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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题05指数与指数函数

基础知识复习

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

1

特征y=xy=x2y=x3y=x-1

y=x2

性质

定义域RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}

值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式:

一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).

零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

【知识拓展】

1.幂函数的图象和性质

(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,

要看函数的奇偶性.

(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

(3)当α>0时,y=xα在[0,+∞)上为增函数;

当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.

a>0,a<0,

2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.

Δ<0Δ<0

典型习题强化

1.设,,,则()

−1.5

0.90.481

123

A.�=9�=27�=3B.

C.�3>�1>�2D.�2>�1>�3

【答�案1>】�C3>�2�1>�2>�3

【解析】

由题意可知,,,

0.91.80.4830.481.44

12

�=9=3�=2,7=3=3

−1.5

1−1−1.51.5

33

又�函=数3=在�=上是3单调递增=函3数,

因为�=3R,所以,故,

1.81.51.44

故选:1C..8>1.5>1.443>3>3�1>�3>�2

2.下列运算中正确的是()

A.B.

21

2−�=2−��−�=−�

C.D.

13823+2

4−8�

33−29

【答案�】�C=��=�

【解析】

对于A,,所以,错误;

2

对于B,因2−为�<0,所以2−�,则=�−2,错误;

111

−�>0�<0�−�=−−�⋅−�=−−�

对于C,,正确;

13818382

4−84−8�

3

��=��=�

对于D,,错误.

3+2

3−29−27

故选:C.�=�=�

3.已知,,,则()

0.20.2

A.�=1.5�=B.log0.81.2�=0.8C.D.

【答�案>】�A>��>�>��>�>��>�>�

【解析】

因为,所以

0.20.2

故选:�=A1.5>1,�=log0.81.2<0,�=0.8∈(0,1),�>�>�

4.若实数,满足,则的最小值为()

���+2�

A.0��2+B.41=2�+2�C.2D.3

【答案】C

【解析】

因为,又

���2��+2����+2�

2+4=2+2≥222+4=2

所以

�+2�

�+2�2+1

所以2≥2,当且仅当,时取等号,

1

2

所以�+2�的≥最2小值为2,�=1�=

故选:�+C.2�

5.对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.已知

在�R(�上)为“局部奇函数”,则的�取0值范围�(是−(�0)=)−�(�0)�(�)�(�)=

A−.�e−1�B.

C.[−1,+∞)D.(−∞,−1]

【答[案−】1,0C)(−∞,1]

【解析】

因为在R上为“局部奇函数”,

所以存�(�在)实=−数�e,−使1得,

−�0�0

所以方程�0−�e在−1R=上�有e解+,1

−��

所以方程−�e−1在=R�上e有+解1,

−2

�−�

e+e=�

又,当且仅当时等号成立,

1

�−���

所以e+e=e+,e≥2�=0

所以−的1取≤值�<范0围是,

故选:�C.[−1,0)

6.函数,下列关于函数的说法错误的是()

1

−�

1+e

A.函数��的=图象关于原点对称��

B.函数��的值域为

C.不等式��的解0集,1是

1

2

D.是增�函�数>0,+∞

【答�案�】A

【解析】

对于A选项,函数的定义域为,且,

1

2

所以,函数的图�象�不关于原点对R称,A�错0;=≠0

��

对于B选项,因为,所以,,B对;

1

−�−�

e+1>1��=1+e∈0,1

对于C选项,由可得,则,解得,C对;

11

−�−�

1+e2

对于D选项,对�任�意的=,>e<1,−�<0�>0

−�

且函数在上�∈单R调递�减=,1故+函e数>1是增函数,D对.

−�

故选:A�.=1+eR��

7.指数函数在R上单调递减,则实数a的取值范围是()

A.��=�B−.1C.D.

【答案−2】,−D12,+∞−∞,−21,2

【解析】

因为指数函数在R上单调递减,

所以��=,得�−1,

所以实0数<�a−的1取<值1范围是1<�,<2

故选:D1,2

8.若,函数的值恒大于1,则实数a的取值范围为()

2�

A.�>0;�=�−8B.;

C.−2,2;D.−∞,−2∪2,+∞.

