3.6 正多边形与圆（讲义）（解析版）

第三章圆3.6正多边形与圆知识点一正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等、各角相等的多边形，叫做正多边形。2.正多边形与圆的关系：①任何正多边形都有一个外接圆；②任何正多边形都有一个内切圆；③正多边形的外接圆和内切圆是同心圆。3.相关概念：①中心：正多边形外接圆（内切圆）的圆心；②半径R：外接圆半径（中心到顶点的距离）；③边心距r：内切圆半径（中心到边的距离）；④中心角：相邻两个顶点与中心连线所成的角；⑤正n边形中心角：360即学即练1．（2026·河南周口·二模）我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（

）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系．【详解】解：如图所示，∴正六边形的中心角为∠AOB=360°6=60°∴△AOB是等边三角形，∴正六边形的边长等于外接圆半径，∵外接圆半径为2，∴正六边形的边长为2．2．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上一点（点P与点D不重合），求∠CPD的度数．【答案】36°【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆，先理解题意，得∠COD=360°5=72°【详解】解：连接OC,OD,∵正五边形内接于⊙O，∴∠COD=360°∵∴∠CPD=1题型01圆内接正多边形作图题/（1）等分圆心角：360°÷边数，依次截取圆弧等分圆周；正四边形作互相垂直直径，正六边形以半径截圆等分；（2）易错：作图遗漏圆弧痕迹；角度等分不均；混淆圆内接、外切正多边形作图步骤。典｜例｜精｜析1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法，求作⊙O的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】如图，四边形ABCD即为所求，【分析】本题考查了圆的性质，正方形的判定，以及用尺规作图的方法作线段的垂直平分线，正确作图是解题的关键．先作一条直径，再作该直径的垂直平分线，将直径以及垂直平分线与圆的四个交点顺次连接即可．【详解】略变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏徐州·一模）按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程）(1)在图①中作正方形ABCD，且顶点都在圆上．(2)在图②中将圆的面积6等分．【答案】(1)如图，正方形ABCD即为所求；(2)如图所示：【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦AE，AF，分别作AE，AF的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径AC，过点O作AC的垂直平分线，与⊙O交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形ABCD即为所求作的正方形．（2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在⊙O上任意找一点A，以点A为圆心AO为半径画弧，交⊙O于点B，然后以点B为圆心AO为半径画弧，交⊙O于点C，依次找出点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，即可将圆的面积6等分．【详解】（1）略（2）略2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）作图并填空：(1)在下图中，利用尺规作图，作出已知⊙O的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）(2)若已知⊙O的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______．【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图；（2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解．【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求：作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆O的半径为半径画弧交圆O于一点，重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形；（2）如图，连接OE,OF，过点O作OD⊥EF于点D，∵OE=OF，∠EOF=60°，∴△OEF为边长为2的等边三角形，∴ED=1∴OD=O∴S∴内接正六边形的面积为6S故答案为：63【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用．题型02求正多边形边长与边数/（1）连接半径构造等腰三角形，作边心距拆分直角三角形；利用圆心角公式：中心角θ=360∘（2）易错：中心角公式记反；拆分直角三角形边角对应错误；已知边长反求边数计算失误。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则该正六边形的边长是（

A．1cm B．2cm C．2cm【答案】B【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是60°，得到等边三角形即可求解．【详解】解：连接OA,OB，∵∠AOB=360°6=60°∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=OB=2cm故选：B．2．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，BC是⊙O的内接正n边形的一边，点A在⊙O上，∠BAC=20°，则n的值为（

）A．6 B．8 C．9 D．18【答案】C【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接OB，OC，由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，再根据正n边形的边数n=360°÷中心角，即可得解．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵∠BAC=20°，∴∠BOC=2∠BAC=2×20°=40°，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，

∴n=360°÷40°=9．故选：C．变｜式｜巩｜固1．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子C60中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形ABCDEF中，连接BE，若BE=18，则正六边形ABCDEF的边长为（

A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由BE=18直接求得边长为9．【详解】解：设正六边形ABCDEF的边长为a，∵正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为60∴正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍，∵B、∴BE=2a，∵BE=18，∴2a=18，∴a=9．2．（2026·山东济宁·一模）如图，AB为弦，若∠ABC=30°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（

