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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题07函数模型

基础知识复习

1.几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)

k

反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)

x

二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)

对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)

幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数

xn

y=a(a>1)y=logax(a>1)y=x(n>0)

性质

在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表现随n值变化而各

图象的变化

现为与y轴平行为与x轴平行有不同

nx

值的比较存在一个x0,当x>x0时,有logax<x<a

【知识拓展】

1.解函数应用题的步骤

2.“对勾”函数

a

形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:

x

(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a]上单调递减.

(2)当x>0时,x=a时取最小值2a,

当x<0时,x=-a时取最大值-2a.

典型习题强化

1.在核酸检测时,为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值,通常采用PCR技术对DNA

进行快速复制扩增数量.在此过程中,DNA的数量(单位:)与扩增次数n满足,

其中为DNA的初始数量.已知某待测标本中DN�A�的初始数�g量/�为L𝑃�,核酸探针能检�测�=到�的0×DN1.A6数

量最低�0值为,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(0.1�)g(/�参L考数据:,)

A.510�g/�LB.10C.15D.20𝛥��ln1.6≈0.47

【答案】B

【解析】

由题意知,,令,得,取以10为底的对数得,所以

��

0�

.�=0.1�=1010=0.1×1.61.6=100�lg1.6=2�=

2

lg1.6≈10

故选:B.

2.“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产

生“共鸣”等作用,激起水波,形成涌泉,声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强I与标准声强(约

00

为,单位:)之比的常用对数称作声强的声强级,记作L(单位:贝尔),即.�取贝�尔

−122�

�=lg�0

的10倍作为响度的�常�用单位,简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度y(单位:分贝)与喷出的泉水最

高高度x(单位:米)之间满足关系式,若甲游客大喝一声的声强大约相当于100个乙游客同时

大喝一声的声强,则甲、乙两名游客大�喝=一�声+激10起的涌泉最高高度差为().

A.10米B.20米C.50米D.100米

【答案】B

【解析】

设甲游客的声强为,大喝一声激起的涌泉最高高度为米,

乙游客的声强为,�1大喝一声激起的涌泉最高高度为米�1,

22

则�,,�

�1�2

�1+10=10lg�0�2+10=10lg�0

两式相减得,

�1�2�1

�1−�2=10lg�0−10lg�0=10lg�2=10lg100=20

甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为20米.

故选:B.

3.2021年10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功

发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送�入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑

空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度,其中是喷

�=�0⋅ln��(m/s)�0(m/s)

流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”.若

某型火箭的喷�流(相kg对)速度为,当总质比为�62(5kg时),该型火箭的最大速度约为()(附:

)1000m/slge≈

A0..434,lg2≈0.301B.C.D.

【答5案79】0mC/s6219m/s6442m/s6689m/s

【解析】

.

�4lg54(1−lg2)

�=�0ln�=1000×ln625=1000×lge=1000×lge≈6442m/s

故选:C.

4.施工企业承包工程,一般实行包工包料,需要有一定数量的备料周转金,由建设单位在开工前拨给施工

企业一定数额的预付备料款,构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、结构件所需的流动资金.确

定工程预付款起扣点的依据是:未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于工程预付款的数额.计算公

式为:(:工程预付款起扣点,:承包工程合同总额,:工程预付款数额,:主要材料及

构件所占�=比�重−).某�施工企业承接了一个合同�总额为208万元的新工程�,该工程预付款起扣�点为160万元,

主要材料及构件所占比重为65%,则建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的()

A.12%B.15%C.18%D.21%

【答案】B

【解析】

解:设建设单位应预付给施工企业的金额为合同总额的,

则由,得,解得,�%

�208⋅�%

�65%

故选:�=B.�−160=208−�=15

5.某大型家电商场,在一周内,计划销售、两种电器,已知这两种电器每台的进价都是万元,若厂家

规定,一家商场进货的台数不高于的台数�的�倍,且进货至少台,而销售、的售价1分别为

元/台和元/台,�若该家电商场�每周可以用2来进货、的�总资金2为万元,�所进�电器都能销售出12去00,0

12500��6

则该商场在一个周内销售、电器的总利润(利润售价进价)的最大值为()

A.万元B.��万元C.=万元−D.万元

【答1案.2】D2.81.61.4

【解析】

设该卖场在一周内进货的台数为台,则一周内进货的台数为,

设该卖场在一周内销售�、电器的�利润为万元,�6−�

由题意可得�,�可得�,且,

�≥2

2≤�≤4�∈N

�≤26−�,

�函=数0.26−�+0.25随�着=0的.05增�大+而1.2增大,故(万元).

