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文档简介
高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)
专题10导数与函数的极值、最值
基础知识复习
1.函数的极值
(1)函数的极小值:
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附
近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附
近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单
调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
3常用结论
1.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最
值.
3.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
典型习题强化
1.已知函数,下列说法错误的是()
�
�(�)=ln�
A.在x=e处的切线方程为y=eB.函数的单调递减区间为
C.�(�)的极小值为eD.方程�(�)有2个不同的(解0,e)
【答�案(�】)B�(�)=3
【解析】
函数定义域为,求导得:,
�ln�−1
2
�(�)=ln��'(�)=(ln�)
对于A,,而(0,1)∪(,1,则+函∞数)在x=e处的切线方程是,A正确;
对于B,当�'(e)=0或�(e)=e时,�(�),则的单调递减�区=间e为,,B不正确;
0<�<11<�<e�'(�)<0�(�)(0,1)(1,e)
对于C,当时,,由选项B的信息知,当时,取得极小值e,C正确;
对于D,令�>e�'(�)>,当0时,,�恒=有e�(�),
由选项B,C�(知�),=函�(数�)−3在0<上单�<调1递减,�在(�)<0上单�调(�递)增<,0,
min
而�,(即�)存在(1,e],使[e,+∞,又)�(�),存=在e−3<0,使
2
2e2
1122
,�(e)=2e−3>0�∈(e,e)�(�)=0�(e)=2−3>0�∈(e,e)�(�)=
0因此函数有2个零点,则方程有2个不同的解,D正确.
故选:B�(�)�(�)=3
2.若函数()=有大于零的极值点,则的取值范围为()
�−�
A.��e+e−��B.�
C.0,+∞D.−∞,,0
【答案e,】+∞A−∞e
【解析】
原命题等价于有大于零的零点,显然在上单调递增,又因为时,
�−�
,�所'以�=e−e−�,所以�'��∈0,+∞�→+∞
�故'选�:→A+.∞�'0=−�<0�>0
3.已知函数,若是的极小值点,则实数的取值范围是()
2�
A.��=��B−.4�+1�+4�+3Ce.�=2��D.�
21
32
【答案−∞】,B,+∞−∞,0−1,+∞
【解析】
由得,令
2���
��=��−4�,+1�+4�+3e�'(�)=��−1�−2e�'(�)=��−1�−2e>0⇒
若��−1,�则−2>0,此时在单调递增,在单调递减,这与
111
���
�<是0的��极−小1值�点−矛2盾>,0故⇒舍去<.�<2<�<2�>2,�<
�若=2,�可�知是的极大值点,故不符合题意.
若�=0,�=2��,此时在单调递增,在单调递减,
1111
2���
可知>�>0是��−的1极大�值−点2,>故0不⇒符�合<题2,意�>.�(�)�<2,�>2<�<
当�=,2,��,此时在单调递增,在单调递减,
1111
2���
可知�>是��−的1极�小−值2点>,0符⇒合�题>意2.,�<�(�)�>2,�<2>�>
�=2��
若,在定义域内单调递增,无极值,不符合题意,舍去.
1
�=2�(�)
综上可知:
1
2
故选:B�>
4.定义在R上的函数的导函数为,且的图像如图所示,则下列结论正确的是()
'
�(�)�(�)��'(�)
A.函数在区间上单调递减B.函数在区间上单调递减
C.函数�(�)在(处−取1,0得)极大值D.函数�(�)在(−处1,5取)得极小值
【答案】�D(�)�=5�(�)�=−1
【解析】
由图像知:当时,,当时,,当
时,�∈−∞,−1,��'(�)>0,�'(�)<0�∈−1,0��'(�)<0,�'(�)>0�∈0,5∪
则5,函10数�在�'区(�间)<0,�'(�上)<单0调递增,A错误,B错误;
函数�(在�)区间(−1,0)上单调递减,C错误;函数在单减,在上单增,在
处取得�(�极)小值,(D0,正5)确,(5.,10)�(�)−∞,−1(−1,0)�=−1
故选:D.
