第10讲 用因式分解法求解一元二次方程 （学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第10讲用因式分解法求解一元二次方程（6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.二、常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程的解为：___________．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【变式】解关于的一元二次方程：．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于的方程：（1）；（2）；题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【变式1】解关于的方程（合适的方法）：（1）；（2）．【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．题型6：因式分解中的新定义例6．（2023·贵州遵义·统考二模）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【变式】在正数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【变式2】定义新运算“※”，规则：，如，．若的两根分别为，则______．题型7：因式分解综合应用例7.在一堂数学课上，李老师对课本上的一道习题进行了改编，改编后的习题为：一架梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙角距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，此时点将向外移动米，（参考数据：，，）

(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题．【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子，请同学们自己出问题并解答．(1)小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值；(2)小敏的问题：若，代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数，，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系；延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；（2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【过关检测】一、单选题1．（2023·全国·九年级假期作业）方程的根是（）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级假期作业）已知的解是，，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·全国·九年级假期作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是()A． B． C．或 D．或或4．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）若实数x，y满足，则的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或35．（2023·江苏·九年级假期作业）方程：的较小的根是（

）A． B． C． D．6．（2023·云南楚雄·统考二模）已知，则代数式（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023·全国·九年级假期作业）实数满足方程，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A．1 B． C． D．29．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（

）A． B． C． D．10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律（其中，字母按的降幂排列，b的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着展开式中各项的系数，有如下结论：①；②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024；③“杨辉三角”中第20行第3个数为190；④的结果是；⑤当代数式的值是1时，实数a的值是或，上述结论中，正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为______．12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的解是________．14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：方法如下：

第①步

第②步

第③步

第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若，则______．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足，则代数式的值为_______．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程：(1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知，求的值．19．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：．20．（2023春·湖南永州·九年级校考阶段练习）先化简，再求值，其中为方程的根．21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A为负数，将其加6得到数字B，若数字A与数字B的积为7，求数字A．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，，当时，，，当时，，．∴原方程有四个根是，，，．以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：；(2)已知实数，满足，试求的值．23．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，．仿照上述换元法解下列方程．(1)；(2)．24．（2023·山西阳泉·统考一模）阅读与思考：阅读下列材料并完成相应的任务．邻根方程如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．任务：(1)判断：方程______“邻根方程”（填“是”或“不是”