第20讲 相似多边形（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第20讲相似多边形1.相似多边形的有关概念.2.掌握相似三角形的性质.一、相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点1：相似图形的判断例1．下面一定相似的一组图形为（

）A．两个等腰三角形B．两个矩形 C．两个等边三角形 D．两个菱形．【答案】C【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】解：A.两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；C.两个等边三角形一定相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．例2．下列说法中，不正确的是（

）A．等边三角形都相似 B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似 D．正八边形都相似【答案】C【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．【解析】解：A、所有的等边三角形的角都为，都相似，不符合题意；B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；D、正八边形都相似，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．例3．下列说法正确的是（

）A．菱形都是相似图形 B．各边对应成比例的多边形是相似多边形C．等边三角形都是相似三角形 D．矩形都是相似图形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可．【解析】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑．例4．下列说法正确的有（

）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.考点2：相似多边形的性质及对应性例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．【答案】相等比例相似多边形相似比相等成比例【解析】略例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（

）A．120° B．87° C．75° D．60°【答案】B【分析】根据相似多边形的性质，可得，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【解析】解：如图，∵两个四边形相似，∴，∵两个四边形相似，且四边形的内角和等于360°，∴．故选：B【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键．例7．图中的两个四边形相似，则______．【答案】63【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可．【解析】解：∵两个四边形相似，∴，∴，∴，故答案为：63．【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．例8．与是两个相似三角形，，，，则的度数可以是______．【答案】或【分析】根据相似三角形对应角相等，分情况讨论解答即可．【解析】易得∠C=60°，与∠D是对应角.则①当∠E与∠A是对应角时，∵∠A=50°，∴∠E=50°，②当∠E与∠B是对应角时，∵∠B=70°，∴∠E=70°，综上，∠E的度数为50°或70°，故答案为或.【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角不确定的时候需要分类讨论.例9．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（

）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4【答案】B【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形和五边形的周长之比是3：2，故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．考点3：相似多边形性质的应用例10．装裱一幅宽长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的部分的上下的宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则__________．【答案】10【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【解析】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴，解得：．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．例11．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？【答案】【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．【解析】解：根据题意可知，．由，得，即．∴．开平方，得（舍去）．【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．例12．如图所示，矩形ABCD的长AD为20cm，宽AB为12cm，在它的内部有一个矩形EFGH（EH＞EF），设AD与EH之间的距离、BC与FG之间的距离都为acm，AB与EF之间的距离、DC与HG之间的距离都为bcm．当a，b满足（）时，矩形ABCD∽矩形EFGH．A．a＝b B．ab C．ab D．ab【答案】D【分析】根据相似图形的性质对应边成比例进行求解即可．【解析】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴即化简得：，故选：D．【点睛】题目主要考查相似图形的性质，理解相似图形的性质是解题关键．考点4：相似多边形性质的动态问题例13．如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论．【解析】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为，宽为，∵小长方形与原长方形相似，故选B．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键．例14．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；（2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．【解析】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；（2）存在．∵OE=，所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=，∴8h=4×4，解得h=2，∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，S最大=，S最小=．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．例15．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为__________．【答案】．【分析】先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．【解析】解：、、、、、分别是和各边中点，正六角星形正六角星形且相似比为，正六角星形的面积为1，正六角星形的面积为，同理可得，第二个六角形的面积为：，第三个六角形的面积为：，第四个六角形的面积为：．故答案是：．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．一、单选题1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于(