5.已知,,若,则当取得最小值时,所在区间是()
�
A.��=ln��B�.=e��=��C.�−�D.��
11111
3ee22
【答案,】D,ln2,1,ln2
【解析】
令,即,
�
∴�(�)=,�(�)=�,e=ln�=�>0
�
∴�=ln��=e,
�
�−�=e−ln�(�>0)
令,则,
��1
ℎ�=e−ln�ℎ'�=e−�
令,则,
11
��2
��=e−��'�=e+�
∴在上单调递增,且,
1
∴存�在�唯一0,+∞使得,�1=e−1>0�2=e−2<0
0
当�=时�,ℎ',�=0,当时,,,
�1�1
00
∴0<�<�,e<�ℎ'�<0�>�e>�ℎ'�>0
即ℎ��取��得=最ℎ小(�0值)时,,
0
由零�−点�的存在定理验证�(�)=�=�的根的范围,
�01
e−�0=0
当时,,当时,,
1�01�01
�0=2e−�0<0�0=ln2e−�0>0
故,
1
0
故选�:∈(.2,ln2)
6.如图D,在边长为3的正方形ABCD中,E,F,G分别是边AB,AD,CD上的动点(不含端点),若
△𝐴�
,则的最大值为().�=
��
�△𝐴�=3��
A.B.C.D.
32176416
81278127
【答案】C
【解析】
设,,则.
6
��=���=�𝐴=�
因为,即,解得,又,
6
所以0<𝐴<.30<�<3�>2�<3
由图知2:<�<3,,,
6
��=3−���=3−�𝐺=3−�
由,得,
161
�△𝐴�=�△𝐴�=32×3−�+3−�×3+2×3−�×�=3
则,所以.
1218���121862�−3
2233
�=�−���=�=�−�=�
令,,则,
62�−369−4�
34
��=�2<�<3�'�=�
当时,单调递增,当时,单调递减,
99
�∈2,4���∈4,3��
则,即的最大值为.
964��64
max481��81
故选��:C=�=
7.若函数最小值为,最小值为,则+=()
�−2
�e
A.-2��=�e−Bl.n�0−�−2�C.�2�=�+ln�−�D.-4���
【答案】A
【解析】
由题意知:、定义域均为;
����0,+∞,
�1��+1�1
�'�=�+1e−�−1=�+1e−�=�+1e−�
在上单调递增,在上单调递减,
�1
∵�=e0,+∞�=�0,+∞
在上单调递增,
�1
∴�=e−�0,+∞
又当时,,当时,,
1
�=2�=e−2<0�=1�=e−1>0
,使得,此时,,
1�11�11
11111
∴当∃�∈2,1时,e−�;=当0e=�时,ln�=−�;
∴�∈在0,�1上单�调'�递<减0,在�∈�1,+上∞单调递增�',�>0
∴��0,�1�1,+∞;
�1
min111111
∴�=��=��=�e−ln�−;�−2=1+�−�−2=−1
�−2�−2
�−1e1�−1e−�
22
令�'�=�+,�−则1=�,令,解得:,令,解得:
�−2�−2
ℎ�在=e上−单�调递ℎ减',�在=e−1上单调ℎ'递�增>,0�>2ℎ'�<00<�<2
又∴ℎ�0,2,2,+∞,,,
−212
ℎ0=e,>0ℎ1=,e−使1得<0ℎ3,=e−3<0,ℎ4=e−4>0
∴即∃�2∈0,1,∃�3∈3,4,ℎ�2=0,ℎ�3=0;
�2−2�3−2
e=�2e=�3∴�2−2=ln�2�3−2=ln�3
当时,单调递减;当时,单调递增;当时,单调递减;当
∴时�,∈0,�2单调递�增�;�∈�2,1���∈1,�3���∈�3,+
∞的�极�小值,,
�2−2�3−2
ee
222333
∴����;=�2+ln�−�=−1��=�3+ln�−�=−1
∴�=��min.=−1
∴故�选+:�A=.−2
8.已知函数在上有最小值,则实数的取值范围为()
�2
A.��=e+B.��+2���∈0,+C∞.D.�
1e11
2222
【答案,】+D∞−,−−1,0−∞,−
【解析】
解:,
�2
∵�(�)=e+��+,2��
�
∴若�函'(数�)=e在+2��+2�上有最小值,
即在�(�)�∈先(0递,+减∞再)递增,
即�(�)在(0,+∞)先小于0,再大于0,
'
令�(�)(0,,+得∞),
�
令�'(�)<0,e<−2�(�+1),
�
只需�(�)=的e斜率ℎ(�)=大−于2�过(�+1)的的切线的斜率即可,
设切点ℎ(�是),−2,�(−1,0)�(�)
�0
则切线方程(�0是:e),
�0�0
将代入切�线−方e程=得e:(�−�,)
故切(−点1是,0),切线的斜率是�01=,0
只需(0,1)即可,解得,即,
11
22
故选:−2D�.>1�<−�∈−∞,−
9.已知是函数(且)的3个零点,则
���3
的取值范�1围,�2是,�(3�1<)�2<�3�(�)=��+1+��−1�∈��≠0�+�1
A.B.
