3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（讲义）（原卷版）

第三章圆3.5点与圆、直线与圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系1.设圆的半径为(r)，平面内一点到圆心的距离为(d)，共三种位置关系：点在圆外：(d>r）；点在圆上：(d=r)（判定点在圆上的核心依据）；点在圆内：(d<r)2.补充结论：圆的内部是到圆心距离小于半径的点的集合；圆上是等于半径的点的集合；圆外部是大于半径的点的集合。即学即练1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角△ABC中，CD为斜边AB上的中线，以点D为圆心，以AB为直径作⊙D，则点C与⊙D的位置关系为（

）A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（

）A．0<r<6 B．0≤r≤6 C．r≤6 D．r>6知识点二直线与圆的位置关系1.设圆的半径为(r)，圆心到直线的距离（垂线段长度）为(d)，共三种位置关系：①相离：直线与圆没有公共点，满足(d>r)；②相切：直线与圆只有一个公共点，满足(d=r)，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；③相交：直线与圆有两个公共点，满足(d<r)，直线叫做圆的割线，两个公共点之间的线段为圆的弦。即学即练1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知⊙O及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果⊙O半径为3，且PO=3，那么下列对直线l的表述不正确的是（

）A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与⊙O相交C．直线l可能与⊙O相切 D．直线l可能与⊙O相离2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．83．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切，圆心O到直线AB距离等于__________．知识点三切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。判定两个必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端点②直线与半径垂直2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。核心用途：遇切线，连切点和圆心，必得直角，是几何倒角、证垂直的常用方法。3.切线两种证明方法：①有切点，连半径，证垂直：已知直线与圆有公共点时使用；②无切点，作垂直，证半径：未知公共点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。即学即练1．（2026·湖南益阳·二模）如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，连接AC,AD，且AC平分∠DAB．过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E．(1)证明：EC是⊙O的切线；(2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F，且∠DAB=70°，求∠BFC的度数．知识点四尺规作图——过圆外一点作这个圆的切线1.已知⊙0与圆外一点P，过点P作⊙0的切线。作法：①连接OP；②以OP为直径作圆，交⊙0于点A，B；③连接PA，PB，PA、PB即为所求。即学即练1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在⊙O上．请用尺规作图法，过点P作⊙O的切线l．（保留作图痕迹，不写作法）知识点五切线长定理1.切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。2.切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。即学即练1．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B．如果∠P=60°，AB=2，那么PA的长度是（）A．2 B．3 C．3 D．22．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物⊙O，如图所示，悬挂绳AB、AC分别切⊙O于点B、C，连接(1)求证：OA垂直平分BC．(2)当BC为40cm，四边形ABOC为正方形时，求⊙O的面积．（结果保留π知识点六三角形的内切圆1.尺规作图——作已知三角形的内切圆作法：①分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，CN，BM与CN的交点为O；②过点O作OD⊥BC，垂足为D；③以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，⊙O即为所求。2.三角形的内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。3.内心性质：①内心是三角形三条角平分线的交点；②内心到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径）；③内心一定在三角形内部（任意三角形均成立）。4.补充公式（常用计算）三角形面积：S=12(a+b+c)r（a、b、c为三边长，r5.外心与内心对比外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等；内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点，到三边距离相等。即学即练1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知△ABC．(1)利用直尺和圆规作出△ABC的内切圆；(2)若△ABC的周长为24，面积为24，求它的内切圆的半径．知识点七圆与圆的位置关系1.设两个圆的半径分别为R、r（R≥r），两圆圆心之间的距离（圆心距）为d。①外离：位置：两圆没有公共点，一个圆在另一个圆外部；数量关系：d>R+r；②外切：位置：两圆有唯一公共点，除切点外一圆在另一圆外部；数量关系：d=R+r；性质：两圆相切，连心线过切点；③相交：位置：两圆有两个公共点；数量关系：R-r<d<R+r；性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦；④内切：位置：两圆有唯一公共点，小圆在大圆内部；数量关系：d=R-r；性质：两圆相切，连心线过切点；⑤内含：位置：两圆无公共点，小圆完全在大圆内部（含同心圆）；数量关系：d<R-r；特殊：同心圆d=0，属于内含的特例。即学即练1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为5:2，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定2．（2025·上海嘉定·二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2=3，⊙O1的半径长是A．0<r<2 B．2<r<8 C．0<r<2或r>8 D．r>8题型01点与圆位置关系判断及计算/（1）算出点到圆心距离d，对比半径r：d<r圆内，d=r圆上，d>r圆外；（2）易错：仅凭看图估位置，不列式计算；距离公式坐标代入出错。典｜例｜精｜析1．（2026·云南保山·一模）已知⊙O的半径为7cm．若点P到圆心O的距离为10cm，则（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点P、Q与⊙O的位置关系如图所示，若OP=8，OQ=6，则⊙O的半径可能是（

