小学五年级数学（苏教版下册）总复习知识清单

小学五年级数学（苏教版下册）总复习知识清单一、数与代数：方程思想与运算基石（一）简易方程——搭建算术到代数的桥梁【核心·难点】▲★【高频考点】【务必辨析】1.概念界定与核心关系【基础】（1）等式与方程：表示相等关系的式子叫作等式。含有未知数的等式是方程。这是两个包含与被包含的关系——方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式，不是方程；而x+2=5既是等式，又是方程）。判断时，两个条件“含有未知数”和“是等式”缺一不可。（2）方程的解与解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。求方程的解的过程，叫作解方程。前者是结果，后者是过程。2.等式的性质——解方程的理论依据【原理·核心】（1）性质1（加减）：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。（2）性质2（乘除）：等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。【易错警示】性质2中“除以同一个数”必须强调“不是0”，因为0不能作除数。3.解方程的方法与步骤【技能·关键】（1）基本策略：应用等式的性质，将方程逐步转化为“x=a（常数）”的形式。（2）常用关系式（作为性质应用的补充理解，尤其在解决复杂方程时）：一个加数=和另一个加数被减数=差+减数减数=被减数差一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商（3）检验格式：解方程后，必须将解代入原方程检验。格式为：方程左边=……=方程右边，所以x=□是原方程的解。【典型例题与易错点】【例】解方程：3.6xx=3.25【解析】先合并未知数项：(3.61)x=3.25→2.6x=3.25，再根据等式的性质2，两边同时除以2.6，x=1.25。【易错1】运用乘法分配律时符号错误，如解13(x5)=169时，错误写成13x5=169。正确应先两边除以13，得x5=13，再解得x=18。【易错2】混淆同类项合并，如2.5x+4.5=14.5错误合并为7x=14.5。注意2.5x与4.5不是同类项，不能直接合并。4.列方程解决实际问题【难点·考点】（1）一般步骤：A.审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题，关键是发现未知数与已知数之间的等量关系。B.设元：设未知数。通常求什么设什么（直接设元），有时也需设中间量为x（间接设元）。C.列方程：根据找出的等量关系，列出含有未知数的等式。D.解方程：求出未知数的值。E.检验并作答：检验解是否符合实际意义，然后写答句。（2）常见题型与等量关系：【和差/和倍/差倍问题】例：地球表面海洋面积是陆地面积的2.4倍，海洋面积比陆地面积多2.1亿平方千米。求海洋和陆地面积。等量关系：海洋面积陆地面积=2.1亿平方千米。解：设陆地面积为x亿平方千米，则海洋面积为2.4x亿平方千米。2.4xx=2.1→1.4x=2.1→x=1.5，海洋：2.4×1.5=3.6。【行程问题（相遇/追及）】例：两列火车从相距540千米的两地同时相向开出，经过3小时相遇。已知甲车每小时行95千米，乙车每小时行多少千米？等量关系：甲车路程+乙车路程=总路程或（甲速+乙速）×时间=总路程。解：设乙车每小时行x千米。(95+x)×3=540→95+x=180→x=85。【盈亏问题】例：妈妈买了同样数量的橘子和香蕉，橘子每千克6元，香蕉每千克4元，买橘子比买香蕉多花了10元。橘子和香蕉各买了多少千克？等量关系：橘子总价香蕉总价=10元。解：设各买了x千克。6x4x=10→2x=10→x=5。【年龄问题】例：今年爸爸的年龄是儿子的4倍，5年后爸爸比儿子大27岁。今年爸爸和儿子各多少岁？等量关系：年龄差不变（今年爸爸年龄儿子年龄=27）。解：设儿子今年x岁，则爸爸4x岁。4xx=27→3x=27→x=9，爸爸：4×9=36。（二）因数与倍数——数论基础的初步建立【基础·拓展】▲★【高频考点】【概念密集】1.因数与倍数的概念【务必理解】如果a×b=c（a、b、c为非0自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。例如，3×7=21，我们就说3和7是21的因数，21是3和7的倍数。【易错警示】因数与倍数讨论的范围通常是“非0自然数”。小数、分数之间不存在因数倍数关系。如因为2.4÷0.6=4，就说2.4是0.6的倍数是错误的。2.找一个数的因数与倍数的方法【技能】（1）因数：通常成对找，从1开始，一直找到中间数。一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。（2）倍数：用这个数依次乘非0自然数。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。3.2、3、5的倍数的特征【基础·考点】（1）2的倍数：个位上是0、2、4、6、8的数。是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。（2）5的倍数：个位上是0或5的数。（3）3的倍数：各位上数的和一定是3的倍数。【综合考点】同时是2、3、5的倍数：个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。满足条件的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120。