新九年级数学暑假同步课 第06讲 正方形解答题专练（解析版）（北师大版）

第06讲正方形解答题专练一、解答题1．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由正方形的性质结合，，证明即可得到答案．解：是正方形，，，在与中，【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．2．如图，已知点C为线段AB上一点，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN=BM

【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质证明△ACN≌△MCB，可以得结论．∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC=CM，NC=BC，∠ACN=∠BCM=90°，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是关键．3．如图所示，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，．求的度数．【答案】45°【解析】【分析】方法1，连接EF，过点F作，交DE于点G，根据勾股定理，结合已知条件，求得,证明是等腰直角三角形，从而求得的度数；方法2，延长BC到点H，使，连接DH，EF，证明，，再证明，进而求得的度数；方法3，连接EF，过点D作，交EF于点M，证明分别为的角平分线，进而求得的度数；方法1

如图所示，连接EF，过点F作，交DE于点G．正方形ABCD的边长为6，，．点E为BC的中点，．点F在AB边上，，，．在Rt△DAF中，．在Rt△EBF中，．在Rt△DCE中，，．在Rt△DGF和Rt△EGF中，有．设．根据题意，得．整理，得．解得，即．．．，．方法2如图所示，延长BC到点H，使，连接DH，EF．∵正方形ABCD的边长为6，，．，．在△ADF和△CDH中，，．，．．点E为BC的中点，．点F在AB边上，，，．．在Rt△EBF中，，．．在△DEF和△DEH中，，．．方法3，连接EF，过点D作，交EF于点M．正方形ABCD的边长为6，，．点E为BC的中点，．点F在AB边上，，，．在Rt△EBF中，．设，则在Rt△DAF中，．在Rt△DCE中，，．在Rt△FMD中，．在Rt△EMD中，．即解得,,,【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．4．如图，E，F，M，N分别是正方形四条边上的点，且．试判断四边形是什么图形，并证明你的结论．【答案】正方形，证明见解析【解析】【分析】利用正方形的性质，可得四条边相等，四个角相等，根据已知条件及等式的性质，可得，利用条件即可证明，由全等三角形的性质可得，证明四边形EFMN为菱形，再利用直角三角形的性质及全等三角形的对应角相等，可得，根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）即可证明结论．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴，，∵，∴，在与中，，∴，同理可证：，∴，∴四边形EFMN为菱形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形EFMN为正方形．【点睛】题目主要考查正方形的性质及判定定理，同时还涉及到三角形全等的判定及性质，熟练运用正方形的判定定理是解题关键．5．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；（2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；(2)解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°求证：CE＝DF．【答案】见解析【解析】【分析】综合正方形的性质以及全等三角形的判定与性质进行证明即可．证：∵四边形ABCD为正方形，∴OC=OD，∠DOC=90°，∠OCE=∠ODF=45°，∵∠EOF=90°，∴∠DOC-∠FOC=∠EOF-∠FOC，即：∠DOF=∠COE，在△OCE和△ODF中，∴△OCE≌△ODF（ASA），∴CE=DF．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等，理解正方形的基本性质，熟练证明全等三角形是解题关键．7．如图，已知平行四边形中，对角线、交于点O，E是延长线上一点，若．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）正方形，见解析【解析】【分析】（１）根据题中所给信息得出（SSS），从而得出，判断出四边形ABCD是菱形，（２）先判断出，根据角的关系等量代换出，得出四边形ABCD是矩形，又因为AB=CB，所以得出四边形ABCD是正方形．（１）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，在和中，，∴（SSS）∴，∴，∴四边形ABCD是菱形；（２）解：由（1）知，AO=CO，在和中，，∴，∴，，AB=CB，由（1）知，，∴，，∵，∴，∴，∴四边形ABCD是矩形，又∵AB=CB，∴四边形ABCD是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟记并灵活运用全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定．8．如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且．线段与相交于点G，是的中线．判断线段与之间的数量关系，并说明理由．【答案】BF=2GH，理由见解析【解析】【分析】根据正方形的性质，以及已知条件，证明△ABE≌△DAF，进而证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求证BF=2GH．BF=2GH，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AB=DA,∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF.

