2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题03函数及其表示（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题03函数及其表示

基础知识复习

1．函数与映射

函数映射

两个集合

设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合

A，B

如果按某一个确定的对应关系f，使

如果按照某种确定的对应关系f，使对

对应关系对于集合A中的任意一个元素x，在

于集合A中的任意一个数x，在集合B

f：A→B集合B中都有唯一确定的元素y与之

中都有唯一确定的数f(x)和它对应

对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一称f：A→B为从集合A到集合B的一

名称

个函数个映射

函数记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函

数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函

数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个

部分组成，但它表示的是一个函数．

【知识拓展】

简单函数定义域的类型

(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}；

(5)指数函数的底数大于0且不等于1；

π

x≠kπ＋，k∈Z

(6)正切函数y＝tanx的定义域为x|2.

典型习题强化

1．若函数的定义域为R，则a的范围是（）

2

A．��=��−��+1B．

C．0,4D．0,4

2．已0知,4是定义在R上的奇函数，且0,4，当时，，则（）

�

A．2��B．－2�(�+C4．)=0�(�)�∈(0,2)D．�(�)=2�−2021=

3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）2

A．，B．，

222

��=���=���=���=�

C．，D．，

2

�−12

��=�−1��=�+1��=�+1⋅�−1��=�−1

4．函数定义域为（）

0

��−1

A．��=lne−B2．+2−�C．D．

5．下1列,2各组函数中，表示同ln一2,函2数的是（）ln2,1∪1,2ln2,1∪1,2

A．与B．与

2

�+�2

�(�)=�+1�(�)=�−1��=2���=4�

C．与D．与

222

��=���=��=�+1�−1�=�−1

，

6．已知函数，则的值是（）

，

log2��>01

��=���4

3�≤0

A．B．C．D．

11

−99−99

7．已知，若，则（）

1

�2�−1=2�+3��=5�=

A．B．C．D．

1111

−44−22

．已知函数，则方程的实数根的个数为（）

8�

2−1,�≤2

��=2���=1

�−1,�>2

A．B．C．D．

9．拟7定从甲地到乙地通话5m分钟的话费（单位：3元）由函数2给出，其

3.71,0<�≤4

��=

中是不小于m的最小整数，例如，，那么从甲地到1.乙06地×通0话.55�分+钟1的,话�费>为4（）

�2=21.21=2

A．3.71元B．4.24元C．4.7元D．7.95元

10．已知，，若，则的最值是（）

2��,��≥��

��=3−2���=�−2���=��

A．最大值为3，最小值B．最大值为��,��，无<最�小�值C．最大值为3，无最小

值D−．1无最大值，最小值为7−27

−1

11．已知符号函数，下列说法正确的是（）

1,�>0

sgn�=0,�=0

A．函数是奇函数−1,�<0

B．函数�=sgn�是奇函数

�

C．函数�=2sgn�的值域为

�

D．函数�=2sgn�的值域为−1,0∪1,+∞

�

12．已知�函=数2sgn�1,+∞，则（）

�

�−1,�≥�,

��=2�∈R

A．任意，函数−(�的+值1域),为�<�

B．任意�∈R，函数��都有零点R

C．任意�∈R，存在�函�数满足

D．当�∈R时，任�意��−�=��

13．高�斯∈是−德∞国,−著4名数学家，�近1代≠数�2学,�奠1基−者�2之�一�，1享−有�“数�2学王>子0”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世

界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则

下列说法正确的是（[�]）�=[�][−2.1]=−3[2.1]=2

A．函数在区间（）上单调递增

B．若函数�=�−[�]，则[�,�+1)�的∈值Z域为

sin�

�−�

e−e

C．若函数�(�)=�=[�(�)]，则{0}的值域为

D．，�(�)=|1+sin2�−1−sin2�|�=[�(�)]{0,1}

14．�已∈知R函数�≥[�]+1是增函数，则实数a的取值范围是______．

2−��−1,�≤5

��=�−5

15．设�,�>．5若，则__________．

�,0<�<2

��=��=��+2�=

16．已知为3定�义−在2,�≥2上的增函数，且任意，均有，则_____.

11

���+�=��

17．已知函�(�数)(0,+∞).�>0�(1)=

2

(1)若函数定义�域(�为)=，求−��的取+2值�范+围5；