4.质数、合数与分解质因数【概念·应用】（1）质数（素数）：只有1和它本身两个因数。如2、3、5、7、11……（2）合数：除了1和它本身还有别的因数。如4、6、8、9、10……（3）特别注意：1既不是质数也不是合数。（4）质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。（5）分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来。通常用短除法。例如：分解30，30=2×3×5。5.公因数与最大公因数【难点】（1）概念：几个数公有的因数，叫作它们的公因数。其中最大的一个，叫作它们的最大公因数。（2）求法：列举法：分别列出所有因数，再找公有的最大者。短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数相乘的积即为最大公因数。特殊规律：当两数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数；当两数互质（公因数只有1）时，最大公因数是1。（3）互质数：公因数只有1的两个数，叫作互质数。如4和5、8和9。6.公倍数与最小公倍数【难点】（1）概念：几个数公有的倍数，叫作它们的公倍数。其中最小的一个，叫作它们的最小公倍数。（2）求法：列举法：分别列出部分倍数，再找最小的公有者。短除法：用公有质因数连续去除，直到商互质，所有除数和最后的商相乘的积即为最小公倍数。特殊规律：当两数成倍数关系时，较大数是它们的最小公倍数；当两数互质时，它们的积就是最小公倍数。7.实际应用——思维进阶【热点】用最大公因数解决“分东西”问题：将一些物品平均分组，且刚好分完，求最多分给几个人，通常是求物品数量的最大公因数。【例】把40块水果糖和35块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖少2块，巧克力少1块。这个组最多有多少人？【解析】水果糖少2块，说明加上2块（40+2=42）就能正好平均分；巧克力少1块，说明加上1块（35+1=36）就能正好平均分。所以人数是42和36的公因数，求最多，即求42和36的最大公因数。42和36的最大公因数是6。因此，这个组最多有6人。用最小公倍数解决“再次相遇”问题：两人或物从同一地点出发，求下次同时相遇的时间，通常是求各自周期的最小公倍数。【例】哥哥6天回家一次，弟弟8天回家一次，4月20日两人同时回家，下一次同时回家是几月几日？【解析】两人同时回家的间隔天数是6和8的最小公倍数。6和8的最小公倍数是24。4月20日再过24天，是5月14日。（三）分数的意义和性质——数系的扩充与深化【核心·重点】▲★【高频考点】【概念辨析】1.分数的意义【务必理解】（1）单位“1”：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位“1”。（2）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。（3）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫作分数单位。如5/7的分数单位是1/7。【易错警示】“平均分”是分数的前提，若不是平均分，则不能用分数表示。2.分数与除法的关系【基础·工具】（1）关系式：被除数÷除数=被除数/除数（除数不为0）。即a÷b=a/b(b≠0)。（2）应用：用分数表示除法的商，或者将假分数化为带分数（用分子除以分母，商作整数部分，余数作分子，分母不变）。【例】把3米长的绳子平均截成7段，每段长（3/7）米，每段占全长的（1/7）。【高频考点】前者求具体长度（带单位），后者求份数关系（不带单位）。3.真分数与假分数【分类·辨析】（1）真分数：分子比分母小的分数。真分数小于1。（2）假分数：分子比分母大或分子等于分母的分数。假分数大于或等于1。（3）带分数：由整数（不包括0）和真分数合成的数。是假分数的另一种表示形式。4.分数的基本性质——通分与约分的依据【核心原理】分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。【例】将2/7的分子加上6，要使分数大小不变，分母应加上多少？【解析】分子加6，由2变为8，相当于乘4。根据分数的基本性质，分母也应乘4，7×4=28，所以分母应加上287=21。5.约分与通分【关键技能】（1）最大公因数与最简分数：分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。约分时，通常要约成最简分数。（2）约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分依据是分数的基本性质，方法是分子分母同时除以它们的公因数（或最大公因数）。（3）通分：把几个分母不同的分数（异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。通分依据是分数的基本性质，关键是确定公分母（一般用最小公倍数作公分母）。6.分数与小数的互化【应用·技能】（1）小数化分数：一位小数写成十分之几，两位小数写成百分之几，三位小数写成千分之几……能约分的要约成最简分数。（2）分数化小数：用分子除以分母（除不尽时，通常按“四舍五入”法保留几位小数）。（3）常用数据记忆：1/2=0.5，1/4=0.25，3/4=0.75，1/5=0.2，2/5=0.4，3/5=0.6，4/5=0.8，1/8=0.125，3/8=0.375，5/8=0.625，7/8=0.875。