3.2 确定圆的条件（能力提升）（解析版）

.2确定圆的条件题型一求能确定圆的个数1．已知线段AB=7，经过A、B两点且半径为5的圆有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【详解】解：如图，分别以A、B为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D，然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则⊙C和⊙D为所求．故选：C．2．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：A,B,P;A,C,P;A,D,P;B,C,P;B,D,P;C,D,P∴最多可画出圆的个数为6个．故选：D．3．已知A、B、C、DA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：∵四点不在同一直线上，∴根据题意分两种情况讨论：（1）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3个圆；（2）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆；∴确定圆的个数为1、3或4，不可能为2，故选：B．4．已知线段AB=2cm(1)画半径为1cm的圆，使它经过A，B(2)画半径为2cm的圆，使它经过A，B(3)能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A，B【答案】(1)一个；(2)两个；(3)不能【详解】（1）画半径为1cm的圆，使它经过A，B两点，AB=2cm，这样的圆能画一个，圆心是（2）画半径为2cm的圆，使它经过A，B两点，AB=2cm，这样的圆能画两个，圆心在线段AB的垂直平分线上圆心到A点的距离是（3）由于0.05<1，故不能画出半径为0.05cm的圆，使它经过A，B题型二求特殊三角形外接圆的半径1．边长为6的等边三角形的外接圆的半径为（

）A．2 B．3 C．33 D．【答案】D【详解】解：设等边△ABC边长为6，O为其外接圆圆心，连接OB，过O作OD⊥BC于点D，∵△ABC是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上，∴BD=12BC=3设外接圆半径OB=r，在Rt△BDO中，∠ODB=90°∵∠OBD=30°，∴OD=1由勾股定理得OB代入得r2整理得3rr2∵r>0，∴r=232．已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为_________．【答案】25【详解】解：如图，在ΔABC中，AB=AC=5，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=12BC=4，AD垂直平分∴AD=AB∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上，∴外接圆圆心O在射线AD上，连接OB，设外接圆半径为R，则OA=OB=R，∴OD=|3-R|，在RtΔOBD中，O∴R2解得：R=256．即外接圆的半径为3．如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=53cm能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的面积是【答案】25π【详解】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如下图所示：∵在△ABC中，∠A=60°，BC=53∴∠BOC=120°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴OD为等腰三角形OBC的角平分线和中线，∴∠BOD=1∴BD=5∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，∴∠OBD=90°-∠BOD=30°，∴OD=1由勾股定理得OB得方程OB解得OB=5cm或OB=∴圆O的面积为π×54．已知Rt△ABC，∠C=90°(1)求作一点O，使以O为圆心的圆经过A、(2)若AC为8，BC为6，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)⊙O的半径为5．【详解】（1）解：如图所示：；（2）∵Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6∴AB=A∵令⊙O的半径为r，∴r=OA=11．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的内心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B'DE，若B'D，B'E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGE B．△B'FG的周长是一个定值 C．四边形FOEC的面积是一个定值 D．四边形OGB'F的面积是一个定值【答案】D【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB′、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG=1由折叠得：∠BDE＝∠ODF=1∴∠OFD+∠ODF=12(∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE（ASA），∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG（SAS），△OAF≌△OCE（SAS），∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE（SAS），故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B′GF≌△CGE（AAS），∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B′F+B′G＝FG+AF+CG（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S故选项C正确；D、S四边形BGO'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG=12⋅FG⋅OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG故选项D不一定正确；故选：D．2．已知，如图，△ABC和△DBE中，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，点D是△ABC的外心，试判断四边形BDCE的形状，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：四边形BDCE是菱形，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，BA=BC∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE，∵点D是△ABC的外心，∴DA＝DB＝DC，又∵BD＝BE，∴DB＝BE＝EC＝CD，∴四边形BDCE是菱形．3．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请找出截面的圆心；（不写画法，保留作图痕迹．）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】（1）见试题解答内容；（2）10cm【解答】解：（1）如图所示；（2）如图，OE⊥AB交AB于点D，则DE＝4cm，AB＝16cm，AD＝8cm，设半径为Rcm，则OD＝OE﹣DE＝R﹣4，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，即R2＝82+（R﹣4）2，解得R＝10．故这个圆形截面的半径是10cm．4．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC．（2）在图①中的线段AC上确定一点P，使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．【答案】（1）AC；（2）图见解