3.2 确定圆的条件 教学课件

第三章圆3.2确定圆的条件学

习

目

标12理解过一点、两点、三点作圆的规律，掌握“不在同一条直线上的三点确定一个圆.”这一重要定理．理解三角形的外接圆、外心、圆的内接三角形等概念，知道外心是三角形三边垂直平分线的交点．3掌握过不在同一直线上的三点作圆的方法，能尺规作出三角形的外接圆．问题引入

考古学家在发掘中发现了一面残缺的圆形青铜镜，如图所示．

如果给你一把直尺和一个圆规，你能想办法找到这面残缺青铜镜的圆心，并复原出它所在的圆吗？要确定一个圆，需要几个条件？新知探究画一个圆，使它经过一个已知点A，这样的圆能画多少个？A·O1·O2·O3·思考：圆心的位置可以在哪里？半径又该如何确定？在平面内任取一点，以这点为圆心，它到点A的距离为半径作圆，这样的圆能作无数个．新知探究画一个圆，使它经过两个已知点A、B，这样的圆能画多少个？思考：圆心有什么规律吗？····B·A经过两个已知点A，B画圆，圆心到点A，B的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上．无数个新知探究画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？三个已知点A、B、C的位置有几种情况？当

A、B、C三点在一条直线上时，线段AB、BC的垂直平分线

l1、l2互相平行，它们没有交点，不能画出经过A、B、C三点的圆．两种·B·A·Cl1l2A、B、C三点在一条直线上新知探究三个已知点A、B、C的位置有几种情况？当A、B、C三点不在一条直线上时，l1与l2相交于点O，因为OA＝OB＝OC，所以以点O为圆心，OA为半径可以确定一个圆，这个圆经过A、B、C三点．两种l1OABCl2画一个圆，使它经过三个已知点A、B、C，这样的圆能画多少个？A、B、C三点不在一条直线上新知归纳不在同一条直线上的三点确定一个圆.前提条件

有且只有三点确定一个圆.概念学习CABO

因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆．

外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离即为外接圆的半径.概念学习如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形．CABO辨析：三角形的外接圆有几个？圆的内接三角形又有多少？三角形的外接圆有且只有一个，但圆的内接三角形却有无数个.例题讲解例1尺规作图：如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆．作法：①

分别作AB，BC的垂直平分线l1、l2，

l1与l2的交点为O．②

以点O为圆心，OA长为半径作圆．

⊙O即为所求．l1l2AOBC新知巩固1．通过例题中的作图我们知道，当△ABC是锐角三角形时，外心

O在三角形的内部．当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，外心

O在什么位置？分别作出它们的外接圆，验证你的猜想．ABCCAB┐ABC●O●O●O新知归纳

锐角三角形的外心在三角形的内部；

直角三角形的外心在斜边的中点处，斜边即为外接圆的直径，因此外接圆半径等于斜边长度的一半；

钝角三角形的外心在三角形的外部，且位于钝角所对边的另一侧．新知巩固2．问题引入中的残缺青铜镜，你能用直尺和圆规确定它的圆心并画出它所在的圆吗？解：如图所示：(1)在圆弧上任取三点

A、B、C；(2)作线段

AC、BC的垂直平分线，其交点

O

即为圆心．⊙O即为它所在的圆．●

B●

CO●●

A新知探究任意四边形都有外接圆吗?

解：任意四边形不一定都有外接圆．理由如下：根据“不在同一条直线上的三点确定一个圆．”可知：对于任意四边形，经过它的三个顶点可以确定一个圆，但第四个顶点不一定在这个圆上．只有当四边形四个顶点都在同一个圆上时，才称该四边形有外接圆．能力提升例2如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，经过点A，B，D三点作⊙O，试说明点C在⊙O上．O

ABDC┐┐●四点共圆1．将△ABC绕它的外心

O旋转任意角度得到△DEF．

求证：点A，B，C，D，E，F在同个圆上．解：∵△ABC的外心为点O，∴

OA＝OB＝OC＝⊙O的半径．

由旋转，得

OD＝OA，OE＝OB，OF＝OC，∴OD＝OE＝OF＝⊙O的半径．∴点A，B，C，D，E，F在同个圆上．新知巩固新知巩固2．已知AB＝4，作半径为

3

的圆，使它经过

A，B两点，这样的圆能作多少个？如果半径为2呢？解：这样的圆能画2个．

如图，①

作AB的垂直平分线

l，再以点

A为圆心，3为半径作圆交

l

于

O1

和

O2；②

分别以

O1

和

O2为圆心，以3为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求．l●

A●

B●

O1●

O2