）A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】B【详解】解：如图，连接OA,OC，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°∵弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为36060即该正多边形为正六边形3．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心，若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】如图：连接OC、OB，根据题意求得∠AOB=40°，根据周角为【详解】解：如图：连接OC、∵点O为正多边形的中心，∠AOD=120°，∴∠AOB=1∴360°÷40°=9，∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意．题型03正多边形边心距计算/（1）依托半径、半边长、边心距构成Rt△，勾股定理求解；边心距为内切圆半径，垂直平分正多边形边长（2）易错：混淆边心距、外接圆半径；直角三角形直角边斜边代换出错。典｜例｜精｜析1．（2026·陕西西安·模拟预测）一个正多边形的一个外角与它的一个内角度数之比为1:2，若该正多边形的外接圆半径为2，则这个正多边形的边心距为________．【答案】3【分析】设该正多边形的一个外角为x，则它的一个内角为2x，根据正多边形相邻内角与外角的数量关系，再利用多边形外角和定理求出正多边形的边数为6，然后画出图形，结合外接圆半径，利用等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理即可计算边心距．【详解】解：设该正多边形的一个外角为x，则它的一个内角为2x，由邻补角的定义可得：x+2x=180°，解得x=60°，因为任意多边形的外角和为360°，所以该正多边形的边数为：n=360°∴该多边形为正六边形，如图，连接OA，OB，过O作OM⊥AB于点M，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵OM⊥AB，∴∠AOM=1∴AM=1∴OM=O∴这个正多边形的边心距为3．变｜式｜巩｜固1．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心为O，则该正六边形的边心距为______．【答案】3【分析】如图：连接OB，过O作OH⊥AB于H，易得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：如图：连接OB，过O作OH⊥AB于H，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，且正六边形的边长为2，∴OA=OB=2,∠AOB=360°∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵OH⊥AB，∴AH=1∴OH=OA22．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，已知正六边形的外接圆半径为6cm，则该正六边形的边心距OG的长为______cm【答案】3【分析】本题考查正多边形和圆和含30°的直角三角形的性质，掌握正六边形的性质是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及含30°的直角三角形的性质进行计算即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠COD=360°∵OC=OD=6cm，OG⊥CD∴∠COG=∠DOG=30°．在Rt△OCG中，OC=6cm，∴CG=12OC=3即正六边形的边心距是33故答案为：33题型04正多边形半径计算/（1）外接圆半径=顶点到圆心线段；已知边长/边心距，代入直角三角形勾股公式直接计算。（2）易错：把内切圆边心距当作外接圆半径；公式计算漏平方、开方失误。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·北京·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若△AOB的面积为43，则⊙O的半径为（

A．4 B．23 C．22 D【答案】A【分析】本题考查的知识点是正多边形与圆的综合、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握正多边形与圆的关系．作OH⊥AB交AB于点H，由正六边形ABCDEF内接于⊙O推得△AOB是等边三角形，结合三线合一定理、勾股定理即可求出⊙O的半径．【详解】解：作OH⊥AB交AB于点H，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB，∵OH⊥AB，∴AH=BH=1∴Rt△AOH中，则S△AOB解得OA=4．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（2026·北京平谷·二模）如图，面积为8的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为__________．【答案】2【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径．【详解】解：连接AC，设正方形边长为a，∵正方形ABCD面积为8，∴a2∵正方形ABCD内接于⊙O，∴正方形的对角线AC为⊙O的直径．设⊙O半径为r，AC=2r．根据勾股定理，AC∴(2r)代入a2得4r化简得r2∵半径为正数，∴r=2．2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）要用圆形铁片截出一个边长为2的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是________．【答案】2【分析】本题考查了正方形的性质．正方形的外接圆圆心是其对角线的交点，正方形的两对角线互相垂直、平分．本题的实质是求出正方形外接圆的半径，其半径就是正方形对角线的一半，据此即可求解．【详解】解：如图，四边形ABCD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，AB=2，∴AO=12AC，AB=BC=2∴△ABC是等腰直角三角形，故AC=A即AO=1∴选用的圆形铁片的半径至少是2．故答案为：2．题型05正多边形周长与面积计算/（1）周长：边长×边数；（2）面积：单个等腰三角形面积×边数，通用公式S=1典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径是2，则正六边形的周长是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】本题考查正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．连接OB、OC，根据题意证得△OBC是等边三角形，即可解答．【详解】解：连接OB、OC∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°∵OB=OC，⊙O的半径是2∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=2∴正六边形的周长是2×6=12故选B．2．（2025·湖南娄底·模拟预测）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画．如图，太极图内切于正六边形ABCDEF中，则图中黑色部分的面积与正六边形ABCDEF的面积之比是（