【答案−3】,3D−∞,−3⋃3,+∞

【解析】

因为,函数的值恒大于1,

2�

所以�>0,�即=�−,8

22

解得�−8或>1�,>9

故选:�>D3�<−3

9.已知,则“”是“”的()

�2

A.充分�不>必0要条件�>B2.必要�不>充�分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

若,则为增函数

所以�>2��,=即�

�2

即��>�2�>�

�2

�>2⇒�>�

当时,1

122

�12211

所以�=2�=2=2>�=2=4

�2

故选:�A>�⇏�>2

10.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.则关于的不等式

��

的解集为(��)�≥0��=4−3×2+2����≤−6

A.B.C.D.

【答(案−】∞A,−2](−∞,−1]−2,0⋃0,2−2,0∪2,+∞

【解析】

因函数是定义在R上的奇函数,且当时,,

��

则��,�解≥得0�,�即当=4−3时×,2+2�,

00��

当�0=时4,−3×2,+则2�=2�−2=0�=1�≥0,��=4−3×2+2

−�−�

而当�<0时,−�>0�(�)=−�(−�),=则−(当4−3×2时+,2),即

311

�2�<0

�≥0��=(2−2)−4≥−4��≤−6−�−�

,−(4−3×2+2)≤−6

�<−�0−�

变(2形得−4)(2+,1解)得≥0,

�<0

−��≤−2

所以不等2式≥4的解集为.

故选:A��≤−6(−∞,−2]

11.下列化简结果中正确的有(m、n均为正数)()

A.B.

1��

�−���

�=��=�

C.D.

��

��

�0

【答�案】=A�D�−3.14=1

【解析】

A.,故正确;

1�

�−��−��

�=�=�

为奇数

B.,故错误;

�,为偶数

��,�

�=

��

C.,故错误;

��

D.�=�,故正确.

0

故选�:−A3D.14=1

12.函数在下列哪些区间内单调递减()

2

1(−�+6�−5)

2

A.�(�)=()B.C.D.

【答(案−】∞A,3C)D(3,5)(1,3)(2,3)

【解析】

由题意,函数在上单调递减,

1�

又由函数�=(2)R在上单调递增,在上单调递减,

2

由复合函数�=的−单�调+性6可�知−5,函(数−∞,3在)上单调(递3,减+,∞)

结合选项,可得选项符合题意�(.�)(−∞,3)

故选:ACD.𝐴�

.已知函数,则下列结论正确的有()

13�

1−3

1+3

A.的图象�(关�)于=坐标原点对称B.的图象关于轴对称

C.�(�)的最大值为1D.�(�)在定义域上�单调递减

【答�案(�】)AD�(�)

【解析】

因为,所以为奇函数,图象关于坐标原点对称,故正确;

−��A

1−33−1

−��

�(−�)=1+3=3+1=−�(�)�(�)

因为,1,,所以不是偶函数,图象不关于轴对称,故

1−311−31

1

1+322

不B�正(1确);==−�(−1)=1+3=�(1)≠�(−1)�(�)�

因为,又,所以,所以,

3+1−222

�����

3+13+13+1

所以�(�)=−,=故−1C+不正确;3>03+1>10<<2

因为�(�)∈(−1,1),且为增函数,所以在定义域上单调递减,故正

�D

3+1−22

���

3+13+1

确.�(�)=−=−1+�=3�(�)(−∞,+∞)

故选:AD

14.若函数是偶函数,则___________.

��

��=2+2�1=

【答案】##2.5

5

【解析】2

解:因为函数是偶函数,故,即,解得.

���1�

�−�−�����

��=2+2�(−�)=�(�)2+2=2+�⋅2=2+2�=1

故,则.

115

��

�(�)=2+2�(1)=2+2=2

故答案为:.

5

2

15.已知函数的图象关于原点对称,若,则的取值范围为________.

�−�3

【答案】�(�)=2+�⋅2�(2�−1)>2�

【解析】�>1

定义在R上函数的图象关于原点对称,

�−�

则�(�)=2,解+之�⋅得2,经检验符合题意

00

�0、=2+�⋅2均为=0R上增函数�,=则−1为R上增函数,

�−��−�

又�=2�=−2,�(�)=2−2

1−13

�(1)=2−2=2

则不等式等价于,解之得

3

故答案为:�(2�−1)>22�−1>1�>1

16.设是�定>义1在上的偶函数,且当时,,若对任意的,不等式

�恒�成立,则符R合条件的实数的一个�≥值0是____�_�__.=e�∈0,�+2��+�≥

2

���

【答案】(,内的任意一个数均可)

