2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题09导数与函数的单调性（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题09导数与函数的单调性

基础知识复习

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y

＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调

递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小

值．

【知识拓展】

1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，

b)上的任何子区间内都不恒为零．

3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

典型习题强化

1．已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，

�(�)�'��∈0,+∞)2��+��'�>0

则下列结论正确的是（）

A．B．C．）D．

2．函�数0<0的单9调�减−3区间<是�（1）4�2>�(−1�1<�2

1�

2

A．��=�−eB．

C．(−∞,ln2)D．(ln2,+∞)

3．若(–函∞,数2)在区间上单(调2,递+增∞，)则实数a的取值范围是（）

1

2

A．�(�)=sin2B�．+�cos�(0,�)C．D．

4．已(−知∞函,数−1][−1,+∞)(−∞,−的1单)调递减区间是[1,+∞，)则（）

322

A．3��=��B．+3�−1�−�+C1．�2>0D．0,4�=

11

32

5．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列判断正确的是（）

���'�

A．在区间上，是增函数B．在区间上，是减函数

C．为−1的,1极小值�点�D．2为−的3,极−大2值点��

6．函−数2��在定义域内可导，图像如图所示�，�记的导函数为，则不等式

3

的解集�为=（��）−2,3�=���=�'��'�≥

0

A．B．

1148

−3,1⋃2,3−1,2∪3,3

C．D．

313148

−2,−3∪1,2−2,−3∪3,3

7．已知函数有最小值，且最小值为负数，则m的取值范围是（）

�

��=ln�+�

A．（0，1）B．

1

e

C．（0，e）D．（0,，+∞）

8．已知函数，若恒成立，则的最小值是（）

�

�

A．��=ln�B−．��−1−�−1�≠C．0,�∈�∀�>0,�D�．≤0

−1−2

9．函1数+�1−的�一个单调递增区间1为−�，，则减区间e是（）

3

A．�(�)=2�−�B�．+6C．[1+∞)D．，

10．(已−知∞函,0数)(−1，,1)下列命题：（1）(当0,1)时，函数(−一∞,定1)存在(0极,1小)值；（2）当

时，方程��有=且(�只+有�)一ln个�零点（3）函数�<可0能既有极�小=值�，(�也)有极大值；（4）函数�>0

可能为单调��递增=函0数；则正确命题的个数是（�=）�(�)�=�(�)

A．1B．2C．3D．4

11．函数，下列说法正确的是（）

�

A．当��时=，e−�在cos�处的切线的斜率为1

B．当�=1时，��在0,��上单调递增

C．对任�=意1��在−π,+∞上均存在零点

D．存在�>0,�'在�−π,+∞上有唯一零点

12．下列�命<题0为,�真'�命题的−π个,+数∞是（）

A．B．

π

e

C．ln3<3ln2D．ln�<

15

13．2已知<15，若不等式3eln2<42在上恒成立，则a的值可以为（）

2�−11211

2ln��−1

A．�(�)=�−1B．e−�C�．1>�(1,+D∞．)

14．−已知2定义在区间上−1的函数，则的单调递增2区间是__________．

15．若函数(0,�)在�(�，)=�上si单n�调+递co增s�，则实�(数�)的取值范围是____

2�13

��=�+��+5e22�

16．已知，则下列说法正确的有______________

|�|

�

�

①函数�(�)=有唯一零点x=0

②函数�=�(�)的单调递减区间为和

③函数�=�(�)有极大值点(−∞,−1)(1,+∞)

1

�=�(�)1,�

④若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是

1

�(�)=�0,e

17．已知函数.

�

(1)当时ℎ，�求函=数�e−�的�单,�调�区=间l：n�+�+1

(2)若�=1在ℎ�恒成立，求实数的取值范围.

18．已ℎ知�函⩾�数��∈0,+∞�.

12