第15讲 重难点专项突破03动点在四边形中的分类讨论（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

重难点专项突破03动点在四边形中的分类讨论【知识梳理】动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想。四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。【考点剖析】1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．AABDCPQMN2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；【过关检测】一、解答题1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．

(1)_____，____；（用含的式子表示）(2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由；(3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由．2．如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．

(1)为何值时，四边形为矩形？(2)为何值时，四边形为平行四边形？3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动．

(1)当为何值时，四边形是矩形？(2)当为何值时，？(3)当为何值时，？4．在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts．(1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由；(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．5．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．(1)求证：；(2)填空：当秒时，四边形是矩形．(3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形的面积；如果不能，说明理由．6．如图所示，在直角梯形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.(1)设的面积为S，S＝__（用含t的式子表示S）；(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)分别求出当t为何值时，①；②．7．如图，中，，，，过点作的平行线，与过且垂直于的直线交于点，一个动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作，交折线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，设点的运动时间为秒．(1)当点恰好落在上时，此时的值为______；(2)若与重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形与四边形重叠部分的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)如图，在点开始运动时，上另一点同时从点出发，以每秒个单位长度沿方向运动，当到达点时停止运动，同时点也停止运动，过作交射线于点，以为斜边向左作等腰直角三角形，若点运动到秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一直线上，请直接写出的值．8．如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒．(1)______，______．（用含t的代数式表示）(2)当四边形为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．

(1)分别求和的长度；(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．10．已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，，，，点为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)求点的坐标．(2)动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围．(3)在(2)的条件下，在点运动过程中，在平面内取一点，使、、、四个点组成的四边形为菱形，请求出满足条件的值及点坐标．11．如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不