2025-2026学年辽宁省本溪市某校高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年辽宁省本溪市某校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足zi=1+3i(其中i是虚数单位)，则z的虚部是(

)A.−1 B.1 C.−i D.i2.如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为35，则cos(π2+α)的值为A.−45 B.45 C.−3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图).∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为(

)

A.14+24 B.2+4.下列说法中正确的是(

)A.平行向量不一定是共线向量

B.对于任意向量a，b，必有|a+b|≤|a|+|b|

C.单位向量都相等

D.若a，b5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3asinB=bsin(B+C)tanC，则cosC=(

)A.12 B.−12 C.6.棱长为2的正四面体的四个顶点都在一球面上，该球的半径为(

)A.32 B.62 C.7.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=42，b=6，sinC+cosC=2，则边长cA.2 B.10 C.258.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，E、F、G分别为棱AD，AB，BB1的中点，A.A1B⊥平面EFG

B.直线AM与直线EG一定是异面直线

C.若AP=2，则点P的轨迹长度为π

D.三棱锥二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.α，β，γ是三个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中错误的是(

)A.若α//β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m//n

B.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

C.若α//β，m⊂α，则m//β

D.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β10.已知a=(1,3)，bA.若a⊥b，则θ=π3 B.a⋅b的最大值为2

C.存在θ，使11.锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c−b=2bcosA，下列结论正确的是(

)A.A=2B

B.B的取值范围为(0,π4)

C.ab的取值范围为(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(4,3)，b=(1,2)，向量a，b夹角的余弦值为

．13.已知α，β∈[0,2π]，且sin(α+β)=sin(α−β)，cos(α+β)≠cos(α−β)，写出满足条件的一组α=

14.已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC=BC=2，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点A(0,3)，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且△BCD的面积为π2．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)16.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3AA1，D为AB的中点．

(1)证明：AB⊥平面CC1D；17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=ac3−2ccosB．

(1)求c；

(2)若∠ACB=60°，AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB18.(本小题17分)

如图，三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，PC⊥AC，BC=2，AB=2，PB=PC=3，E、F、G分别是BP、BA、BC的中点，点M，N分别在线段AP，AC上，PM=13PA，CN=13CA．

(1)求证：NM//平面EFG；

(2)求证：平面19.(本小题17分)

某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)，沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC中，BC=4，其外接圆O的半径为877，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点H．

(1)求sin∠HCA；

(2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TB⋅TC的最小值；

(3)

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】213.【答案】π2(π2(

14.【答案】315.【答案】f(x)=2sin(2x+π3)；

16.【答案】由正三棱柱的定义可知△ABC是等边三角形，

因为D为AB的中点，所以CD⊥AB．

又CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB．

因为CC1，CD⊂平面CC1D，且CC1∩CD=C，

17.【答案】(1)c=23

18.【答案】证明：∵E、G分别是BP、BC的中点，∴EG//PC，

∵PM=13PA，CN=13CA，∴MN/​/PC，AB/​/CD，

又EG⊂平面EFG，NM⊄平面EFG，∴MN/​/平面EFG；

证明：∵AB⊥BC，BC=2，AB=2，∴AC=AB2+BC2