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
【答(案2,】+B∞)[2,+∞)
【解析】
因为,设,
则�0=0��0=0
−�0−�0−�0�0�0
�−�0=−�0�.+1+��−1=�−�01+�+�1−�
−�0
=因−为���0=0,所以,,
所以�1<�2<�3.�2=0�3=−�1>0
�3�3
设�+�1=�−�3,,
��
所以��=在�−��>为0增函�数'�,即=�−1>0.
所以��0的,+取∞值范围是�,�>�0=1
�3
故选:�B+�11,+∞
10.已知函数若,且,则的最大值是()
�
e−1,�⩾0,
��=�<���=���−�
A.�B+.11,�<0,C.2D.
【答ln案2】Bln3
【解析】
作出图象,如图,
�
e−1,�⩾0,
��=
�+1,�<0,
设,则,由,得,
�
所以��=�+1=��=�−.1��=e−1=��=ln�+1
设�−�=ln�+1−�−1,则,
�
�+1
所以��=在ln�+上1单−调�递−减1,,�则∈0,1�'�=−.<0
故选:�B�0,1�(�)max=�0=1
11.对于函数,下列说法正确的是()
ln�
2
��=�
A.在处取得极大值
1
2�
B.��有两�=个不�同的零点
C.��
D.�若2<�π在<�3上恒成立,则
1�
2
��>2
【答案�】�AC<D�−0,+∞
【解析】
【解】A选项,,定义域为,,令,解得,
ln�1−2ln�
23
当时�,�=�,函数0,+在∞∴上�'单�调=递增�,�'�=0�=�
当0<�<时,��'�,>0函数∴在��0,�上单调递减,
函�数>在��'时�取<得0极大∴值也是��最大值�,+∞,故A对,
1
∴�=���=2�
B选项,时,,,当时,如下图所示:
1
∵0<�<1��<0�1=0�(�)max=��=2�>0�>1��>0
函数有且只有唯一一个零点,故B错,
C∴选项�,�当时为单调递减函数,,
∵�>���,∴�π<�3,故C对,
ln2ln2
∵�2=2=4=�(2)<�(π)∴�2<�π<�3
D选项,,故,由于函数在上恒成立,
11ln�+1
222
∵��<�−��>��+�=�0,+∞
,设,定义域为,则,
ln�+1ln�+1−2ln�−1
223
∴�>�max��=�0,+∞�'�=�
设,解得,单调递增,单调递减,
11
�'�=0�=�∴�∈(0,�),�'�>0,�(�)�∈(�,+∞),�'�<0,�(�)
,故,故D对.
1���
∴��max=��=�−2=2�>2
故选:ACD.
12.对于函数,下列选项正确的是()
ln�
��=�
A.函数极小值为,极大值为
11
��−ee
B.函数单调递减区间为,单调递增区为
C.函数��最小值为为,最−∞大,值−e∪e,+∞−e,0∪0,e
D.函数��存在两个零−点e1和e
【答案】�A�D−1
【解析】
的定义域为,
ln�
��=�(−∞,0)⋃(0,+∞)
所以,
ln−�ln�
�(−�)=−�=−�=−�(�)
所以为奇函数,
ln�
��=�
当时,,,
ln�1−ln�
2
令�>0,�解�得=�,�'(�)=�
当�'(�)=0时,�=e,则为单调递增函数,
当�∈(0,e)时�,'(�)>0,�则(�)为单调递减函数,
因为�∈(e,为+奇∞)函数,�'图(�象)<关0于原点�(对�)称,
所以�(�)在上单调递减,在是单调递增,
所以�(�)的(极−小∞值,−为e)(−,e极,0大)值为,故A正确;
ln−e1lne1
−eeee
的�(单�)调递减区间为�(−e)==−,单调递增�区(e)为==,故B错误;
�(�)在−∞无,最−值e,,e故,+C∞错误;−e,0,0,e
�令�(−∞,,0解)⋃得(0,+∞),结合的单调性可得,存在两个零点1和,故D正确.
