四川省巴中市2023届高三“一诊”考试数学(理)试题

第页，共页巴中市普通高中2020级“一诊”考试数学（理科）（满分150分120分钟完卷）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色.墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效.3.考试结束后，考生将答题卡交回.一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.设复数满足，则（）A.B.1C.D.23.若一组样本数据的期望和方差分别为，则数据的期望和方差分别为（）A.3,1B.11,1C.D.4.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.33B.66C.22D.445.若双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.6.已知是两条不同直线，若平面，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数为偶函数，则（）A.-1B.-2C.2D.18.已知，则（）A.B.C.D.9.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.10.随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为，所对应的概率分别为，则（）A.B.C.D.11.在中，若，则（）A.B.C.D.12.若，则的大小关系为（）A.B.C.D.二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程为__________.14.的展开式中常数项是__________.15.已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.16.已知为单位向量，若，则的取值范围为__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都要作答.22､23为选考题，考生按要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.（1）填写下面的列联表，判断是否有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；成绩小于60成绩不小于60合计男女合计（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人数为，求的分布列和期望.附：0.100.0500.0102.7063.8416.63518.（本小题满分12分）已知数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，证明：.19.（本小题满分12分）如图，正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，过作，垂足为.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，左顶点为，离心率为，经过的直线交椭圆于两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，求的最大值.说明：若点在椭圆上，则椭圆在点处的切线方程为.21.（本小题满分12分）设函数.（1）当时，设，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，证明.（二）选考题，共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分.22.[选修44，坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设，直线与曲线相交于两点，求的值.23.[选修4-5，不等式选讲]（10分）设函数.（1）求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值.巴中市高2023届一诊考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1-12DCBABDACDABA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16..三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都要作答.22、23为选考题，考生按要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）解：（1）成绩小于60分的人数为：由题意，得列联表如下表：成绩小于60成绩不小于60合计男4080120女404080合计80120200故有的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关（2）由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人由题意，的所有可能取值为，且服从超几何分布，即：的分布列为.01218.（本小题满分12分）解：（1）由得：.由知：数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）方法一由（1）得：.，当且仅当时取等号.即.方法二由（1）得：..当时，恒有，故.对任意时，恒有当时，恒有.即.·说明：也可用数学归纳法证明：与.19.（本小题满分12分）解：（1）证明：方法一在正方形中，有，由已知得由折叠的性质知：平面.又平面.平面.平面平面，且与相交平面.方法二在正方形中，有，由已知得.由折叠的性质知：平面.又平面，故.平面.又平面，故平面平面平面，平面平面平面（2）方法一不妨设正方形的边长为2，由已知得：故直线两两垂直以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系则平面的一个法向量为.设，则，且..设与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为.方法二不妨设正方形的边长为2，设与平面所成角为由已知得：，又，故平面.在直角中，，故在中，与平面所成角的正弦值为..方法三以原点，及过平面的垂线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方形的边长为2，设，与平面所成角为则由已知得：又，故平面为平面的一个法向量在直角中，由（1）知平面，故点的坐标为与平面所成角的正弦值为.20.（本小题满分12分）解：（1）由椭圆的定义及的周长为8得：，解得由离心率为得：，化简得.椭圆的方程为（2）由（1）知，设，则以为切点的椭圆的切线方程为以为切点的椭圆的切线方程为.又两切线均过点，故，且整理化简得，且.点均在直线上直线的方程为，且直线过定点.由消去得：于是，由求根公式得：方法一设点到直线的距离为，则..令，则，且设，则.函数在是减函数，从而的最大值为.方法二.下同方法一方法三由方法一知，直线的方程为，且直线过定点令，则的方程化为：由消去得：于是，.由求根公式得：.下仿方法一求解，略21.（本小题满分12分）解：（1）当时，又，故得，或①当，即时，恒成立的减区间为，无增区间②当，即时，由得：，或；由得的减区间为，增区间为③当，即时，由得，或；由得的减区间为，增区间为综上可得：当时，的减区间为，无增区间；当时，的减区间为，增区间为；当时，的减区间为，增区间为（2）当时，恒成立，在上是增函数，至多一个零点，不合题意当时，由得，此时：若，则是减函数；若，则是增函数由函数有两个零点得：，解得当时，有又当时，函数有两个零点方法一设，则，且设，则在上是增函数，故当时，有，即成立，即由在上是减函数且得：当时，在上是增函数，且..方法二不妨设，又在上单调递增要证，只需证又是的零点，故即①，②②-①得由对数均值不等式得：①+②得：..（二）选考题，共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按第一题记分.22.[选修，坐标系与参数方程（10分）解：（1）由消去得，整理得的普通方程为由得.代入整理得的直角坐标方程为.（2）方法一设由解得，或方法二点在直线上，设直线与曲线的交点分别对应参数则..代入整理得：解得：...方法三点在直线上，设直线