安徽省安庆市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

安徽安庆市部分校2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（

）A． B．C． D．2．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A． B． C． D．3．已知等差数列，，，若，则（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20254．已知函数，则（

）A． B． C．3 D．55．在的展开式中，含的项的系数是（

）A．35 B．15 C．-35 D．-156．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（

）A． B． C． D．7．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（

）A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.48．在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论：①曲线关于轴对称；②设，在曲线上，则；③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则；④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3.其中所有正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（

）A．10 B．11 C．12 D．1310．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（

）A．若 B．若 C．若 D．若11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的离心率为2B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于三、填空题12．若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________．13．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．14．对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________.四、解答题15．已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数．16．如图，在直三棱柱中，M、P分别为，的中点，点Q在上，且.(1)求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.17．“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、.(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望.18．已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8(1)求椭圆C的方程;(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.②求面积的最大值.19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合．(1)设，求集合；(2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；(3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围．参考答案1．C【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，点关于轴对称的点的坐标为.故选：C.2．C【详解】由直线与互相垂直，可得，解得，将代入直线，得到，联立方程组，解得，交点坐标为.故选：C3．C【详解】由，，得等差数列的公差为，所以，所以，又数列的公差不为，所以数列为单调数列，所以结合，可得，故．4．A【详解】由题得，，令，因为，所以，则.5．C【详解】在的展开式中，含的项为，所以所求系数为.6．D【详解】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品，则，，，从而，可知；因此．故选：D7．A【详解】由和，得．所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，，由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为，代入，求得，故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为．将代入经验回归方程，得．故选：A.8．C【详解】设曲线上任意一点，则，故也在曲线上，故曲线关于轴对称，①正确，当时，，当时，，作出曲线的大致图象如下：取，在上取点，此时，故②错误，曲线为曲线的右侧，当时，，此时曲线为双曲线的一部分，由于双曲线的一条渐近线方程为，则渐近线到直线的距离为，当时，曲线为，此时曲线为圆的一部分，此时圆心到直线的距离为1，因为，则圆上的点到直线的最小距离为，因此；③正确，当，直线恒过点，当时，直线与曲线C只有两个交点；当时，易得该直线与曲线C在x轴上方有一个交点，当时，联立，化简得，若要满足题意，则，所以当时，该直线与曲线C在x轴下方有两个个交点，由对称性可得，当时，对于任意，直线与曲线的公共点个数为3，故④正确，故选：C9．BC【详解】由于可知是递增数列，当时，，当时，，当时，，所以，即的最小值为或，则的前项和取最小值时，或12.10．ACD【详解】依题意，向量是平面的法向量，对于A，由，得平面，而平面，则，由平面，平面，得，又平面，因此平面，又平面，则，A正确；对于B，由，得平面，而平面，则，由平面，平面，得，又平面，因此平面，又平面，则，假设，而平面，则，而不在平面内，则平面，平面平面，平面，则必有，当时，由，得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误；对于C，由，得平面，而平面，则，由平面，平面，得，又平面，因此平面，又平面，则，C正确；对于D，由，得平面，而平面，则，由平面，平面，得，又平面，因此平面，又平面，则，而平面，于是平面，又平面，则，D正确.11．ACD【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得．由于点位于第一象限，故点的坐标为，因为为等腰直角三角形，所以，即，又，则，解得（负根舍去），故A正确；B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误；C选项，设点的坐标为，则，由于在上，故有，于是，同理，故直线，，，的斜率之积为9，C正确；D选项，令得，故，所以，因为，所以双曲线的渐近线方程为，故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合，则的面积，因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确.12．【详解】当时，，所以；当时，，即；所以的取值范围是.13．/0.125【详解】由，，得，所以随机变量的数学期望，则方差当时，取到最小值，故答案为：14．【详解】函数的导函数为，故单调递增，其唯一零点为.根据亲密函数的定义，存在的零点满足，即.的零点满足.令，则，且.问题转化为求函数在上的值域.，可知在上单调递增，在上单调递减.所以h(t)故的取值范围是.15．(1)证明：由题意，数列满足，可得，可得，由，所以，所以．所以数列是首项为，公比为的等比数列；(2)99．【详解】（1）略（2）由（1）可得，所以．设数列的前项和为，则．若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为99．16．(1)取的中点R，连接PR、RQ，由P为的中点知，因为平面，平面，所以平面，由M为的中点且，知，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，平面，所以平面平面.又因平面PRQ，所以平面.(2)【详解】（1）略（2）取的中点，由知，以为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，则，，，，，，所以，由得，所以.设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为.因为平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.17．(1)(2)的分布列为：1815【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，根据题意得，，，，，；所以（2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15则，，，，所以的分布列为：1815所以.18．(1)(2)①直线AD恒过定点；②【详解】（1）由椭圆定义得，故的周长为，解得，又，解得，故，故椭圆方程为；（2）①由题意得，设直线，，则联立得，设，，则，，故，由对称性可知，则直线的斜率为，直线的方程为，由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上，令得，又，故，故直线AD恒过定点，定点坐标为；②过点作⊥轴，交于点，直线方程为，令得，故，所以，则，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的面积最大值为.19．(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）由定义得，而，，，故解得，，综上，．（2）必要性：若函数为偶函数，，则对任意的，有，对上式两边同时求导，可得：，故函数是奇函数，，若，则，即，进而有，即，故对任意，，故必要性成立；不充分性：不妨取，，