故选:�=D.0.05�+1.2��max=0.05×4+1.2=1.4

6.金针菇采摘后会很快失去新鲜度,甚至腐烂,所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金

针菇失去的新鲜度与其采摘后时间(天)满足的函数解析式为,.若采摘后1天,

金针菇失去的新鲜度ℎ为40%,采摘后�3天,金针菇失去的新鲜度ℎ为=8�0%ln.�那+么�若不�及>时0处理,采摘下来的

金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知,结果取一位小数)()

A.4.0天B.4.3天C.42.7≈天1.414D.5.1天

【答案】C

【解析】

由已知,相除得,,,

ln(3+�)

�ln(1+�)=0.42

ln(1+�)=2ln(3+�)=2ln(1+�)(1+�)=3+�

因为�l,n(故3+解�得)=0.8,

设天�后>开0始失去全部�=新1鲜度,则,又,

所以�,�ln(�+1,)=1�ln(1,+1)=0.4,

ln(�+1)12

ln2=.0.42ln(�+1)=5ln2=ln32(�+1)=32�+1=32=42=4×1.414=5.656�=

4故.6选56:≈C.4.7

7.2022年4月16日,神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站,安全返回地球中国征

服太空的关键是火箭技术,在理想情况下,火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式,其中

�0

�=��ln�1

v为火箭的速度增量,为喷流相对于火箭的速度,和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量,

�01

在△未来,假设人类设计的�某火箭达到5公里/秒,从�100�提高到600,则速度增量增加的百分比约为

�0

��1

()(参考数据:,�,△�

ln2≈0.7ln3≈1.1ln5≈1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

【答案】D

【解析】

由题意,当时,速度的增量为;

�0

�1=100△�1=5ln100

当时,速度的增量为,

�0

�1=200△�2=5ln600=5ln100+5ln6

所以.

△�2−△�15ln100+5ln6−5ln100ln6ln2+ln3

△�1=5ln100=ln100=2(ln2+ln5)≈39%

故选:D.

8.如图为某小区七人足球场的平面示意图,为球门,在某次小区居民友谊比赛中,队员甲在中线上距离

边线米的点处接球,此时,�假�设甲沿着平行边线的方向向前带球,并准备在点处射门,

5

为获得5最佳的�射门角度(即tan∠最��大�),=则31射门时甲离上方端线的距离为()�

∠�𝛥

A.B.C.D.

【答5案5】B56102103

【解析】

设,并根据题意作如下示意图,由图和题意得:,,

所以𝛥=�,且,𝑃=25��=10

��1025

tan∠�𝑃=��=25=5tan∠�𝛥=31

所以52,

31+53

52

tan∠�𝑃=tan∠�𝛥+∠�𝑃=1−31×5=5

又,所以,解得,即,

𝑃𝛥+���+10�+103

设tan∠��,�=𝑃=,𝑃则=2525=5�=,5𝛥=5

2222

𝑃=ℎℎ∈0,25��=,所𝑃以在+𝑃=中ℎ,+15

2222

��=𝑃+��=ℎ+10△�𝛥

有,

2222

��+��−𝛥ℎ+150

42

令cos∠�𝛥=2��×��=ℎ+3,25所ℎ+以22500,

22

所以�=ℎ+150150≤�≤775ℎ=�−150,

�1

2375025

�−150+325�−150+22500

cos∠�𝛥==−�2+�+1

因为,所以,则要使最大,

111

150≤�≤775775≤�≤150∠�𝛥

即要取得最小值,即取得最大值,

1

375025375025

cos∠�𝛥=2

−�2+�+1−�+�+1

即在取得最大值,

375025111

2

−�+�+1775≤�≤150

令,,

1112

�=�∈775,150��=−3750�+25�+1

所以的对称轴为:,所以在单调递增,在单调递减,

11111

���=300��775,300300,150

所以当时,取得最大值,即最大,此时,即,

111

所以�=300,所�以�,即为获得∠�最�佳�的射门角度�(=即300最�大=)3,00

2

则射门ℎ时=甲15离0上方端ℎ线=的5距离6为:.∠�𝛥

故选:B.56

9.教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生

物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小

于.经测定,刚下课时,空气中含有的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为,

且0随.15时%间(单位:分钟)的变化规律可以0用.2函5%数描述,则该教室内的二氧化碳�%浓

−10

度达�到国家�标准需要的时间(单位:分钟)的最小�整=数0值.05为+(�e)�(∈参�考数据,)

