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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题10导数与函数的极值、最值

基础知识复习

1.函数的极值

(1)函数的极小值:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附

近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值:

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附

近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

2.函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单

调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

3常用结论

1.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.

2.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最

值.

3.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

典型习题强化

1.已知函数,下列说法错误的是()

�(�)=ln�

A.在x=e处的切线方程为y=eB.函数的单调递减区间为

C.�(�)的极小值为eD.方程�(�)有2个不同的(解0,e)

【答�案(�】)B�(�)=3

【解析】

函数定义域为,求导得:,

�ln�−1

2

�(�)=ln��'(�)=(ln�)

对于A,,而(0,1)∪(,1,则+函∞数)在x=e处的切线方程是,A正确;

对于B,当�'(e)=0或�(e)=e时,�(�),则的单调递减�区=间e为,,B不正确;

0<�<11<�<e�'(�)<0�(�)(0,1)(1,e)

对于C,当时,,由选项B的信息知,当时,取得极小值e,C正确;

对于D,令�>e�'(�)>,当0时,,�恒=有e�(�),

由选项B,C�(知�),=函�(数�)−3在0<上单�<调1递减,�在(�)<0上单�调(�递)增<,0,

min

而�,(即�)存在(1,e],使[e,+∞,又)�(�),存=在e−3<0,使

2

2e2

1122

,�(e)=2e−3>0�∈(e,e)�(�)=0�(e)=2−3>0�∈(e,e)�(�)=

0因此函数有2个零点,则方程有2个不同的解,D正确.

故选:B�(�)�(�)=3

2.若函数()=有大于零的极值点,则的取值范围为()

�−�

A.��e+e−��B.�

C.0,+∞D.−∞,,0

【答案e,】+∞A−∞e

【解析】

原命题等价于有大于零的零点,显然在上单调递增,又因为时,

�−�

,�所'以�=e−e−�,所以�'��∈0,+∞�→+∞

�故'选�:→A+.∞�'0=−�<0�>0

3.已知函数,若是的极小值点,则实数的取值范围是()

2�

A.��=��B−.4�+1�+4�+3Ce.�=2��D.�

21

32

【答案−∞】,B,+∞−∞,0−1,+∞

【解析】

由得,令

2���

��=��−4�,+1�+4�+3e�'(�)=��−1�−2e�'(�)=��−1�−2e>0⇒

若��−1,�则−2>0,此时在单调递增,在单调递减,这与

111

���

�<是0的��极−小1值�点−矛2盾>,0故⇒舍去<.�<2<�<2�>2,�<

�若=2,�可�知是的极大值点,故不符合题意.

若�=0,�=2��,此时在单调递增,在单调递减,

1111

2���

可知>�>0是��−的1极大�值−点2,>故0不⇒符�合<题2,意�>.�(�)�<2,�>2<�<

当�=,2,��,此时在单调递增,在单调递减,

1111

2���

可知�>是��−的1极�小−值2点>,0符⇒合�题>意2.,�<�(�)�>2,�<2>�>

�=2��

若,在定义域内单调递增,无极值,不符合题意,舍去.

1

�=2�(�)

综上可知:

1

2

故选:B�>

4.定义在R上的函数的导函数为,且的图像如图所示,则下列结论正确的是()

'

�(�)�(�)��'(�)

A.函数在区间上单调递减B.函数在区间上单调递减

C.函数�(�)在(处−取1,0得)极大值D.函数�(�)在(−处1,5取)得极小值

【答案】�D(�)�=5�(�)�=−1

【解析】

由图像知:当时,,当时,,当

时,�∈−∞,−1,��'(�)>0,�'(�)<0�∈−1,0��'(�)<0,�'(�)>0�∈0,5∪

则5,函10数�在�'区(�间)<0,�'(�上)<单0调递增,A错误,B错误;

函数�(在�)区间(−1,0)上单调递减,C错误;函数在单减,在上单增,在

处取得�(�极)小值,(D0,正5)确,(5.,10)�(�)−∞,−1(−1,0)�=−1

故选:D.