∴∠ABE=∠DAF.∵∠DAF+∠BAG=∠BAD=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°,∴∠BGF=180°-（∠ABE+∠BAG）=90°.

在Rt△BFG中，GH是斜边BF的中线，∴BF=2GH【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等的性质与判定，证明是解题的关键．9．如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图．（1）在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6；（2）在图②中，以AB为一边画菱形ABEF；（3）在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）画出底为3，高为的平行四边形ABCD即可；（2）根据菱形的定义，画出图形即可；（3）根据正方形的定义画出图形即可．解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求；（2）如图②中，菱形ABEF即为所求；（3）如图③中，正方形ABGH即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在▱ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DB⟂AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN.(1)证明：四边形AMDN是菱形；(2)若∠DAB=45°，判断四边形AMDN的形状，并说明理由.【答案】(1)见解析(2)正方形，理由见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得DC∥AB，可得∠DAM＝∠NDA，可证△NED≌△MEA，可得AM＝ND，可证四边形AMDN是平行四边形，由直角三角形的性质可得AM＝MD，可得四边形AMDN是菱形；（2）由菱形的性质可得∠DAB＝∠ADM＝45°，可得AM⊥DM，则四边形AMDN是正方形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB∴∠DAM＝∠NDA，且DE＝AE，∠NED＝∠AEM∴△NED≌△MEA（ASA）∴AM＝ND，且CD∥AB∴四边形AMDN是平行四边形又BD⊥AD，M为AB的中点，∴在Rt△ABD中，AM＝DM＝MB∴四边形AMDN是菱形(2)正方形，理由如下：∵四边形AMDN是菱形∴AM＝DM∴∠DAB＝∠ADM＝45°，∴∠AMD＝90°∴菱形AMDN是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．11．如图所示，正方形ABCD中，AC，BD交于点O．BD＝10，点E，F是BD上的两点，BE＝DF＝2．求四边形AECF的周长．【答案】4【解析】【分析】由对角线互相垂直平分的四边形是菱形，AO＝CO，EO＝FO，AC⊥EF，进而利用勾股定理和菱形的周长即可解答．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，∵BD＝10，BE＝DF＝2，∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5，∴CE＝，∴菱形AECF的周长为4．【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定以及勾股定理的应用，本题中证明AC与EF互相垂直平分是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．（1）求证：FH＝ED；（2）若AB＝3，AD＝5，当AE＝1时，求∠FAD的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠FAD＝45°【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；（2）根据矩形的性质得到CD=AB=3，求得DE=4，根据全等三角形的性质得到FH=DE=4，EH=CD=3，得到AH=FH，根据等腰直角三角形的性质得到结论．（1）证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE=EF，∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，∴∠FEH=∠DCE，在△FEH和△ECD中，，∴△FEH≌△ECD（AAS），∴FH=ED；（2）解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，∴CD=AB=3，∵AE=1，∴DE=4，∵△FEH≌△ECD，∴FH=DE=4，EH=CD=3，∴AH=4，∴AH=FH，∵∠FHE=90°，∴∠FAD=45°．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交CD于点F，交AE于点O，且BF⊥AE．(1)求证：BF＝AE；(2)连接OD，猜想OD与AB的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)OD=AB，理由见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，从而得到△ABE≌△BCF，即可求证；（2）延长AD交射线BM于点G，根据△ABE≌△BCF，可得BE=CF，从而得到CF=DF，再由AD∥BC，进而得到∠DGF=∠CBF，可证得△DGF≌△CBF，从而得到DG=BC，进而得到OD为△AOG的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解．