A．3 B．5 C．7 D．92．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，以AB为半径作⊙A，则点C在⊙A_______．（填“外”或“内”）题型02直线与圆位置关系判断/（1）求圆心到直线垂距d，和r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交；（2）易错：误用圆心到直线上任意点线段长代替垂线段距离。典｜例｜精｜析1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是6cm，圆心到直线的距离是8cm，那么直线与圆的位置关系是（

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定变｜式｜巩｜固1．（2026·上海宝山·二模）如图，∠ABC=30°，点O为射线BC上一点，BO=8，如果⊙O是以点O为圆心，半径为3的圆，那么⊙O与直线BA的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与⊙O相切的直线是（

）．A．l1 B．l2 C．l3题型03利用直线与圆位置关系求半径/（1）先求圆心到直线垂距d，按相切r=d、相交r>d、相离r<d列式求解；（2）易错：不等号方向写反；相切时分值漏写等号。典｜例｜精｜析1．（2026·河南周口·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点C为圆心，r为半径作圆．若⊙C与斜边AB所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（

A．125 B．3 C．4 D．2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是______．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知⊙O与直线l没有公共点，若⊙O的半径为5，则圆心O到直线l的距离可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=6cm，则球的半径为（

）A．154cm B．4cm C．173．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，Rt△ABC中，以点A为圆心作⊙A，与BC，AC有交点（不经过点B，C两点），∠B=90°，∠C=30°．若AB=3，则⊙A的半径r的取值范围是________题型04圆或直线平移到两者相切的计算/（1）算出初始圆心距，平移距离=初始距离±r（外切）或|距离±r|（内切），分左右/（2）易错：只算一种相切位置，漏掉双解；平移长度加减混淆。典｜例｜精｜析1．（2025·河南濮阳·一模）如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O的半径为3cm，OP=8cm．若⊙O在BP上向点P移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为________变｜式｜巩｜固1．（2026·广东广州·二模）如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8 cm，若l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是________2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，把直线l向上平移______cm，才能使l与3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=45°，⊙P的半径为2cm，且OP=4cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，则___________秒时⊙P题型05切线判定证明题/（1）有公共点：连圆心和交点，证垂直；（2）无公共点：作圆心垂线，证垂线段长=半径。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=30°，点A在以CD为直径的⊙O上．(1)求∠ADC度数；(2)求证：AB是⊙O的切线．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，使∠BCD=∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线．(2)若∠ODC=30°，BD=3，求⊙O的半径．2．（2026·山东济南·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的⊙O交AB边于点D，点E在AC上，连接CD，DE，∠ADE=∠BCD．(1)证明：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为5，BD=3，求AC的长．题型06切线的性质与判定综合/（1）切线⊥过切点半径；判定用连半径证垂直，性质得直角后结合勾股、相似求解；（2）易错：不会主动连接切点与圆心构造直角；性质、判定定理混用。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的直线与边AD所在直线垂直于点M．(1)若CM是⊙O的切线，且∠ABC=55°．求∠ACD的度数．(2)试猜想∠CAB与∠BAD满足什么关系时，直线CM与⊙O相切？并说明理由．变｜式｜巩｜固1．（2026·安徽安庆·一模）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，D为BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，BF为⊙O的切线交AE的延长线于点F．记AE与BC的交点为H．(1)求证：∠BOE=∠CBF．(2)若H为CD的中点，⊙O的半径为4，求OD的长．2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形ABCD中AD=8，以BC为直径作半圆O，切线AE的延长线交CD于点F，E为切点，对角线BD恰好过E点．(1)求证：F为CD中点；(2)求AB的长．题型07切线长定理计算与证明/（1）圆外一点引两条切线长相等；圆心和该点连线平分夹角、垂直平分切点连线；（2）易错：多条切线时漏写多组等长线段；误把圆心连线当成切线。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，连接AB，若∠APB=60°，PA=6，则△ABP的周长为（

