2.4 用一元二次方程解决问题（讲义）（原卷版）

第二章一元二次方程2.4用一元二次方程解决问题知识点一用一元二次方程解决实际问题1.核心思想：用一元二次方程解决实际问题的核心思想是“建模思想”，即将实际问题转化为数学问题，通过列一元二次方程求解，再回归实际场景检验结果。2.解题关键：①合理设未知数，简化计算；②准确找到题目中的等量关系，这是列方程的核心；③检验所求根是否符合实际意义，舍去不合题意的解。3.一般步骤：①审题：仔细阅读题目，明确已知量、未知量，理清各量之间的数量关系，找出题目中的等量关系（核心步骤）；②设元：设合适的未知数（直接设元或间接设元），注明未知数的单位；直接设元：求什么设什么（适用于未知量直接关联等量关系的题目）；间接设元：当直接设元导致方程复杂时，设与所求量相关的中间量为未知数，简化列方程过程。③列方程：根据找到的等量关系，将已知量、未知量代入，列出一元二次方程（可先列出等式，再整理为一般形式）；④解方程：选择合适的方法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法）解一元二次方程，求出方程的根；⑤验根：检验方程的两个根是否符合实际场景（如长度、时间、人数、产量等不能为负数，也不能为不合理的数值），舍去不合题意的根；⑥作答：根据验根结果，回答题目所求的问题，注明单位。即学即练1．（2026·山东淄博·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（

）A．6210x-1=3x-1B．6210x-1=3x C2．（25-26九年级上·天津河西·期中）优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献．优选法中有一种方法应用了约等于0.618的黄金分割数．下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数．如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像AB分为上下两部分，要使雕像的上部AC（腰部以上）与下部BC（腰部以下）的高度比等于下部BC与全身AB的高度比．这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为AB的黄金分割点．设AB=1,BC=x，根据题意，回答下列问题：(1)填空（用含x的式子表示）：①AC可以表示为_______；②AC与BC的高度比可以表示为_______；③BC与AB的高度比可以表示为_______；(2)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数．（结果保留根号）3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．课题：游乐园收益大揭秘素材12026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张．素材2国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用．素材3由以往数据统计得出：若设游客人数为x万人，购买快速通道票的人数为y万人，这y万人平均每人购买z张快速通道票，则当x<2.5时，购买快速通道票的人可忽略不计；当x≥2.5时，有y=x-2，且z=3-1问题解决：(1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？(2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？题型01传播问题/（1）核心公式：(1+x)n=（2）x为每轮传播人数，n为传播轮数，注意区分总感染人数和新增人数；（3）求出负根直接舍去，结果取正整数。典｜例｜精｜析1．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．变｜式｜巩｜固1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人．A．10人 B．11人 C．12人 D．13人2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？题型02增长率问题/（1）连续两次变化通用公式：a1±x（2）a为初始量，b为最终量，切勿颠倒数据；（3）单次变化不用平方，仅连续两次变化套用平方公式。典｜例｜精｜析1．（2026·辽宁沈阳·一模）我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山西大同·期末）为了落实国家“乡村振兴”战略，某村大力发展特色农产品种植和销售．今年第一季度，该村通过电商平台销售特色农产品的收入为1500万元，在政府的扶持和村民的努力下，优化了物流和宣传渠道，第三季度的销售收入达到了2160万元．求该村第二、三季度的销售收入的平均增长率．2．（25-26八年级下·广西百色·期中）五色糯米饭是广西三月三的特色美食之一．它以黑、红、黄、紫、白五色得名，是三月三节日的必备佳肴，象征着吉祥如意、五谷丰登．在三月三期间，某特色美食店主打五色糯米饭，第一天卖出五色糯米饭200份，由于节日氛围浓厚，销量持续上涨，第三天卖出了242份，且第二天、第三天的销量增长率相同．(1)求该店五色糯米饭销量的日平均增长率；(2)若按照这个增长率，请你帮忙预测第四天能卖出多少份五色糯米饭．题型03与图形有关的问题/（1）道路、边框题型用平移法，拼接成规则图形，简化长宽列式；（2）阴影面积=总面积−空白面积，避免重复减、漏减重叠区域；（3）所有边长、宽度结果必须为正数，舍去零和负数解。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）李大爷准备修建一个养殖园，饲养鸡、鸭、鹅三种家禽．如图，李大爷用隔离网围成一个一边靠院墙的矩形养殖园，并且在中间增设了两道隔离网．已知矩形的边AD、BC和两道隔离网均与院墙垂直，若隔离网总长为40m，则养殖园的面积能否达到120变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图(1)若纸盒的底面积为176cm(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）为了调节学习节奏、缓解学业压力，让学生走出校园、拓展实践课堂，开展春游、研学、劳动实践．将课堂延伸至自然与社会，促进学生的身心健康发展．安徽省各地市均把首个春假定于2026年4月1日至4月3日，与清明假期连休形成6天小长假．为欢迎学生游客的到来，某景区在景点内的一块长为60米，宽为40米的长方形空地上布置了如图所示的牡丹、木绣球、郁金香、月季四种花卉的花圃（四块区域的宽相同，即AB=CD=EF），并将剩余部分修建成如图所示的宽度不一的通道（边缘宽度为a米，中间宽度为2a米）．(1)若a=1，求四块花圃的总面积；(2)为使区域能容纳更多的游客，要使通道所占面积是整个长方形空地面积的1125，求出此时边缘通道的宽（即a题型04数字问题/（1）连续数字、奇数、偶数设中间数或相邻数，简化列式；（2）两位数问题：十位数字×10+个位数字，表示真实数值；（3）数字为0-9的整数，超范围、非整数解全部舍去。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（

