2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题08导数的概念、运算与几何意义（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题08导数的概念、运算与几何意义

基础知识复习

1．导数与导函数的概念

Δyfx0＋Δx－fx0

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim＝lim，我们称它为函数

Δx→0ΔxΔx→0Δx

Δyfx0＋Δx－fx0

y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y｜，即f′(x0)＝lim＝lim.

xx0Δx→0ΔxΔx→0Δx

(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数

称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0

－

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα1

f(x)＝sinxf′(x)＝cosx

f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlna

1

f(x)＝lnxf′(x)＝

x

1

f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝

xlna

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

fx

f′xgx－fxg′x

(3)gx′＝(g(x)≠0)．

[gx]2

5．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于

y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【知识拓展】

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|

反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

典型习题强化

1．已知是定义在R上的可导函数，若，则（）

�2−�2+Δ�1

��Δl�im→0Δ�=2�'2=

A．0B．2C．D．

11

2−2

2．已知函数f（x）在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）

�2−�1

R2−1=�

A．B．

C．�'(1)<�<�'(2)D．�<�'(1)<�'(2)

3．已�'(知2)函<数�'(1)的<导�函数为，且满足�'(1)<�'(2)<，�则（）

A．��B．�'���C．=12��'1+ln��D'．1=

4．下−e列求导运算正确的是（−1）e

A．B．

'

���'�1

cos3=−sin3eln�=e�−ln�

C．D．

'1�'�

ln�=�3=3

5．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（）

14

��

A．8B．9�=�−�C�．=10ln(�+�)D．+13

6．曲线在点处的切线方程为（）

3

A．�=�+1B．−1,�C．D．

7．已�知=P3是�+曲3线�=3�+1上的一�动=−点3，�曲−线1C在P点处�的=切−线3�的−倾3斜角为，若，

2��

3≤�<2

则实数a的取值范�:围�=是（ln�+�）+3−���

A．B．C．D．

23,022,0−∞,23−∞,22

8．过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（）

�

A．�1,��∈RB．���C=．�e�D．�

551

22

eee

9．若−函数<�<e的图象上−存在<两�个<不0同的点，−，使<得�曲<线0在这�两<点e处的切线重合，则称函数

为“自�重=合�”函�数.下列函数中既是奇函数又�是�“自重合”函数�的=是�（�）�=

A�．�B．

3

C．�=ln�+�D．�=�

10．�若=直�线−cos�与曲线相切，直�=线�+sin�与曲线相切，则的值为

�

（）�=�1�+1−1�=e�=�2�+1−1�=ln��1�2

A．B．1C．eD．

12

2e

11．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线

分别与y轴交于点A，B，则�下=列|l结n�论|正确的是（）�1,�2�1,�2

A．P1、P2两点的横坐标之积为定值

B．直线P1P2的斜率为定值

C．线段AB的长度为定值

D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]

12．若曲线在处的切线与直线互相垂直，则（）

A．��=�sin�−1�=πB．��+2�+1=0

C．�'�=sin�−�cos�D．�'�=sin�+�cos�

2

π

13．�设'π函数=−π的导函�数=−存在两个零点、，当变化时，记点

2−�

构�成�的=曲线�为+��，+点�e�∈R构成的曲线�为'�，则（）�1�2�1>�2�

A�．1,曲�线�1恒在轴上方�1�2,��2�2

B．曲线�1与有�唯一公共点

C．对于任�1意的�2实数，直线与曲线有且仅有一个公共点

D．存在实数，使得�曲线�、=�分布在�直1线两侧

14．已知函数��1�2，则�=曲−线�+�在点处的切线恒过定点____________

2

_.��=�ln�−��+��∈R�=��1,�1�

15．已知，则曲线在处的切线方程为________．