5.已知,,若,则当取得最小值时,所在区间是()

A.��=ln��B�.=e��=��C.�−�D.��

11111

3ee22

【答案,】D,ln2,1,ln2

【解析】

令,即,

∴�(�)=,�(�)=�,e=ln�=�>0

∴�=ln��=e,

�−�=e−ln�(�>0)

令,则,

��1

ℎ�=e−ln�ℎ'�=e−�

令,则,

11

��2

��=e−��'�=e+�

∴在上单调递增,且,

1

∴存�在�唯一0,+∞使得,�1=e−1>0�2=e−2<0

0

当�=时�,ℎ',�=0,当时,,,

�1�1

00

∴0<�<�,e<�ℎ'�<0�>�e>�ℎ'�>0

即ℎ��取��得=最ℎ小(�0值)时,,

0

由零�−点�的存在定理验证�(�)=�=�的根的范围,

�01

e−�0=0

当时,,当时,,

1�01�01

�0=2e−�0<0�0=ln2e−�0>0

故,

1

0

故选�:∈(.2,ln2)

6.如图D,在边长为3的正方形ABCD中,E,F,G分别是边AB,AD,CD上的动点(不含端点),若

△𝐴�

,则的最大值为().�=

��

�△𝐴�=3��

A.B.C.D.

32176416

81278127

【答案】C

【解析】

设,,则.

6

��=���=�𝐴=�

因为,即,解得,又,

6

所以0<𝐴<.30<�<3�>2�<3

由图知2:<�<3,,,

6

��=3−���=3−�𝐺=3−�

由,得,

161

�△𝐴�=�△𝐴�=32×3−�+3−�×3+2×3−�×�=3

则,所以.

1218���121862�−3

2233

�=�−���=�=�−�=�

令,,则,

62�−369−4�

34

��=�2<�<3�'�=�

当时,单调递增,当时,单调递减,

99

�∈2,4���∈4,3��

则,即的最大值为.

964��64

max481��81

故选��:C=�=

7.若函数最小值为,最小值为,则+=()

�−2

�e

A.-2��=�e−Bl.n�0−�−2�C.�2�=�+ln�−�D.-4���

【答案】A

【解析】

由题意知:、定义域均为;

����0,+∞,

�1��+1�1

�'�=�+1e−�−1=�+1e−�=�+1e−�

在上单调递增,在上单调递减,

�1

∵�=e0,+∞�=�0,+∞

在上单调递增,

�1

∴�=e−�0,+∞

又当时,,当时,,

1

�=2�=e−2<0�=1�=e−1>0

,使得,此时,,

1�11�11

11111

∴当∃�∈2,1时,e−�;=当0e=�时,ln�=−�;

∴�∈在0,�1上单�调'�递<减0,在�∈�1,+上∞单调递增�',�>0

∴��0,�1�1,+∞;

�1

min111111

∴�=��=��=�e−ln�−;�−2=1+�−�−2=−1

�−2�−2

�−1e1�−1e−�

22

令�'�=�+,�−则1=�,令,解得:,令,解得:

�−2�−2

ℎ�在=e上−单�调递ℎ减',�在=e−1上单调ℎ'递�增>,0�>2ℎ'�<00<�<2

又∴ℎ�0,2,2,+∞,,,

−212

ℎ0=e,>0ℎ1=,e−使1得<0ℎ3,=e−3<0,ℎ4=e−4>0

∴即∃�2∈0,1,∃�3∈3,4,ℎ�2=0,ℎ�3=0;

�2−2�3−2

e=�2e=�3∴�2−2=ln�2�3−2=ln�3

当时,单调递减;当时,单调递增;当时,单调递减;当

∴时�,∈0,�2单调递�增�;�∈�2,1���∈1,�3���∈�3,+

∞的�极�小值,,

�2−2�3−2

ee

222333

∴����;=�2+ln�−�=−1��=�3+ln�−�=−1

∴�=��min.=−1

∴故�选+:�A=.−2

8.已知函数在上有最小值,则实数的取值范围为()