）A．10x-3+x=xC．10+x-3=x变｜式｜巩｜固1．（2026·江苏无锡·二模）如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为；(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．2．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：13×62=31×26=806，所以13和62是“幸福数对”．(1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由；(2)有一个两位数，十位上的数字为x+2，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为x+1，个位上的数字为x+4．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数．题型05销售利润问题/（1）核心公式：总利润=单件利润×销售数量；（2）单件利润=售价−进价，涨价减量、降价增量，对应关系不写反；（3）严格贴合题干售价、销量限制条件，筛选合规解。典｜例｜精｜析1．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？变｜式｜巩｜固1．（2026·贵州·三模）某商店用1200元购买一批新款书包进行销售．(1)当该款书包每个的进价降低5元后，商店又用900元购买了相同数量的书包，该书包原来每个的进价是多少元？(2)根据（1）中的进价，把每个书包按50元的定价销售，平均每天可售出10个．调查发现，若每个书包每降价1元，销量就增加1个．若该商店希望每天的销售利润为300元，但又能让顾客得到实惠，则每个书包的定价应为多少元？2．（2026·辽宁朝阳·二模）在CBA篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款公仔玩偶B款公仔玩偶进货价（元/件）4455销售价（元/件）5967(1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件；(2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？题型06动态几何问题/（1）设运动时间为未知数，用含参数式子表示动态线段长度；（2）依托直角三角形、面积、周长公式列方程，常结合勾股定理解题；（3）解后检验动点运动范围，超出线段长度的解直接舍去。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q到达点C时，变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=40cm，BC=30cm．点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运动，同时，点Q在边CB上，以2cm/s的速度由点C向点(1)当t=5时，求△PQC的面积．(2)当△PQC的面积为64cm2时，求(3)△PQC的面积能否达到120cm2？若能，求出2．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点(1)当t=2时，△DPQ的面积为____cm2(2)在运动过程中△DPQ的面积能否为26cm2？如果能，求出t(3)运动过程中，当△PQD恰好是直角三角形时，求t的值；题型07工程问题/（1）总工程量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数；（2）合作工作量=各队工作量之和，根据总工程量列方程；（3）工作时间、效率均为正数，舍去不合理负根。典｜例｜精｜析1．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（a>0），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．变｜式｜巩｜固1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．2．（25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等(1)求甲计划每天整理多少本图书？(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a天，求a的值．题型08行程问题/（1）依托公式：路程=速度×时间，找准变速、分段行驶的等量关系；（2）相遇、追及问题梳理路程差、路程和，精准列式；（3）速度、时间必须为正值，剔除不符合实际的解。典｜例｜精｜析1．（2026·广东茂名·二模）2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为24km/h，经过两次速度调整后，速度提升至48.4km/A．241+x2C．241+x+241+x变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/