(1)证明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BF⊥AE，∴∠EOB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE；(2)解：OD=AB，理由如下：如图，延长AD交射线BM于点G，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵E是BC的中点，∴，∴CF=DF，∵AD∥BC，∴∠DGF=∠CBF，在△DGF和△CBF中，∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，∴△DGF≌△CBF，∴DG=BC，∴DG=AD，即OD为△AOG的中线，∵BF⊥AE，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）73°．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及各角之间的关系可得：，由全等三角形的判定定理可得，再根据其性质即可得证；（2）根据垂直及等腰三角形的性质可得，再由三角形的外角的性质可得，由此计算即可．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，∵，∴，∵°，，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵BE⊥BF，∴，又∵，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，∴，∴．∴的值为．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，理解题意，熟练运用各个定理性质是解题关键．15．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，，M关于直线AF对称．（1）求证：B，M关于AE对称；（2）若的平分线交AE的延长线于G，求证：．【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知可证，，即可得证；（2）由上述结论可得，再证△AFG为等腰直角三角形．解：连结AM，DM，BM，∵D、M关于直线AF对称，∴AF垂直平分DM，∴AD=AM，FD=FM，∴△DAF≌△MAF，∴∠AMF=∠ADF=∠AME=∠ABE=90°，AM=AB，AE=AE，∴△BAE≌△MAE，∴EM=EB，∴AE垂直平分BM，∴B、M关于AE对称；（2）由（1）知△BAE≌△MAE，∴AE平分∠BEF，∴∠EAF=∠BAD=45°，又AF平分∠DFE，FG平分∠EFC，∴∠AFG=90°．∴△AFG为等腰直角三角形，∴．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关45°角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解．16．如图，在中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形，见解析．【解析】【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再证，可得；（2）先证四边形是平行四边形，再证，，根据正方形的判定可得出结论．证明：（1）∵，∴，，∴四边形是平行四边形∴∵点是的中点，∴∴在与中，∴∴（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形∵，∴∵，∴四边形是平行四边形∵是等腰直角三角形，点是的中点∴，∴四边形是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定、平行四边形的判定与性质，能找到边与边之间的关系是解题的关键．17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．(1)的大小＝______°；(2)求证：≌；(3)若，则的大小＝______°．【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65【解析】【分析】（1）由正方形的性质求解即可；（2）由正方形ABCD可知，，，进而可证≌（SAS）；（3）由≌可知，由三角形外角的性质可知，计算求解即可．(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴，故答案为45．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形∴，在和中∵∴≌（SAS）．(3)解：∵≌∴∵∴故答案为65．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用．18．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，得AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，利用SAS可证得△ABP≌△CBP即可证明PC＝PE．（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，从而得∠DAP＝∠DCP，再由PA＝PE即可证出∠DCP＝∠E，进而可证出∠CPE＝∠EDF＝90°．