A.B.�C.D.ln2≈0.693ln3≈1.098

【答7案】A91011

【解析】

由题意知:当时,,解得:,;

−10

�=0�=0.05+�=0.25�=0.2

令,即,即∴�=0.05+0.2e,

��

�1

−10−10

102

�=0.05,+0所.2需e时间<0(.1单5位:e分钟<)0的.5最小整−数值<为ln0.5.=ln=−ln2≈−0.693

∴故�选>:6A.9.3∴�7

10.充电电池是电动汽车的核心部件之一,如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池

充入的电量E(单位:)与充电时间t(单位:)满足函数,其中M表示电池

−��

的容量,k表示电池的充k电W效⋅h率,研究人员对A,B两个m型i号n的电池进行�充�电=测�试,1电−池eA的容量为,

充电充入了的电量;电池B的容量为,充电充入了的8电0量kW.设⋅h电

池A的30充m电in效率为40,k电W池⋅hB的充电效率为,则(60)kW⋅h15min20kW⋅h

A.�1B.�2C.D.大小关系无法确定

【答�案1>】B�2�1<�2�1=�2�1,�2

【解析】

由题意得,则,

−30�1−30�11

40=80(1−e)e=2

同理,则,得,

−15�2−15�22−30�241

由指数20函=数6单0(调1−性e得)e=,3即e.=9<2

故选:B−30�2<−30�1�1<�2

11.某公司通过统计分析发现,工人工作效率与工作年限(),劳累程度(),劳动动机

()相关,并建立了数学模型��.�已>知0甲、乙为该公司�的0员<工�,<则1下列说法正确�

−0.14�

的有1<(�<5)�=10−10�⋅�

A.甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强

B.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱

C.甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高

D.甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高

【答案】BCD

【解析】

设甲与乙的工人工作效率,工作年限,劳累程度,劳动动机,

12121212

对于A,,�,,�,�,�,�,��,�

�1

�1=�2�1>�2�1<�20<�2<1

∴,,

−0.14�2−0.14�1−0.14�2−0.14�1

1222112211

�−�=10�⋅�,−�⋅�>0�⋅�>�⋅�

−0.14�11

�2�1�1−0.14�

−0.14�2

122

所�以>�=,即�甲比乙劳>累1程度弱,故A错误;

对于�B2,>�1,,,

∴�1=�2�1>�2�1<�2,,

−0.14�2−0.14�1−0.14�2−0.14�1

1222112211

∴�−�=10�⋅�−�⋅,�>0�⋅�>�⋅�

−0.14�1

�2�1−0.14�1−�2

−0.14�2

�121

所以>�,=即甲�比乙劳累程度>弱1,故B正确.

对于�C2,>�1,,,

∴�1=�2�1>�2,�1>�2,

−0.14−0.14−0.14�2−0.14�2−0.14�1

则1>�2>�1>0�2>�1>�1,

−0.14�1−0.14�2−0.14�2−0.14�1

∴�1−�2,=即10甲−比1乙0�工1作⋅�效1率高,−故1C0−正1确0;�2⋅�2=10�1�2−�1>0

对于�1D>,�2,,,,

−0.14

∴�1=�2�1>,�2�1<�2,1<�<50<�2<1

−0.14�2−0.14�1

则�2>�1�2>�1>0,

−0.14�1−0.14�2−0.14�2−0.14�1

∴�1−�2,=即10甲−比1乙0�工1作⋅�效1率高,−故1D0−正1确0�;2⋅�2=10�2⋅�2−�1⋅�1>0

故选�1:>B�C2D.

