新九年级数学暑假同步课 第08讲 解一元二次方程-直接开平方法与配方法（原卷版）（北师大版）

第08讲解一元二次方程-直接开平方法与配方法一、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．例1．一元二次方程的解为（）A． B． C． D．例2．关于的方程能直接开平方求解的条件是（）A． B．C．为任意数 D．为任意数且例3．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8例4．对于方程，下列叙述正确的是（）A．不论c为何值，方程均有实数根B．方程的根是C．当时，方程可化为或D．当时，例5．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（）A． B．C． D．例6．用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（）A． B． C． D．例7．对于方程，下列各配方式中，正确的是（）A． B．C． D．例8．用配方法解方程，则方程可变形为（）A． B． C． D．例9．已知a、b、c为的三边长，且a、b满足，c为奇数，则的周长为______．例10．当______，_______时，多项式有最小值，这个最小值是_____．例11．对于有理数，定义的含义为：当时，；当时，.若，则的值等于____．例12．设实数，，满足，则的最大值为__________．一、单选题1．一元二次方程的解为（

）A． B． C． D．2．关于x的方程（其中）的解为（

）A． B． C． D．3．用直接开平方的方法解方程，做法正确的是（

）A． B．C． D．4．关于x的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是（

）A． B． C． D．5．关于的方程能直接开平方求解的条件是（

）A．， B．，C．为任意数或 D．为任意数且6．对于方程，下列叙述正确的是（

）A．不论c为何值，方程均有实数根B．方程的根是C．当时，方程可化为或D．当时，7．用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（

）A． B． C． D．8．用配方法解方程，则方程可变形为（

）A． B． C． D．9．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④10．关于的一元二次方程的两根应为（

）A． B．， C． D．11．设一元二次方程（）（）=m（m＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（

）A．-1＜α＜β＜3 B．α＜-1且β＞3C．α＜-1＜β＜3 D．-1＜α＜3＜β12．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（）A．0 B．1 C．3 D．不确定二、填空题13．方程的根是_______．14．方程（x-1）2=20202的根是________．15．方程的解为________.16．已知，整式的值是__________．17．已知,那么_____.18．将配方成的形式，则__________．19．方程的根是___________．20．已知a、b、c满足，，，则_______．21．已知，则的值等于______．22．设实数，，满足，则的最大值为__________．三、解答题23．用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．24．用配方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．25．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．26．如果x2－4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．27．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是45，a是多少？28．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）29．观察下列方程及其解的特征：（1）的解为；（2）的解为，；（3）的解为，；解答下列问题：请猜想：方程的解为________；请猜想：关于的方程________的解为，；下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性．解：原方程可化为．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）30．先阅读下面的内容，再解决问题例题：若m+2mn+2n-6n+9=0，求m和n的值．解：∵m+2mn+2n-6n+9=0∴m+2mn+n+n-6n+9=0∴(m+n)+(n-3)=0∴m+n=0，n-3=0∴m=-3，n=3问题（1）若x+2y-2xy-4y+4=0，求x的值（2）已知a，b，c是