)．A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换【答案】B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元【答案】C【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解析】3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2016·山西·中考真题）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．【解析】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D．【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．二、填空题4．（2021·江苏无锡·统考中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．①所有的正方形都相似②所有的菱形都相似③边长相等的两个菱形都相似④对角线相等的两个矩形都相似【答案】1【分析】根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．【解析】解：所有的正方形都相似，所以①正确；所有的菱形不一定相似，所以②错误；边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；故答案是：1．【点睛】本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．5．（2019·四川内江·统考中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．【答案】．【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答【解析】设，则，，∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，即，，∵，，∴，，∴，故答案为．【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形一、单选题1．下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形 B．两个顶角相等的等腰三角形C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形【答案】D【分析】利用“两个角分别对应相等的两个三角形相似”逐一分析A，B，C选项，利用“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例”判定D，从而可得答案.【解析】解：两个等边三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等边三角形相似；故A不符合题意；两个顶角相等的等腰三角形，则两个等腰三角形的底角也相等，满足两个角分别对应相等，所以两个顶角相等的等腰三角形相似，故B不符合题意；两个等腰直角三角形满足：两个角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C不符合题意；两个矩形满足：四个角分别对应相等，但是不一定满足四条边对应成比例，所以两个矩形不一定相似，故D符合题意，故选：D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，相似四边形的判定，掌握三角形相似的判定方法与四边形相似的判定方法是解题的关键.2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为，，那么它们的相似比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【解析】两个相似多边形一组对应边的长分别为，，∴它们的相似比为：．故选A．【点睛】本题主要考查了利用相似多边形的性质求相似比，准确计算是解题的关键．3．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设它的最大边长为，根据相似图形的性质求解即可得到答案【解析】解：设它的最大边长为，∵两个四边形相似，∴，解得，即该四边形的最大边长为．故选C．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．4．已知矩形中，，下列四个矩形中与矩形相似的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．【解析】解：∵，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；∵，∴B选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；∵，∴C选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误；∵，∴D选项中的矩形与矩形ABCD不相似，该选项错误．故选A．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．5．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（

）米．A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82【答案】A【分析】设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，确定BC的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【解析】如图，设整个车身长为AB，点C表示倒车镜位置，根据题意，AC=1.58米,∴BC=1.58÷0.618=2.56米，故车长为1.58+2.56=4.14米，故选:A．【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．6．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）：A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，可判定与的相似比为m，则与的相似比为其倒数，所以两者积为1.【解析】解：∵与的相似比为m，∴与的相似比为，即，∴故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.7．如图，在矩形中，，分别为，与的中点，且矩形矩形，的值为（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得.【解析】矩形矩形，，设，，则，，故，即，则，则.故选：.【点睛】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键.8．在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（