12.边际函数是经济学中一个基本概念,在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,

函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台报警系统装置,生

产台��的收入�函�数����=��(+单1位−:�元�),其成本的数(单位:元),

∗2

利润�是�收∈入N与成本之差,设�利�润=函30数0为0�−20,�则以下说法正确的是(�)�=500�+4000

A.取得最大值时每月产量为台��

B.边�际�利润函数的表达式为63

C.利润函数与边际利润函��数�=24不80具−有4相0�同�的∈最N大值

D.边际利润�函�数说明随着产��量�的增加,每台利润与前一台利润差额在减少

【答案】BCD���

【解析】

对于A选项,,

2

二次函数的�图�象=开�口�向−下�,�对=称−轴2为0�直+线2500�−4000,

2500

40

因为�,�所以,取得最大值时每月产量�为=台=或62.5台,A错;

�∈N��6362

对于B选项,

22

���=,�B�对+;1−��=−20�+1+2500�+1−4000−−20�+2500�−4000

=对于248C0选−项40,��∈N,

因为函数��max=�62为=减�函6数3,=则74120,C对;

对于D选�项�,�因=为2函4数80−40��为�减�函m数ax,=��1=2440

说明边际利润函数�说�明�随=着2产48量0−的4增0加�,每台利润与前一台利润差额在减少,D对.

故选:BCD.���

13.函数在上有定义,若对任意,,有,则称在

�1+�21

122212

上具有性�质�M,设�,�在上具有性�质M�,∈则�下,�列说法�错误的是≥(��)+�����,�

A.在�上�的图像1,2是02连1续不断的

B.��在1,2021上具有性质M

2

C.对��任意1,,202,1,,有

�1+�2+�3+�41

1234441234

D.若在���处�取∈得最1,2小02值11011,�则≥,��+��+��+��

【答案�】�AB�=1011��=1011�∈1,2021

【解析】

对于A,设,在上具有性质M,但不连续,故A错误;

lg�,1≤�<2021

��=1,2021��

对于B,设0,,�在=2021上具有性质M,但在上不具备性质M,故B错误;

22

��=�1,2021��=�1,2021

对于C,�1+�2�3+�4

�1+�2+�3+�42+21�1+�2�3+�4

�4=�2≥2�2+�2

,故C正确;

1

41234

对≥于�D�,由+性�质�M+得�,�当+��时,,又因为,

,故�∈1,2021,��+�,20D22正−确�.≤2�1011=2022��≥1011

�故2选0:22A−B�≥1011��=1011�∈1,2021

14.某超市在“五一”活动期间,推出如下线上购物优惠方案:一次性购物在99元(含99元)以内,不享受

优惠;一次性购物在99元(不含99元)以上,299元(含299元)以内,一律享受九折优惠;一次性购物

在299元(不含299元)以上,一律享受八折优惠;小敏和小昭在该超市购物,分别挑选了原价为70元和

280元的商品,如果两人把商品合并由小昭一次性付款,并把合并支付比他们分别支付节省的钱,按照两人

购买商品原价的比例分配,则小敏需要给小昭___________元.

【答案】61.6##

308

5

【解析】

由题可得两人把商品合并由小昭一次性付款实际付款为元,

他们分别支付应付款为元,故节省70+280×0.8=元28,0

故小敏需要给小昭70+280×0.9=32元2.322−280=42

70

70+280

故答案为:61.6.70−42×=61.6

15.交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成,红灯表示禁止通行,绿灯表示准许通行,黄灯表示警示,黄灯

设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关.经过安全数据统计,驾驶员反应距离(单位:m)关

于车速v(单位:)的函数模型为;刹车距离(单位:m)关于车速v(�1单位:)的

函数模型为m/s,反应距离与�刹1车=距0.7离58之4和�称为停车距�离2,在某个十字路口标示小汽车最大m/限s速

2

�(2=约0.072�),路口宽度为,如果只考虑小车通行安全,黄灯亮的时间是允许最大限速的

�车=辆5离0k停m车/h线距离1小4m于/停s车距离的汽车通30过m十字路口,那么信号灯的黄灯至少要亮____________s(保留两

位有效数字).

【答案】

【解析】3.9

解:依题意当小汽车最大限速(约)时,

反应距离�=50km,/h刹车距14离m/s,

2

所以停车距�1离=为0.7584×14=10.6176m,�2=0.072×14=14.112m

又路口宽度为10,.61所7以6+14.112=24.7296m,

所以时间30m�=;24.7296+30=54.7296m

�54.7296

故答案为:�=�=14≈3.9s

16.某公司通3过.9统计分析发现,工人工作效率E与工作年限,劳累程度,劳动动机

相关,并建立了数学模型.�(�>0)�(0<�<1)�(1<

−0.14�

�已<知5甲)、乙为该公司的员工,给�出=下1列0四−个10结�⋅论�:

①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高;

②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高;

③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强:

④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是__________.

