四川省成都市蓉城高中教育联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学(理)试题

第页，共页四川省成都市蓉城高中教育联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．2.直线的倾斜角是A． B． C． D．3.以原点为圆心，为半径的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．4.与直线垂直且过点的直线方程为（

）A． B． C． D．5.不等式的解集为（

）A． B． C． D．6.已知，则下列大小关系正确的是（

）A． B． C． D．7.焦点在x轴上的椭圆的焦距是8，则椭圆的长轴长为（

）A．40 B． C． D．208.若，则的（

）A．最小值为0 B．最大值为4 C．最小值为4 D．最大值为09.己知两点，且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．10.方程所表示的曲线（

）A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称11.圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相切 C．内含 D．与a的取值有关12.设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在椭圆C上（点M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题）13.两平行直线与之间的距离为．14.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为．15.直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为．16.在半径为R的球面上有A，B，C，D四点，且直线两两垂直，若的面积之和为6，则此球体积的最小值为．三、解答题（本大题共6小题）17.分别求以下方程．(1)求过两直线：，的交点，且斜率为2的直线的一般式方程；(2)已知椭圆C的对称中心为原点，对称轴为坐标轴，且过两点，，求椭圆C的标准方程．18.已知实数a，b满足：,．(1)求的取值范围；(2)已知，试比较M，N的大小．19.已知圆C过三点．(1)求圆C的一般式方程；(2)若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；20.已知圆，定点．(1)光线自定点开始射到x轴上，经x轴发生镜面反射后到达圆C上的点N为止，求光线路程的最小值；(2)若点A在圆C上转动，点P为线段的中点，求点P的轨迹方程．21.某建筑单位购买某种建筑设备，购买时费用为100万元，此建筑设备每年的运输转场与设备管理等费用共计9万元，但这种建筑设备随着每年的转场需要重新构架，在此过程中会造成设备的维修费、保养费等逐年增高，第一年为2万元，第二年为4万元，第三年为6万元，而且以后以每年2万元的增量逐年递增．(1)若变量x，y分别表示此建筑设备使用的时间（单位：年）和花费的总金额（单位：万元），请用含x的代数式表示y；(2)建筑设备的年平均使用费用越低，它的使用就越划算，请在（1）小问的基础上规划一下此建筑设备最佳的使用时间（单位：年），并说明理由．22.已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知直线满足且与椭圆E相交于不同的两点A，B，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线l是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

参考答案1.【答案】D【分析】根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解.【详解】因为点，所以点A关于原点的对称点的坐标为，故选：D2.【答案】B【分析】先求斜率，即倾斜角的正切值，易得．【详解】，可知，即，故选B3.【答案】B【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，已知圆心和半径，代入圆的标准方程即可求解.【详解】由题意知：圆心坐标为，圆的半径，所以所求圆的标准方程为，故选：B.4.【答案】C【分析】利用两直线垂直其斜率之积等于，可求出直线的斜率，再将点代入直线方程即可求出答案.【详解】已知直线l的斜率为2，则所求直线方程的斜率为，设直线方程为，因为直线过点，所以，则直线方程为，整理得故选：C.5.【答案】B【分析】利用转化法，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】由可得，解得，故原不等式的解集为，故选：B6.【答案】D【分析】利用作差法，可得答案.【详解】，由，则，即；，由，则，，即，可得；，由，则，即，可得；综上.故选：D.7.【答案】B【分析】由椭圆的性质即可得到答案.【详解】由题意得，则椭圆的长半轴长为，长轴长为.故选：B.8.【答案】C【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，故选：C．9.【答案】A【分析】根据题意和椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为8的椭圆，进而求解.【详解】因为，所以，又是与的等差中项，所以，则点P到定点的距离之和为8，（大于），所以动点P的轨迹是以为焦点，，则，，所以椭圆方程为：，故选：.10.【答案】B【分析】解出方程，即可看出方程所表示的曲线，进而分析其对称性即可.【详解】

或所以方程所表示的曲线为轴或直线，都关于原点对称.故：选B.11.【答案】A【分析】根据圆心距和半径的关系判断两圆的位置关系即可.【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为，，所以两圆外离.故选：A.12.【答案】B【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【详解】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，根据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故选：B．13.【答案】##【分析】由平行线之间的距离公式直接求解即可.【详解】两平行直线与之间的距离为.故答案为：14.【答案】3【分析】作出可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，平移直线即，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时，取最大值，即.故答案为：315.【答案】或【分析】由已知，先将圆的方程化为标准式，然后分类讨论直线l斜率存在、不存在，计算圆心到直线的距离等于圆的半径，列式即可求解直线方程的斜率，从而得到直线方程.【详解】由已知，圆可化为：，直线l过点，①当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为：，所以圆心到直线的距离，此时直线l与圆不相切，所以不成立；②当直线l的斜率存在时，设直线方程为：，要使直线与圆相切，需满足圆心到直线的距离等于圆的半径，即，解得：或，所以直线l的方程为：或.故答案为：或.16.【答案】【分析】本题相当于求三棱锥的外接球体积的最小值.先把三棱锥补形成一个长方体，可得外接球的直径为长方体的体对角线，分析已知条件，再借助基本不等式求出半径的最小值，最后可求出球的体积最小值.【详解】因为线段两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段分别为长方体的长、宽、高，则半径为R的球即为长方体的外接球.令，所以有又因为的面积之和为6，所以，即.由基本不等式有，所以，当且仅当时等号成立，此时，.故答案为：.17.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立两直线求得交点，利用点斜式求得直线方程，再转化成一般式即可；（2）设出椭圆标准方程，将给定点的坐标代入列出方程组，求解即得【详解】（1）由可得，所以，的交点为，故过且斜率为2的直线的方程为即；（2）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上，则有，解得，，所以椭圆的标准方程为；18.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据不等式的性质求解，即可得到；（2）作差法比较式子大小.【详解】（1）根据不等式的性质可得，，，则.（2）,因为，

所以有所以，.19.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设圆的一般方程，分别代入求得圆C的一般式方程.（2）利用垂径定理和点到直线距离可求得斜率，从而求得直线l的方程【详解】（1）设圆的一般方程，因为圆C过三点，所以解得,故圆C的一般式方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，直线为，圆C截得的弦长为，故直线l为.设直线l的斜率为，又过点，所以直线l的方程为，由（1）可知圆心为，半径，又因为圆C截得的弦长为，所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，由点到直线的距离可得解得.所以直线l的方程为：或.20.【答案】(1)(2)【分析】（1）设点关于轴的对称点为，根据光的反射原理到的最短距离，转化为到圆上点的距离最小值；（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.【详解】（1）由圆可得圆心，半径为1，点关于轴对称点为，光线从到经过的路程，即为点与点的直线距离，其最小值为，所以光线路程的最小值为；（2）设点，因为点，线段的中点为，可得，解得，又因为在圆上，可得，即，即点的轨迹方程为21.【答案】(1)(2)10年【分析】由题意可知花费的总金额为购买费用、运输转场与设备管理等费用、维修费、保养费之和，即可列出函数关系式；利用函数关系式中函数的性质，即可求出最佳的使用时间.【详解】（1）已知此建筑设备每年的运输转场与设备管理等费用共计9万元，x年则花费万元，维修费、保养费每年2万元的增量逐年递增，由等差数列求和可得x年需万元，花费的总金额.（2）设建筑设备的年平均使用费用为w，则（当且仅当，即时取等号），所以当时，建筑设备的年平均使用费用越低，故此建筑设备最佳的使用时间为10年.22.【答案