3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第4课时）教学课件

第三章圆3.5点与圆、直线与圆的位置关系（4）学

习

目

标12掌握过圆外一点作圆两条切线的尺规作图方法，理解作图原理．理解切线长的定义，掌握切线长定理．3能运用切线长定理进行线段相等的证明与计算．知识回顾1．圆的切线的性质定理是什么？判定定理呢？性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．已知圆上一点，如何过该点作圆的切线？连接圆心与圆上点得到半径，过该点作半径的垂线就是圆的切线．问题引入1．如图，如果点

P不在圆上，而在圆外，还能用上述方法画切线吗？试一试．2．假设PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接OA、OP．∠OAP是多少度？OA点A在以OP为直径的圆上．3．点A在怎样的圆上？为什么？P新知探究过圆外一点如何作这个圆的切线？O作法：①

连接OP．②

以

OP为直径作圆，交⊙O于点A，B．AB③

连接PA，PB．PA，PB即为所求．P你能说明理由吗？O′新知探究过圆外一点如何作这个圆的切线？OABP你能说明理由吗？O′证明：连接OA，设OP的中点为O′．∵OP是⊙O′的直径，∴

∠OAP＝90°，即

OA⊥PA．又∵

OA是⊙O半径，∴

PA是⊙O切线（圆的切线判定定理），同理，PB是⊙O切线．新知探究OABP

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长（lengthofthetangent）．如右图，PA，PB是点P到⊙O的切线长．注意：切线是一条与圆相切的直线，不可度量．

切线长是切线上一段线段的长,即圆外一点与切点间的距离，可度量．讨论交流这个图形是轴对称图形吗？对称轴是哪条直线？OABP是，对称轴为

OP所在直线．OA＝OB，PA＝PB．图中有哪些相等的线段？你能给出证明过程吗？讨论交流OABP已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B．求证：PA＝PB．证明：连接

OA，OB，OP．∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∴PA⊥OA，PB⊥OB（圆的切线性质定理）．在Rt△POA和Rt△POB中，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△POA≌△POB（HL）．∴

PA＝PB．新知归纳过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等．于是，我们得到切线长定理：AOPB符号语言：∵

PA、PB分别切⊙O于A、B，∴

PA＝PB．证明：连接OD，OE．∵

AB，AC是小圆的两条切线，切点分别为D，E，∴

AD＝AE（切线长定理），

AB⊥OD，AC⊥OE．∵AB，AC是大圆的弦，∴

AB＝2AD，AC＝2AE（垂径定理）．∴

AB＝AC．例题讲解例5如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦

AB，AC分别与小圆相切于点D，E．求证：AB＝AC．ABCDEO新知探究

图中，如果连接

DE，BC，那么

DE与

BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？ABCDEO

讨论交流BPOACDE如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为

A，B，直线

OP交⊙O于点C，D，交AB于点E．根据题设条件，你能得到哪些结论？解：①

整个图形是轴对称图形，直线OP是它的对称轴；②切线的性质包含在图形中；③

连接两个切点何半径，可以得到两个等腰三角形，体现“等腰三角形三线合一”的性质；④

射线PD平分∠APB，直线PD垂直平分线段AB；⑤

体现“垂径定理”；⑥

连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角三角形及其斜边上的高.归纳总结1．图中所有的垂直关系：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP．2．图中相等的角：∠OAE＝∠OBE＝∠APE＝∠BPE，

∠AOE＝∠BOE＝∠PAE＝∠PBE．3．图中所有的相等的线段：PA＝PB，AE＝BE，OA＝OB．4．图中所有的全等三角形：△AOP≌△BOP，△AOE≌△BOE，△AEP≌△BEP．5．图中所有的等腰三角形：△ABP，△AOB．BPOACDE归纳总结●

OABP●

OABPCDE草帽形直角三角形在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形．新知巩固1．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．

已知

AB＝5，AC＝3．求

BD的长．ABCDP

●

O解：∵

AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别

为P，C，D，AC＝3，

∴

AP＝AC＝3，BD＝BP（切线长定理）．

∵

AP＋BP＝AB＝5，

∴

BD＝BP＝AB－AP＝5－3＝2．新知巩固·ABCDOEFGH证明：∵AB，BC，CD，DA与⊙O分别相切

于点E，F，G，H，∴AE＝AH，BE＝BF，CG＝CF，DG＝DH．∴AE＋BE＋CG＋DG＝AH＋BF＋CF＋DH．∴AB＋CD＝AD＋BC．2．如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H．

AB，BC，CD，DA之间有怎样的数量关系？为什么？圆外切四边形：两组对边之和相等，即

AB＋CD＝AD＋BC．能力提升

ABP●

DECO解：(1)∵

PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E．∴

PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，∴

△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝(PD＋DC)＋(PE＋EC)＝(PD＋DA)＋(PE＋EB)＝PA＋PB＝2PA．∵

PA＝10，∴

△PDE的周长＝2×10＝20．能力提升(2)连接OD、OE，若∠P＝α，求∠DOE的度数．ABP●

DECO

课堂小结3.5点与圆、直线与圆的位置关系（4）过圆外一点作圆的