）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】C【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．【解析】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．所以甲对，乙不对，故选：C．【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．9．书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于acm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（）A．4 B．6 C．12 D．24【答案】C【分析】由，推出，由此构建方程即可解决问题.【解析】由题意解得故选：C.【点睛】本题考查了图形的相似性质，根据相似的性质得出关于a的等式是解题关键.10．如图，矩形的四个顶点分别在菱形的四条边上，．将，分别沿边，折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形面积的时，则为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性质得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，得出方程4x-y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出结论．【解析】解：设重叠的菱形边长为x，BE=BF=y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF是菱形，∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的，且两个菱形相似，∴AB=4MN=4x，∴AE=AB-BE=4x-y，∴4x-y=x+y，解得：x=y，∴AE=y，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、相似多边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键，学会利用参数解决问题．二、填空题11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字，，，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．【解析】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图形，故正确；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们形状不同，故错误；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，属于不唯一确定图形，故错误．∴正确的是①，错误的是②③．【点睛】本题考查相似形的定义，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．12．如图，四边形和四边形相似，已知，，，，，，则______，______．【答案】【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案.【解析】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴∠A1=∠A=120°，∠B1=∠B=85°，∠C1=∠C=75°，∴∠D1=360°-∠A-∠B-∠C=80°，，解得故答案为80°，.【点睛】本题考查相似多边形的性质，找准对应角与对应边是关键.13．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是________.【答案】12【分析】先求出已知四边形的相似比，再列式求解即可．【解析】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，则6：x=1：2，解得：x=12．即后一个四边形的最长边的长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．14．蛋糕店制作两种高度相同的圆柱形蛋糕，一种半径是15cm，一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕能够2个人吃，半径是30cm的蛋糕能够_________个人吃.【答案】8【分析】由于高相同，所以根据底面积相同列比例式求解即可.【解析】解：设半径是30cm的蛋糕能够x个人吃.∵半径为15cm的蛋糕的底面积为225π，半径为30cm的底面积为900π，∴225π:2=900π：x，∴x=8，故答案为8．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．15．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝_____．【答案】1+【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.【解析】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．又∵AB=2，∴AF=AB=EF=2．设AD=x，则FD=x－2．∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即解得，（负值舍去）．经检验是原方程的解．∴AD.故答案为【点睛】此题重点考查学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.16．如图，在矩形ABCD中，截去一个正方形ABFE后，使剩下的矩形对折后与原矩形相似，那么原矩形中AD：AB=_________．【答案】或2【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．【解析】∵ABFE是正方形，∴AB=EF=AE，∵矩形GFCH和矩形EGHD全等，∴EG=DH=GF=HC，设ED=，EG=，∴AD=，AB=，∵矩形ABCD和矩形EGHD相似，∴或，①当时，∴，解得：，∴AD：AB=，②当时，，解得：，∴AD：AB=，故答案为：2或．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．17．甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是________米．【答案】【解析】试题分析：由图可得四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，此式可分解因式为（a+b）（a+c），据此可得解．解：由题意得，四块土地的面积为a2+bc+ac+ab，∴所换的土地的面积=a2+bc+ac+ab=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c），∵这块地的宽为a+c米，∴这块地的长为a+b．故答案为a+b．考点：相似多边形的性质．点评：此题主要考查分解因式的应用，读懂题意，列出代数式是关键．18．如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为________________．【答案】【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC的长，找到相似比和规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，AC===，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为因为矩形都相似，且每相邻两个矩形的相似比=，∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，∵矩形ABCD的面积=2×1=2，∴矩形AB1C1C的面积即规律为：=2×1=2，=，===，．．．，==．．．===．故答案为．【点睛】本题考查了作图-相似变换，矩形的性质，勾股定理，解此题的关键是能根据相似多边形的性质求出的结果、得出规律．三、解答题19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？【答案】d与（1）相似，e与（2）相似【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案．【解析】解：d与（1）相似，e与（2）相似理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似；图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；故答案是：d与（1）相似，e与（2）相似．【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点．20．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【解析】∵两个四边形相似，∴20：5=x：6=y：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴α==75°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键．21．如图，矩形矩形，它们的相似比是2∶3，已知，求，的长．【答案】．【分析】根据相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可．【解析】解：矩形矩形，它们的相似比是，，，，，解得：．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例．22．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应．(1)已知，，，求的度数；(2)已知，，，，，求四边形的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可；（2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可．【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似，∴，∴；（2）解：∵四边形与四边形相似，∴，∴，∴，，∴四边形的周长【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．23．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值．【答案】，，，，，【分析】根据相似形对应角相等，对应边成比例，列式计算即可．【解析】解：∵四边形相似于四边形∴，，，，∴，，，，，又∵∴综上，，，，，，．【点睛】本题考查了四边形内角和，相似形的性质，熟练应用相似形的性质是解决本题的关键．24．如图，四边形∽四边形(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；(2)分别求边BC与边的长度．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案；（2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案．【解析】（1）解：∵四边形∽四边形，∴，，∴，相似比为：．（2）解：∵四边形∽四边形，∴，∴，．【点睛】本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边．25．如图，四边形和四边形相似，，，，，，．（1）求、的长度；（2）求、的大小；（3）若，求四边形和四边形的周长的比．【答案】（1），；（2），；（3）【分析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解；（2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解；（3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案.【解析】（1）∵四边形∽四边形，∴即，即．∴，．（2）∵四边形∽四边形，∴．∵，∴，即．（3）∵∴四边形和四边形的周长的比=．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键.26．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存