33

【解析】−2−2−2

由题意,是定义在上的偶函数,

∵对任意的��R,不等式恒成立,

2

�∈0,�+2��+�⩾��

则对任意的,不等式恒成立,

2

当时,�∈0,�+,2��+�⩾��

则�⩾0�对�任=意e的恒成立,

�+�2�

函数e⩾e在�∈上0单,�调+递2增,

∴��=e对任0意,+的∞恒成立,

则x�++b�≥2⩾x2或�x+b≤-2�x∈对0任,�意+的2恒成立,

①x+b≥2x变形为b≥x,则b≥b+2,�∈无解0,;�+2

②x+b≤-2x变形为b≤-3x,则b≤-3(b+2),解得b≤;

3

−2

又∵b+2>0,∴b>-2,故实数的取值范围为.

3

�−2,−2

故答案为:(,内的任意一个数均可).

33

22

17.已知函数−−2−,.

��

(1)当时,�不�等=式4−1��恒=成�立2,−求1实数a的取值范围;

(2)当�∈R时,求函数��≥��在区间上的最值.

【答案�>】(01)��=��+��−1,1

(2)最大值为−∞,,−最2小值为0

【解析】�+3

(1)若不等式恒成立,有,可化为

�����

①当时�,�显≥然�原�不等式恒成立4,−此1时≥�2;−12+12−1≥�2−1

②当�=0时,,原不等式可化为�∈�,

��

因为�>0,2所>以1;2+1≥�

③当2+1时>,2�≤,2原不等式可化为,

��

因为�<00<2<,1所以.−2−1≥�

由上知−2,<当−2−1时<,−不1等式�≤−2恒成立,则实数a的取值范围为.

(2)�∈R�,�≥��−∞,−2

��

①当��=4−时1,+令�2−1,则可化为,

�22

令0≤�≤12=�(1≤�≤,2二)次函�数�的对称�=轴为�−1+��,−1=�+��−�−1

2�

故��在=区�间+��−上�单−调1(递1增≤,�≤可2得)的最小�值�为�=−2<0,

��的最大值为1,2��;�1=1+�−�−1=0

②�当��时2,=令4+2�−�−1=�+3

�1

则−1可≤化�为<02=�2≤�<1,

22

令���=−�−1+�1−�,=二−次�函−数��+�的+对1称轴为,

21�

��=−�−��+�+12≤�<1���=−2<0

故函数在区间单调递减,

1

��2,1

由,,

112113

�2=−2−2�+�+1=2�+4�1=−1−�+�+1=0

得,因为,

1313

2424

所以0函<数��≤在�+上的最�大+值3>为�+,最小值为0.

.函数��−1,1�+3

18�.

2−1

��=2+1�∈R

(1)判断并证明函数的单调性;

(2)判断并证明函数�(�)的奇偶性;

(3)解不等式�(�).

2

【答案】(1)�函(1数−�)在+�(上1−递�增,)<证0明见详解;

(2)为定义在�(�上)的奇R函数,证明见详解;

(3)�(�)或R.

【解�析】�<−2�>1

(1)�

2−12

��

任取�(�)=2+1,=令1−2+1

1212

则�,�∈R�<�

�1�2

2222−2

12�1�2�1�2

∵�(�)−则�(�)=1,−可2得+1−1−2+1=2+12+1

�1�2�1�2�1�2

∴�1<�22<2即2−2<0,2+1>0,2+1>0

∴�函(�数1)−�在(�2)上<递0增�.(�1)<�(�2)

(2)�的(�定)义域R为

∵�(�)�即

�−���

2−12−12−11−2

�−���

∴�(�)为+定�(义−在�)=上2的+1奇+函2数+.1=2+1+2+1=0�(�)=−�(−�)

(3)�(�)R即

222

∵函�(数1−�)在+�(上1递−增�)<0�(1−�)<−�(1−�)=�(�−1)

∴�(�)R即或.

2

191.已−知�函<数�−1的�定义�域<−为2R,满�足>对1任意的x、y都有,当时,.

(1)证明的�奇=偶�性�;��+�=��+���<0��>0

(2)是否存��在使得在上恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说

2��+1

明理由.��2+��⋅2>0�∈1,2�

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解−析∞】,−2

(1)证明:显然的定义域是,关于原点对称.

又函数对一切�(、�)都有R

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