．用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】解：（1）∵，∴．则或解得．（2）∵，∴．则，解得．（3）∵，∴．则，∴或．解得．（4）∵，∴．∴或．解得．20．用因式分解法解下列关于x的方程（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）解得：，（2）解得：，（3）解得：，（4）解得：，【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．21．用因式分解法解下列关于x的方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】（1）移项后提取公因式；（2）使用平方差公式；（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．【解析】解：（1），，，则有或，解得：，；（2），，，则有或，解得：，；（3），，，，则有或，解得：，；（4），，，则有或，解得：，．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．22．已知关于的方程．(1)求证：无论取什么数，方程总有两个实数根；(2)若已知方程有一个实数根是，试求出另一个实数根．【答案】(1)见解析(2)方程的另一个实数根是【分析】（1）根据根的判别式进行判断即可；（2）把代入方程，求出m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可．【解析】（1）证明：关于的方程中，，，，则，∴无论取什么数，方程总有两个实数根；（2）解：把代入方程得：，解得：，把代入原方程得：，整理得：，解得：，，∴方程的另一个实数根是．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．23．以下是小滨在解方程时的解答过程．解原方程可化为，解得原方程的解是．小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】有，正确的过程见解析【分析】有错误，忽略了的情况，根据解一元二次方程的方法写出正确的解答过程即可．【解析】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况，正确的解答为：方程可化为：，移项得：，分解因式得：，所以或，解得：，．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．24．已知关于的一元二次方程，其中分别是