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE，（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19．正方形的边长为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动．交于点，于点，的平分线分别交，于点，，连接，．设点的运动时间为．（1）在点的运动过程中，与有什么数量关系？请证明你的结论；（2）当把正方形的面积分成两部分时，请直接写出的值．【答案】（1），证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明△FAD≌△FCD得到，由正方形的性质及角平分线的性质可以得到，即可得到答案；（2）连接AC，根据把正方形的面积分成两部分，可以得到，再根据，，即可得，从而得到，即可求解.解：（1）．证明如下：∵四边形是正方形，∴BD是∠ADC的角平分线，=45°，AD=CD，又∵DF=DF，∴△FAD≌△FCD（SAS），∴∵，90°∵平分，45°∵，．（2）连接AC，∵把正方形的面积分成两部分，∴，∵，，∴∴，∵BC=4，，.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．如图，已知四边形是正方形，点、分别在、上，与相交于点，且．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果正方形的边长为5，，点为的中点，连接．求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，再由，即可证明；（2）由（1）得，从而，即可求证；（3）由（2）和点为的中点，得点为的中点，然后在中，利用勾股定理求出，即可求解．解：（1）证明：∵四边形为正方形，∴，，在和中，，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵，点为的中点，∴，∵，，∵正方形的边长为5，∴，在中，，根据勾股定理，得，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线等于斜边长的一半是解题的关键．21．如图，正方形中，是对角线上一点，，垂足为，，垂足为.求证：(1)；(2).【答案】(1)证明过程见详解(2)证明过程见详解【解析】【分析】（1）连接PC，先证明△ABP≌△CBP，再证明四边形ECFP是矩形即可求证；（2）延长EP交AD于H点，延长AP交EF于点G，证明Rt△AHP≌Rt△EPF（HL）即可求证．(1)证明：连接PC，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，BD平分∠ABC，∠DCB=90°，∴∠ABP=∠CBP=45°，∵BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴AP=PC，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠DCB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴AP=EF；(2)证明：延长EP交AD于H点，延长AP交EF于点G，∵四边形ABCD是正方形，PE⊥BC，∴EH⊥AD，∠PEB=90°=∠AHP，∴四边形ABEH是矩形，∴AH=BE，∵∠CBP=45°，∴∠BPE=45°，∴PE=BE=AH，∵四边形PECF是矩形，∴∠EPF=90°=∠AHP，∵AP=EF，∴Rt△AHP≌Rt△EPF（HL），∴∠HAP=∠PEF，∵在Rt△AHP中，∠HAP+∠APH=90°，∠APH=∠EPG，∴∠HAP+∠APH=∠PEF+∠EPG=90°，∴∠PGE=90°，即AP⊥EF．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt△AHP≌Rt△EPF（HL）是解答本题的关键．22．如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是正方形；(3)若四边形的面积为10，，求点之间的距离．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5【解析】【分析】（1）证明即可得出结论；（2）证明，得，即可得出结论；（3）由正方形的面积为10，得出，再由勾股定理求出KE=3，即可由勾股定理求得AE长．(1)证明：∵四边形和都是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)证明：∵，∴．∴，由（1）同理可得：，∴，∴四边形是正方形；(3)解：∵四边形的面积为10，又由（2）知四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故点之间的距离为5．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．23．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．(1)求证：AE=BF；(2)若AB=8，BG=6，求EF的长；(3)如图2，连接DF、CE，探究线段DF与CE的数量关系和位置关系并证明．【答案】(1)见解析(2)EF＝1.6(3)DF＝CE且DF⊥CE．证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，证明即可．（2）利用勾股定理，三角形面积公式计算即可．（3）利用正方形的性质，证明，即可．