�2

A.��=e+B.��+2���∈0,+C∞.D.�

1e11

2222

【答案,】+D∞−,−−1,0−∞,−

【解析】

解:,

�2

∵�(�)=e+��+,2��

∴若�函'(数�)=e在+2��+2�上有最小值,

即在�(�)�∈先(0递,+减∞再)递增,

即�(�)在(0,+∞)先小于0,再大于0,

'

令�(�)(0,,+得∞),

令�'(�)<0,e<−2�(�+1),

只需�(�)=的e斜率ℎ(�)=大−于2�过(�+1)的的切线的斜率即可,

设切点ℎ(�是),−2,�(−1,0)�(�)

�0

则切线方程(�0是:e),

�0�0

将代入切�线−方e程=得e:(�−�,)

故切(−点1是,0),切线的斜率是�01=,0

只需(0,1)即可,解得,即,

11

22

故选:−2D�.>1�<−�∈−∞,−

9.已知是函数(且)的3个零点,则

���3

的取值范�1围,�2是,�(3�1<)�2<�3�(�)=��+1+��−1�∈��≠0�+�1

A.B.

C.[1,+∞)D.(1,+∞)

【答(案2,】+B∞)[2,+∞)

【解析】

因为,设,

则�0=0��0=0

−�0−�0−�0�0�0

�−�0=−�0�.+1+��−1=�−�01+�+�1−�

−�0

=因−为���0=0,所以,,

所以�1<�2<�3.�2=0�3=−�1>0

�3�3

设�+�1=�−�3,,

��

所以��=在�−��>为0增函�数'�,即=�−1>0.

所以��0的,+取∞值范围是�,�>�0=1

�3

故选:�B+�11,+∞

10.已知函数若,且,则的最大值是()

e−1,�⩾0,

��=�<���=���−�

A.�B+.11,�<0,C.2D.

【答ln案2】Bln3

【解析】

作出图象,如图,

e−1,�⩾0,

��=

�+1,�<0,

设,则,由,得,

所以��=�+1=��=�−.1��=e−1=��=ln�+1

设�−�=ln�+1−�−1,则,

�+1

所以��=在ln�+上1单−调�递−减1,,�则∈0,1�'�=−.<0

故选:�B�0,1�(�)max=�0=1

11.对于函数,下列说法正确的是()

ln�

2

��=�

A.在处取得极大值

1

2�

B.��有两�=个不�同的零点

C.��

D.�若2<�π在<�3上恒成立,则

1�

2

��>2

【答案�】�AC<D�−0,+∞

【解析】

【解】A选项,,定义域为,,令,解得,

ln�1−2ln�

23

当时�,�=�,函数0,+在∞∴上�'单�调=递增�,�'�=0�=�

当0<�<时,��'�,>0函数∴在��0,�上单调递减,

函�数>在��'时�取<得0极大∴值也是��最大值�,+∞,故A对,

1

∴�=���=2�

B选项,时,,,当时,如下图所示:

1

∵0<�<1��<0�1=0�(�)max=��=2�>0�>1��>0

函数有且只有唯一一个零点,故B错,

C∴选项�,�当时为单调递减函数,,

∵�>���,∴�π<�3,故C对,

ln2ln2

∵�2=2=4=�(2)<�(π)∴�2<�π<�3

D选项,,故,由于函数在上恒成立,

11ln�+1

222

∵��<�−��>��+�=�0,+∞

,设,定义域为,则,

ln�+1ln�+1−2ln�−1

223

∴�>�max��=�0,+∞�'�=�

设,解得,单调递增,单调递减,

11

�'�=0�=�∴�∈(0,�),�'�>0,�(�)�∈(�,+∞),�'�<0,�(�)

,故,故D对.

1���

∴��max=��=�−2=2�>2

故选:ACD.