故选��:A=D0�=±1�(�)��−1
13.已知函数�,下列选项正确的是()
�
e�e,�≤1
��=
A.点是函数的�,零�>点1
B.0,0��,使
C.函∃�数1∈0,1的,值∃�域2为∈1,3��1>��2
−1
D.若关�于�x的方程−e,+∞有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是
21
2e
【答案】CD��−2���=00,+∞∪−
【解析】
解:对于A,因为,所以是函数的零点,故A错误;
对于C,当时�,0=0,�则=0��,
��
当时�,≤1�,�当=�e�'�时,=�+1e,
所以�<函−数1在�'�<0上递−1减<,�在<1上�'递�增>,0
所以��−∞,−1,−1,1
−1
又当��min=时�,−1=−e,,
故当�→−∞时,��→0−�,e=e
−1
当�≤时1,��∈,−则e,e,
��
ee�−1
2
所以�>函1数�在�=�上�递�增,=�>0
故��1,,+∞
故当��>�时1,=e,
综上所�>述1,函数��∈的值e,域+为∞,故C正确;
−1
��−e,+∞
对于B,由C可知,函数在上递增,在上递增,
则,��0,11,3
所以��不1存<在e,��2>e,使,故B错误;
对于D,关于�1x∈的0方,1程,∃�2∈1,3��1>有�两�个2不相等的实数根,
2
即关于x的方程��−2��有�两=个0不相等的实数根,
所以或����−2�,=0
由C�知�,方=程0��−2只�有=一0个实数根,
所以方程��=0也只有一个实数根,
即函数��−与2�函=数0的图象只有一个交点,
如图,画�=出�函�数�=的2简�图,
则或�=�,�
1
2�=−e2�>0
所以或,
1
�=−2e�>0
所以实数a的取值范围是,故D正确.
1
2e
故选:CD.0,+∞∪−
14.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小
32
值的和为__�__�___=.2�−��−1�∈R−∞,0��−1,1
【答案】
【解析】3
当时,由可得,令,其中,
11
22
�<0��=0�=2�−���=2�−��<0
则,由,可得,列表如下:
3
22�+1
33
�'�=2+�=��'�=0�=−1
�−∞,−1−1−1,0
�'�+0−
增极大值减
��−3
如下图所示:
因为在内有且只有一个零点,则,
32
所以,��=2�−��−1�,∈则R−∞,0,�=−3
322
当��=2时�,+3�−1,此�时'函�数=6�单+调6�递=减6,��+1
当−1<�<0时,�'�<0,此时函数��单调递增,
则当0<�<1时,�'�>0�,�
又因为�∈−1,1,��min=,�所0以=,−1,
因此,�−1在=0�上1的最=大4值与最小�值�的m和ax为=4.
故答案为��:.−1,1−1+4=3
15.若函数3在区间上有最大值,则实数的取值范围是__________.
32
【答案】�(�)=�−3�(�−12,�)�
【解析】−1,2
,
32
∵令�(�)=�−解3得�∴�'(�)=;3�令−3,解得或
由此�'(可�)得<0在−1<�<上1时增�函'(�数),>在0�上>是1减函�数<,−在1上是增函数,
故函数在�(�)(处−有∞极,−大1)值,在处有(极−小1,值1),(1,+∞)
�=−1�=1
2,解得
�−12<−1
∴�>−1−1<�≤2
故答�(案�)为≤:�(−1)
16.已知函数−1,2的定义域是,关于函数给出下列命题:
�
①对于任意��=e−,�函ln数�存在最小0,值+;∞��
②对于任意�∈0,+∞,函数��是上的减函数;
③存在�∈−∞,,使0得对于任��意的0,+∞,都有成立;
④存在�∈−∞,0,使得函数有�两∈个0零,+点∞.��>0
其中正确�∈命题0,的+序∞号是______.��
【答案】①④
【解析】
解:定义域为,.
���
∵��=e−�ln�(0,+∞)∴�'�=e−�
当时单调递增,值域为R,所以存在,使,
��
0
当�∈(0,+∞时)�'�=e,−�时,所以在�上∈单0,调+递∞减,在�'�=0上单调递增,则
0<为�函<数�的0最�小'�值,<故0①�正>确�0;�'�>0�(�)(0,�0)(�0,+∞)
�若(�最0)小值,即,又,即,即时函数
�0�0�0�0
有两个零点�(�,0)<0e−�ln�0<0�=�0ee−�0eln�0<01−�0ln�0<0��
令,则,当时,当时,
11
��=�ln��'�=1+ln�0<�<e�'�<0�>e�'�>0
所以在上单调递减,在上单调递增,所以,
1111
eeminee
所以存�在�使0得,,即存在,+∞,使得函数��有两=个�零点,=−故④正确.