(1)证明：∵DE⊥AG于点E，且交AG于点F，∴BF⊥AG于点F，∴∠AED＝∠BFA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD且∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAF＋∠EAD＝90°，∵∠EAD＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在和中，，∴（AAS）．∴AE＝BF．(2)∵AB＝8，BG＝6，∠ABG＝90°，∴，∵∠BFA＝90°，∴，即，∴BF＝4.8，在中，，∵AE＝BF，∴EF＝AF－AE＝AF－BF＝6.4－4.8＝1.6．(3)DF＝CE且DF⊥CE．理由如下：∵∠EAD＋∠ADE＝90°，∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°，∴∠EAD＝∠EDC．∵，∴AF＝DE．在和中，，∴（SAS）．∴DF＝CE且∠ADF＝∠DCE，∵∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝90°，∠DCE＋∠CDF＝90°，∴DF⊥CE，∴DF＝CE且DF⊥CE．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形的全等是解题的关键．24．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AB的延长线上，且PC＝PE．(1)求证：PA＝PE；(2)求证：AE＝DP；(3)若已知正方形的边长为2，求CP+BP的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）根据ASA证明△ADP≌△CDP，推出AP=CP即可得到结论；（2）过点P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，设PG=x，证明四边形AHPG是矩形，得到AE=2AH=2x，由∠GDP=45°，∠DGP=90°得到DP=PG=x，进而得到结论；（3）把BD绕点B逆时针旋转30°，交AD于G，过点P作PH⊥BG于H，连接AC，交BD于O，根据含30°角的直角三角形的性质可得PH=PB，可得CH为CP+BP的最小值，根据正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求出OC、OP、PC、PB和PH的长，即可得答案．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∵DP=DP，∴△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∵PC=PE，∴PA=PE．(2)过点P作OG⊥AD于G，PH⊥AB于H，设PG=x，∵∠GAH=∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AHPG是矩形，∴AH=PG=x，∵PA=PE，∴AE=2AH=2x，∵∠GDP=45°，∠DGP=90°∴DP=PG=x，∴AE＝DP；(3)如图，把BD绕点B逆时针旋转30°，交AD于G，过点P作PH⊥BG于H，连接AC，交BD于O，∵∠PBH=30°，∴PH=PB，∴当C、P、H三点共线时PC+PB有最小值CH，∵正方形的边长为2，∴OC=OB=，∵∠PBH+∠BPH=90°，∠OCP+∠OPC=90°，∠OPC=∠BPH，∴∠OCP=∠PBH=30°，∴OP=CP，在Rt△OPC中，PC2=OP2+OC2，即4OP2=OP2+2，∴OP=（负值舍去），∴，∴，，∴CH=CP+PH=+=，∴CP+BP最小值为．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．25．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H．(1)求证：BH⊥DE；(2)若正方形ABCD的边长为2，当点H为DE中点时，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)-2【解析】【分析】（1）证明△BCG≌△DCE（SAS），推出∠GBC=∠EDC，根据三角形的内角和证得180°-∠BGC-∠GBC=180°-∠EDC-∠DGH，得到∠DHG=∠BCG=90°，即可得到结论；（2）连接BD，证出BH为线段DE的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出BE=BD，勾股定理求出BD，求出CE即可．(1)证明：∵四边形ABCD、四边形GCEF都是正方形，∴BC=CD，GC=CE，∠BCG=∠DCE=90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC=∠EDC，∵∠BGC=∠DGH，∴180°-∠BGC-∠GBC=180°-∠EDC-∠DGH，∴∠DHG=∠BCG=90°，即BH⊥DE；(2)解：连接BD，∵点H为DE的中点，BH⊥DE，∴BH为线段DE的垂直平分线，∴BE=BD，∵BC=CD=2，∴，∴BE=BD=，∵CE=BE-BC=-2，∴CG=CE=-2．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理，正确理解正方形的性质是解题的关键．26．