12.对于函数,下列选项正确的是()

ln�

��=�

A.函数极小值为,极大值为

11

��−ee

B.函数单调递减区间为,单调递增区为

C.函数��最小值为为,最−∞大,值−e∪e,+∞−e,0∪0,e

D.函数��存在两个零−点e1和e

【答案】�A�D−1

【解析】

的定义域为,

ln�

��=�(−∞,0)⋃(0,+∞)

所以,

ln−�ln�

�(−�)=−�=−�=−�(�)

所以为奇函数,

ln�

��=�

当时,,,

ln�1−ln�

2

令�>0,�解�得=�,�'(�)=�

当�'(�)=0时,�=e,则为单调递增函数,

当�∈(0,e)时�,'(�)>0,�则(�)为单调递减函数,

因为�∈(e,为+奇∞)函数,�'图(�象)<关0于原点�(对�)称,

所以�(�)在上单调递减,在是单调递增,

所以�(�)的(极−小∞值,−为e)(−,e极,0大)值为,故A正确;

ln−e1lne1

−eeee

的�(单�)调递减区间为�(−e)==−,单调递增�区(e)为==,故B错误;

�(�)在−∞无,最−值e,,e故,+C∞错误;−e,0,0,e

�令�(−∞,,0解)⋃得(0,+∞),结合的单调性可得,存在两个零点1和,故D正确.

故选��:A=D0�=±1�(�)��−1

13.已知函数�,下列选项正确的是()

e�e,�≤1

��=

A.点是函数的�,零�>点1

B.0,0��,使

C.函∃�数1∈0,1的,值∃�域2为∈1,3��1>��2

−1

D.若关�于�x的方程−e,+∞有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是

21

2e

【答案】CD��−2���=00,+∞∪−

【解析】

解:对于A,因为,所以是函数的零点,故A错误;

对于C,当时�,0=0,�则=0��,

��

当时�,≤1�,�当=�e�'�时,=�+1e,

所以�<函−数1在�'�<0上递−1减<,�在<1上�'递�增>,0

所以��−∞,−1,−1,1

−1

又当��min=时�,−1=−e,,

故当�→−∞时,��→0−�,e=e

−1

当�≤时1,��∈,−则e,e,

��

ee�−1

2

所以�>函1数�在�=�上�递�增,=�>0

故��1,,+∞

故当��>�时1,=e,

综上所�>述1,函数��∈的值e,域+为∞,故C正确;

−1

��−e,+∞

对于B,由C可知,函数在上递增,在上递增,

则,��0,11,3

所以��不1存<在e,��2>e,使,故B错误;

对于D,关于�1x∈的0方,1程,∃�2∈1,3��1>有�两�个2不相等的实数根,

2

即关于x的方程��−2��有�两=个0不相等的实数根,

所以或����−2�,=0

由C�知�,方=程0��−2只�有=一0个实数根,

所以方程��=0也只有一个实数根,

即函数��−与2�函=数0的图象只有一个交点,

如图,画�=出�函�数�=的2简�图,

则或�=�,�

1

2�=−e2�>0

所以或,

1

�=−2e�>0

所以实数a的取值范围是,故D正确.

1

2e

故选:CD.0,+∞∪−

14.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小

32

值的和为__�__�___=.2�−��−1�∈R−∞,0��−1,1

【答案】

【解析】3

当时,由可得,令,其中,

11

22

�<0��=0�=2�−���=2�−��<0

则,由,可得,列表如下:

3

22�+1

33

�'�=2+�=��'�=0�=−1

�−∞,−1−1−1,0

�'�+0−

增极大值减

��−3

如下图所示:

因为在内有且只有一个零点,则,

32

所以,��=2�−��−1�,∈则R−∞,0,�=−3

322

当��=2时�,+3�−1,此�时'函�数=6�单+调6�递=减6,��+1

当−1<�<0时,�'�<0,此时函数��单调递增,

则当0<�<1时,�'�>0�,�

又因为�∈−1,1,��min=,�所0以=,−1,

因此,�−1在=0�上1的最=大4值与最小�值�的m和ax为=4.

故答案为��:.−1,1−1+4=3

15.若函数3在区间上有最大值,则实数的取值范围是__________.