当�0时�0,ln�0>1恒成立�,∈故0,+∞是上的�增�函数,故②错误;
因为�∈(−∞,,0当)�'�>时0,当�(�)0,+∞时,则,且当时,
�+
所以不e存>在10<�<,1使得ln对�于<任0意的�∈(−∞,0),都−�有>0−�成ln立�,<故0③错误�;→0ln�→−∞
故答案为:�①∈④.−∞,0�∈0,+∞��>0
17.已知函数,.
1−�2
(1)若,求��=的e最小+值�;�−1�∈R
1
�=2��
(2)若当时,恒成立,求a的取值范围.
1
�
【答案】�>(1)11��>+ln�
(2)
1
【解2析,+】∞
(1)当时,,
11−�12
所以�=2�(�)=e,易+知2�单−1调递增,且,
1−�'
当�'(�)=−e时,+�,�(当�)时�,'(1)=0,
所以�∈(−在∞,1)�上'(单�)调<递0减,�在∈(1,+∞上)单调�递'(�增)>,0
所以�(�)的(最−小∞值,1为).(1,+∞)
(2)设�(�)�(1)=1,由题意对任意恒成立.
1−�21
�(�)=e+��−1−�−ln��(�)>0�∈(1,+∞)
,
11
1−�2
�'(�)=−e+2��+�−�
若,则,则存在,使得当时,,
1
00
所以�<2在�'(1)上=单2�调−递1减<,0�>1�∈1,��'(�)<0
故当�(�)(1,�时0),,不符合题意.
0
若�∈,1由,��(�)知<当�(1)=时0,,所以,
1��−11−�1
�≥2�>�+1�>0e>�>0e<�
当时,,
32
1−�11111�−2�+1�−2�+1
2222
因此�>1在�'(�)=上−单e调递+增2�.�又+�−�>−,�+�+�−�=�>�>0
所以当�(�)(1时,+,∞).�(1)=0
综上,�的>取1值范围�(是�)>0.
1
2
18.已知�函数,+∞.
�
(1)当时,�求�函=数e−��−的1极�值∈;R
(2)若函�=数1�=��在无零点,求实数a的取值范围.
【答案】(�1()极�)小=值�(为�)+,ln无�极−大e值1,+∞
(2)2
【解�∈析】−∞,e+1
(1)由题知,当时,,
�
∴�=,1令�(�)=,e−(.�−1)�∈R
�
∴�'�=e−时1,�'�=,0�=单0调递减;
�∈−∞,0时,�'�<,0��单调递增.
�∈0,+∞�'�>0��
∴是的极小值点,∴的极小值为,无极大值.
(2)�由=题0知�����0=2,
�
∴�(�)=�(�,)+ln�;−e令=e−�(�−1)+,ln�−e�>1
�1�1
�'�=e−�+��>1ℎ�=e−�+��>1
∴,∵,∴恒成立,
1
�2
∴ℎ'�单=调e递−增�,即�>1单调递ℎ增'�.>0
①ℎ当�时,∴�'�,∴单调递增
∴�≤e+1恒�成'立�,>即�'1在=e+1−�上≥无0零点,�∴�.
②�当�>�1时=,0令�,�1,,+∞,又�∈−单∞调,e递+增1,
∴�>e+时1,�'�,=0�=�0�时0,∈1,+∞,�'�
∴�∈在1,�0�'时�单<调0递减�∈,�0,+∞时�',�单>调0递增,
∴���∈1,�0,又�∵∈�0,+∞时,
∴��min=��0,<�1=0,即�→在+∞�上�有零→+点∞,不合题意;
综上∃�所1∈述�0,+∞��1.=0��1,+∞
19.已知函�∈数−∞,e+1,其中且
32
(1)当时,�求�函=数��+的�极−值��;�∈R�≠0
(2)求函�=数1��的单调区间;
��3
��
(3)若存在��=−,ln使�函数,在处取得最小值,试求
的最大值.�∈−∞,−1ℎ�=��+�'��∈−1,��>−1�=−1�
【答案】(1)极大值为,极小值为
15
327
(2)答案见解析�−1=1�=−
(3)
17−1
【解析2】
(1)当时,,则,
32'2
当�=1��=�+�时−,���;=当3�+2�−时1=,3�−1;�+1
11
∴�∈−∞,−1⋃3,+∞�'�>0�∈−1,3�'�<0
在,上单调递增,在上单调递减,
11
∴��−∞,−13,+∞−1,3
的极大值为
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