）A．18 B．12 C．12+33 D．2．（2026·广东汕头·一模）已知：O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．(1)如图1，求证：直线AD是⊙O的切线．小明建议：可以过点O作AD的垂线……小红建议：也可以连接EO并延长……选择其中一位同学的建议，完成证明：(2)如图2，当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．变｜式｜巩｜固1．（2026·河南鹤壁·一模）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．(1)如图①．若∠BAC=22.5°，求∠AMB的大小．(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．2．（2025·广东中山·二模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，求证：OD∥BE．3．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学，传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题．(1)如图1，在正方形ABCD中，O为对角线的交点，⊙O的半径为正方形边长的一半，求证：⊙O与AD相切；(2)如图2，在正方形ABCD中，AB=4，DN，BM，BD分别与⊙O相切于点N，M，E，且题型08三角形内切圆相关计算/（1）内切圆半径r=2SC（S面积，C周长）；直角三角形（2）易错：直角三角形内切半径公式记错；周长、面积代数值出错。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛ABC∠C=90°内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为D，E，F，已知AC=12米，BC=9米，则圆形喷泉的半径是A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙O为△ABC的内切圆，且半径为6，若△ABC的面积为186，则BC的长为（

A．10 B．82 C．92 D2．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在△ABC中，∠A=50°，⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则∠BOC的度数为（

）A．105° B．110° C．115° D．125°3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=6，BE=4．若△ABC的周长为36，则CF的长为________．题型09三角形内心的应用/（1）内心是三条角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径），可求角度、边长；（2）易错：内心和外心混淆；误以为内心到三顶点距离相等。典｜例｜精｜析1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图将△ABC沿着直线DE折叠，点A恰好与△ABC的内心I重合，若∠DIB+∠EIC=195°，则∠BAC的大小是（）A．35° B．40° C．45° D．50°变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形ABCD中∠ABC=120°，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的内心I与点O的距离为2，则菱形ABCD的面积为（

）A．12 B．83+12 C．632．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，连接BD．(1)如图1，求证：DE=DB；(2)如图2，若△ABC的边BC恰好为⊙O的直径，延长BD至点F，使得DF=BD，连接CF．求证：直线CF为⊙O的切线．题型10圆与圆的位置关系/（1）算圆心距d，两圆半径R、d>R+r外离；d=R+r外切；R-r<d<R+r相交；d=R-r内切；d<R-r内含；（2）易错：相切不分内外切，丢掉一解；大小半径相减不加大绝对值。典｜例｜精｜析1．（2025·上海青浦·二模）已知⊙O1与⊙O2有交点，圆心距O1O2=2如果⊙O1的半径A．3<r1<7 B．3≤r2<7 C．2．（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知⊙A和⊙B的直径分别为3和4，且AB=3，则两圆的位置关系是______．变｜式｜巩｜固1．（2025·上海浦东新·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（

）A．①正确②错误B．①错误②正确C．①和②都正确 D．①和②都错误2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，⊙O1与⊙O