（四）分数加法和减法——运算能力的综合提升▲【高频考点】【计算必考】1.同分母分数加减法【基础】计算方法：分母不变，分子相加减。计算结果能约分的要约成最简分数，是假分数的通常要化成带分数或整数。2.异分母分数加减法【核心·重点】计算方法：先通分，化成同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。【易错警示】通分时，公分母应取两个分母的最小公倍数。计算前先看能否约分，但异分母加减必须先通分，不能直接分母相加减。3.分数加减混合运算【技能】（1）运算顺序：与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，从左往右依次计算；有括号的，先算括号里面的。（2）简便运算：整数加法的交换律、结合律，以及减法的性质（abc=a(b+c)）对于分数同样适用。要善于观察数据特征，进行简算。【例】计算5/8+3/7+2/7【解析】观察发现3/7和2/7是同分母分数，可以利用加法结合律先相加。原式=5/8+(3/7+2/7)=5/8+5/7，然后再通分计算。4.分数与小数加减混合运算【综合应用】方法：通常将分数化成小数（如果分数可以化成有限小数）或将小数化成分数，统一形式后再计算。选择哪种方法，以计算简便为原则。【例】计算0.75+3/4【解析】0.75就是3/4，所以原式=3/4+3/4=1.5（或3/2）。如果统一成分数，计算更简便。5.解方程中的分数运算【拓展】方程中可能出现分数系数或分数解，解方程步骤不变，但加减计算时要遵循分数加减法法则。【例】解方程x+1/3=5/6【解析】x=5/61/3，先通分，x=5/62/6=3/6=1/2。6.解决实际问题【应用】常考题型：修路问题（第一天修了全长的几分之几，第二天修了全长的几分之几，求两天共修几分之几，或还剩几分之几）、布料剩余问题、饮料喝掉再加满问题等。关键依然是找准单位“1”，理清数量关系。二、图形与几何：空间观念的深化（一）圆——从直线图形到曲线图形的飞跃【核心·难点】▲★【高频考点】【公式应用】1.圆的认识【基础】（1）圆心：画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。圆心决定圆的位置。（2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，是圆的半径，通常用字母r表示。半径决定圆的大小。在同圆或等圆中，所有的半径都相等。（3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，是圆的直径，通常用字母d表示。在同圆或等圆中，所有的直径都相等。（4）关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍。d=2r或r=d÷2。（5）对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴（直径所在的直线）。半圆只有1条对称轴。【易错警示】判断题“所有的直径（或半径）都相等”是错误的，必须加上前提条件“在同圆或等圆中”。2.圆的周长【公式·应用】（1）概念：围成圆的曲线的长叫作圆的周长，通常用字母C表示。（2）圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，π=3.……，在计算时，通常保留两位小数，取π≈3.14。（3）周长公式：C=πd或C=2πr。【高频考点】已知周长求直径或半径：d=C÷π，r=C÷π÷2。【易错辨析】圆周率π是一个数，不是一个具体量，不能说半径是5厘米的圆比半径是2厘米的圆的圆周率大。圆周率是固定值，与圆的大小无关。3.圆的面积【难点·推导】（1）概念：圆所占平面的大小叫作圆的面积。（2）公式推导（转化思想）：将圆平均分成若干偶数等份，拼成一个近似的长方形。拼成的长方形面积与圆面积相等，长方形的长相当于圆周长的一半（πr），长方形的宽相当于圆的半径（r）。因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积S=πr×r=πr²。（3）面积公式：S=πr²。已知直径求面积：S=π(d/2)²。（4）圆环的面积：S=πR²πr²=π(R²r²)，其中R为外圆半径，r为内圆半径。【易错点】面积公式容易误写为2πr（那是周长），要牢记是半径的平方。4.组合图形与实际问题【综合·思维】（1）正方形内最大圆：圆的直径等于正方形的边长。（2）长方形内最大圆：圆的直径等于长方形的宽。（3）常见题型：求“周长”和“面积”的对比练习：如给水缸做木盖，求木盖面积（求面积），在木盖边沿钉铁片（求周长）。绕树问题：一根绳子绕树10圈，求树干的直径。先求一圈的长度（周长），再求直径。面积比较：周长相等的正方形和圆，圆的面积更大。反之，面积相等的正方形和圆，正方形的周长更长。半径变化引起的变化：半径增加几厘米，周长就增加几个（2π×增加的厘米数），面积增加的是一个圆环的面积。【例】一个圆的半径增加3厘米，它的周长增加（18.84）厘米。因为ΔC=2π(r+3)2πr=6π≈18.84。三、统计与概率：数据分析观念的培养（一）折线统计图——描述数据的变化趋势▲【热点】【生活应用】1.单式折线统计图【回顾】不仅能看出数量的多少，还能清晰地看出数量增减变化的趋势（上升、下降、平稳）。2.复式折线统计图【核心·新授】（1）特点：可以在一张图上同时表示两组或两组以上相关的数据，不仅能看出各组数据的增减变化趋势，还能方便地对这几组数据进行比较。（2）画法步骤：【技能·操作】A.写标题和制图时间。B.画横轴