）A．3π12 B．312 C．3【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．设圆的圆心为O，连接OC、OD，过点O作OM⊥CD于点M，证明△OCD为等边三角形，设OC=OD=CD=a，根据勾股定理得出OM=OC2-CM2=【详解】解：设圆的圆心为O，连接OC、OD，过点O作OM⊥CD于点M，如图所示：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD=360°6=60°∴△OCD为等边三角形，设OC=OD=CD=a，∵OM⊥CD，∴CM=DM=1∴OM=O∴S⊙O∴黑色部分的面积为12∵S正六边形∴图中黑色部分的面积与正六边形ABCDEF的面积之比是：38故选：A．变｜式｜巩｜固1．（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（）．A．3π B．5π C．7π D．9π【答案】D【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据S阴影【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3，∴正方形边长为6，根据勾股定理，正方形对角线长度为：62∴正方形的外接圆半径为：62∴S内切圆=π×32∴S阴影【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键．2．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S-S1的值为（

）A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1【答案】A【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1【详解】解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S=π，∴圆的内接正十二边形的中心角为360°12过点A作AC⊥OB，如图所示：∴AC=1∴圆的内接正十二边形的面积S1∴S-S故选：A．3．（2025·青海西宁·三模）如图，若⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的周长来估计⊙O的周长，则⊙O的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留π）【答案】4π-12【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．连接OA、OB，根据等边三角形的性质求出AB，再根据【详解】解：如图，连接OA、则∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB=OA=2，∴⊙O内接正六边形的周长为：2×6=12，∴⊙O的周长与其内接正六边形的周长的差为：4π-12，故答案为：4π-12．题型06正多边形角度计算/中心角360∘n；内角(n-2)×18典｜例｜精｜析1．（2026·四川成都·二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，AD，则∠CAD的度数是（

）A．30° B．45° C．40° D．36°【答案】D【分析】根据正五边形的性质求出圆心角∠COD【详解】解：连接OC、∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=∵∠CAD与∠COD分别是∴∠CAD=故选：D．变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD上的任意一点，则∠APB的大小是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出圆心角∠AOB的度数，再利用圆周角定理即可求出∠APB的大小【详解】解：连接OA、OB，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°6∵点P是CD⏜上的任意一点，∠APB是AB∴∠APB=12．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为C6H6）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形ABCDEF【答案】60°【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于360°除以边数即可解答．【详解】解：∵点O为正六边形ABCDEF的中心，∴六边形各边所对中心角相等，∴其中心角的度数为360°÷6=60°．3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图是中国硬币史上唯一采用九边设计的流通币，若把该九边形看作是正九边形，则每条边所对外接圆的圆心角度数是____________°．【答案】40【分析】根据正n边形的中心角等于360°n本题考查了正多边形的中心角计算，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得每条边所对外接圆的圆心角度数是360°9故答案为：40．题型07正多边形与圆综合应用/（1）锁定核心直角三角形（半径、边心距、半边长）；结合圆半径、切线、圆心角考点联动求解；（2）易错：综合题不会构造基础直角三角形；内接、外切正多边形条件混用；忽略题干圆半径定值。典｜例｜精｜析1．（2026·甘肃定西·三模）根据背景素材，探索解决问题．画一个已知边长的正六边形ABCDEF背景素材六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．已知条件线段CD操作步骤①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；②以点P为圆心，PC长为半径作圆；③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取DE=④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF．C________D问题解决(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）(2)在正六边形ABCDEF中，∠ABC=_______．【答案】(1)见解析(2)120°【分析】（1）根据操作步骤作出⊙P，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出DE=EF=AF=AB=CD，即得出DE=（2）根据正多边形内角和公式求内角即可．【详解】（1）解：如图，正六边形ABCDEF即为所作；（2）解：正六边形ABCDEF的内角∠ABC=6-2变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河南安