【答案】①②④

【解析】

设甲与乙的工人工作效率,工作年限,劳累程度,劳动动机,

对于①,,�,1,�2,�1,�2,�1,�2�1,�2

−0.14

∴�1=�2�1,>�2�1<�2,1<�<50<�2<1

−0.14�2−0.14�1

则�2>�1�2>�1>0,

−0.14�1−0.14�2−0.14�2−0.14�1

∴�1−�2,=即10甲−比1乙0�工1作⋅�效1率高,−故1①0正−确10;�2⋅�2=10�2⋅�2−�1⋅�1>0

对于�1②>,�2,,,

∴�1=�2�1>�2,�1>�2,

−0.14−0.14−0.14�2−0.14�2−0.14�1

则1>�2>�1>0�2>�1>�1,

−0.14�1−0.14�2−0.14�2−0.14�1

∴�1−�2,=即10甲−比1乙0�工1作⋅�效1率高,−故1②0正−确10;�2⋅�2=10�1�2−�1>0

12

对于�③>,�,,,,

�1

1212122

∴�=��>��<�0<�<1,,

−0.14�2−0.14�1−0.14�2−0.14�1

1222112211

�−�=10�⋅�,−�⋅�>0�⋅�>�⋅�

−0.14�11

�2�1�1−0.14�

−0.14�2

所�1以>�2=,即�2甲比乙劳>累1程度弱,故③错误;

对于�④2,>�1,,,

∴�1=�2�1>�2�1<�2,,

−0.14�2−0.14�1−0.14�2−0.14�1

1222112211

∴�−�=10�⋅�−�⋅,�>0�⋅�>�⋅�

−0.14�1

�2�1−0.14�1−�2

−0.14�2

�121

所以>�,=即甲�比乙劳累程度>弱1,故④正确.

故答案�2为>:�1①②④.

17.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳5元的管理费,

根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为元时,产品一年的销售量为(为自然对数的底数)万件.

e

已知每件产品的售价为40元时,该产品的一年销�售量为500万件,经物价部门核e定每件产品的售价最低

不低于35元,最高不超过41元.�

(1)求的值;

(2)求分�公司经营该产品一年的利润(万元)与每件产品的售价(元)的函数关系式;

(3)当每件产品的售价为多少元时,分��公司一年的利润最大,并求�出的最大值.

【答案】(1)����

40

(2)�=500⋅e

500�−35

�−40

��=e35≤�≤41

(3)36元,最大值为

4

【解析】500e

(1)由题意可知,已知每件产品的售价为40元时,该产品的一年销售量为500万件

即,解得,

4040

e=500�=500⋅e

(2)

40

500e

��=�−30−5×e

500�−35

��=�−4035≤�≤41

(3)e

5001−�+3550036−�

令,,令�'�=,�−40=�−40

ee

∴�'�在<区0间36<�上≤为41增函数�',�>0为35减≤函�数<36

即��时,35,3635,36

4

∴�当=每3年6产品的�售�价ma为x=3�6元36时=,5分0公0e司一年的利润最大,最大值为

4

18.运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米,按交通法规限制500e(单位千米/时),假设汽车

每小时耗油费用�为元,司机的工资是每小时元.(不考虑5其0≤他�因≤所1素00产生的费用)

2

(1)求这次行车总费(用24(+元7)0关)于(千米/时)的表达式;46

(2)当为何值时,这次�行车的总�费用最低?求出最低费用的值.

【答案�】(1)�

2100030�

�7

(2)当�时=,这次+行车的(5总0≤费用�≤最10低0),最低费用为元

【解析�=】70�600

(1)解:行车所用时间,汽油每小时耗油费用为元,司机的工资是每小时元,

2

300�

�=�(ℎ)(24+70)46

所以行车总费用为:;

2

300�3002100030�

�=�×(24+70)+46×�=�+7(50≤�≤100)

(2)因为,

2100030�2100030�

�=�+7≥2⋅�⋅7=600

当且仅当,即时,等号成立,

2100030�

�7

所以当时=,这次行�车=的70总费用最低,最低费用为元.

19.石宝�=寨7位0于重庆市忠县境内长江北�岸边,被称为“江上6明00珠”,国家AAAA级旅游景区,

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