正方形ABCD中，E为AB边上的任意一点，DFDE交BC边的延长线于点F，(1)如图1，求证：DEDF；(2)如图2，若直线PQDE分别交AD、BC边于P、Q，求证：EQPDPQ【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）证明△DAE≌△DCF即可完成求证；（2）利用平行四边形的性质和勾股定理进行相应线段之间的转化，再利用两点之间线段最短即可完成求证．(1)解：∵DFDE，∴∠EDF=90°，又因为正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵∠A=∠DCF=90°，∴△DAE≌△DCF（ASA），∴DE=DF；(2)∵PQDE，∴PQ∥DF，∵PD∥QF，∴四边形PQFD是平行四边形，∴PD=QF，PQ=DF，∴EQPD=EQ+QF，连接EF，由（1）知DE=DF，∴，∵（当E、Q、F三点共线时取“=”号），∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短等内容，解题关键是正确进行线段之间的转化．27．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．【答案】(1)见解析(2)24(3)【解析】【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积列等式，或者用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形面积列出等式；（2）设，则三角形三边长分别为3、3+x、6-x，根据勾股定理列出等式求出x，再用总面积等于四个三角形面积计算即可；（3）设四边形MTKN的面积设为x，一个三角形的面积设为y，则正方形ABCD面积为8x+y，根据进行计算可得，即为的值．(1)法一：，另一方面，，即，则．法二：另一方面，∴整理得：(2)，设，依题意有解得．故该飞镖状图案的面积是24．(3)将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形和正方形面积的应用，熟练掌握三角形和面积的计算方法是解题关键．28．已知正方形ABCD．点E在AB上，点G在AD．点F在射线BC上，点H在CD上．(1)如图1．，求证：；(2)如图2，，P为EF中点，求证：；(3)如图3，EH交FG于O，，若，，则线段EH的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）过点A作AM∥FG交BC于点M，由矩形性质可证得四边形AGFM是平行四边形，由MF=AG；由条件中垂直关系及矩形性质，易证△DAE≌△ABM，可得AE=BM，则可得结论成立；（2）取CF=NC，连接EN，则可得EN∥PC，则EN=2PC，NC=CF；其次易得△DAE≌△DCF，则易得BE=BN，从而由勾股定理易得结论；（3）作BM∥FG交AD于M，作BN∥EH交CD于N，则易得四边形BFGM、四边形BEHN为平行四边形，则AM=2，BN=EH；延长NC到P，使CP=AM=2，则可证明△BAM≌△BCP，∠ABM=∠CBP，∠MBN=∠PBN=45°，再证明△BMN≌△BPN，得MN=PN；设CN=x，则在Rt△DMN中，由勾股定理得关于x的方程，解方程可求得x，在Rt△BCN中，由勾股定理可求得BN的长，即EH的长．(1)过点A作AM∥FG交BC于点M，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠ABM=90°，AD∥BC，AD=AB．∵AM∥FG，∴四边形AGFM是平行四边形，∴MF=AG．∵AM∥FG，FG⊥DE，∴AM⊥DE，∴∠DAM+∠ADE=90°．∵∠DAM+∠BAM=90°，∴∠ADE=∠BAM．在△DAE与△ABM中，∴△DAE≌△ABM，∴AE=BM．∴BF=BM+MF=AE+AG．(2)取CF=NC，连接EN，如图2．则CP是△FEN的中位线，∴EN∥PC，EN=2PC．∵DE⊥DF，AD⊥CD，∴∠ADE=∠CDF，∵AD=CD，∠A=∠DCF=90°，∴△DAE≌△DCF．∴AE=CF．∴AE=NC．∵AB=BC，∴BE=BN．∵∠B=90°，∴由勾股定理得，∴，∴．(3)如图3，作BM∥FG交AD于M，作BN∥EH交CD于N．由正方形性质得：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形BFGM、四边形BEHN为平行四边形，∴GM=BF=GD=1，BN=EH，∴DM=DG+GM=2，AM=2，即M为AD的中点．延长NC到P，使CP=AM=2，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，∴△BAM≌△BCP，∴∠ABM=∠CBP，BM=BP．∵∠GOH=45°，BM∥FG，BN∥EH，∴∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，∴∠PBN=∠CBN+∠CBP=∠CBN+∠ABM=45°即∠MBN=∠PBN=45°，∵BM=BP，BN=BN，∴△BMN≌△BPN，∴MN=PN；设CN=x，则MN=PN=CN+CP=x+2，DN=CD-CN=4-x，在Rt△DMN中，由勾股定理得：，解得：．在Rt△BCN中，由勾股定理得，∴．【点睛】本题是四边形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，涉及方程思想，灵活运用这些知识是解答本题的关键，根据题目特点构造适当辅助线是本题的难点．29．如图，正方形，点E，F是对角线上的两点，，连接，，和关于直线对称．点G在上，连接．(1)求的度数；(2)如备用图，延长交于点H．连接①求证：四边形是菱形；②求的值．【答案】(1)(2)①见解析；②【解析】【分析】（1）设对角线的交点为O，根据可得出，再根据和关于直线对称，可知，从而可得