32

【答案】�(�)=�−3�(�−12,�)�

【解析】−1,2

32

∵令�(�)=�−解3得�∴�'(�)=;3�令−3,解得或

由此�'(可�)得<0在−1<�<上1时增�函'(�数),>在0�上>是1减函�数<,−在1上是增函数,

故函数在�(�)(处−有∞极,−大1)值,在处有(极−小1,值1),(1,+∞)

�=−1�=1

2,解得

�−12<−1

∴�>−1−1<�≤2

故答�(案�)为≤:�(−1)

16.已知函数−1,2的定义域是,关于函数给出下列命题:

①对于任意��=e−,�函ln数�存在最小0,值+;∞��

②对于任意�∈0,+∞,函数��是上的减函数;

③存在�∈−∞,,使0得对于任��意的0,+∞,都有成立;

④存在�∈−∞,0,使得函数有�两∈个0零,+点∞.��>0

其中正确�∈命题0,的+序∞号是______.��

【答案】①④

【解析】

解:定义域为,.

���

∵��=e−�ln�(0,+∞)∴�'�=e−�

当时单调递增,值域为R,所以存在,使,

��

0

当�∈(0,+∞时)�'�=e,−�时,所以在�上∈单0,调+递∞减,在�'�=0上单调递增,则

0<为�函<数�的0最�小'�值,<故0①�正>确�0;�'�>0�(�)(0,�0)(�0,+∞)

�若(�最0)小值,即,又,即,即时函数

�0�0�0�0

有两个零点�(�,0)<0e−�ln�0<0�=�0ee−�0eln�0<01−�0ln�0<0��

令,则,当时,当时,

11

��=�ln��'�=1+ln�0<�<e�'�<0�>e�'�>0

所以在上单调递减,在上单调递增,所以,

1111

eeminee

所以存�在�使0得,,即存在,+∞,使得函数��有两=个�零点,=−故④正确.

当�0时�0,ln�0>1恒成立�,∈故0,+∞是上的�增�函数,故②错误;

因为�∈(−∞,,0当)�'�>时0,当�(�)0,+∞时,则,且当时,

�+

所以不e存>在10<�<,1使得ln对�于<任0意的�∈(−∞,0),都−�有>0−�成ln立�,<故0③错误�;→0ln�→−∞

故答案为:�①∈④.−∞,0�∈0,+∞��>0

17.已知函数,.

1−�2

(1)若,求��=的e最小+值�;�−1�∈R

1

�=2��

(2)若当时,恒成立,求a的取值范围.

1

【答案】�>(1)11��>+ln�

(2)

1

【解2析,+】∞

(1)当时,,

11−�12

所以�=2�(�)=e,易+知2�单−1调递增,且,

1−�'

当�'(�)=−e时,+�,�(当�)时�,'(1)=0,

所以�∈(−在∞,1)�上'(单�)调<递0减,�在∈(1,+∞上)单调�递'(�增)>,0

所以�(�)的(最−小∞值,1为).(1,+∞)

(2)设�(�)�(1)=1,由题意对任意恒成立.

1−�21

�(�)=e+��−1−�−ln��(�)>0�∈(1,+∞)

11

1−�2

�'(�)=−e+2��+�−�

若,则,则存在,使得当时,,

1

00

所以�<2在�'(1)上=单2�调−递1减<,0�>1�∈1,��'(�)<0

故当�(�)(1,�时0),,不符合题意.

0

若�∈,1由,��(�)知<当�(1)=时0,,所以,

1��−11−�1

�≥2�>�+1�>0e>�>0e<�

当时,,

32

1−�11111�−2�+1�−2�+1

2222

因此�>1在�'(�)=上−单e调递+增2�.�又+�−�>−,�+�+�−�=�>�>0

所以当�(�)(1时,+,∞).�(1)=0

综上,�的>取1值范围�(是�)>0.

1

2

18.已知�函数,+∞.

(1)当时,�求�函=数e−��−的1极�值∈;R

(2)若函�=数1�=��在无零点,求实数a的取值范围.

【答案】(�1()极�)小=值�(为�)+,ln无�极−大e值1,+∞

(2)2

【解�∈析】−∞,e+1

(1)由题知,当时,,

∴�=,1令�(�)=,e−(.�−1)�∈R

∴�'�=e−时1,�'�=,0�=单0调递减;

�∈−∞,0时,�'�<,0��单调递增.

�∈0,+∞�'�>0��

∴是的极小值点,∴的极小值为,无极大值.

(2)�由=题0知�����0=2,

∴�(�)=�(�,)+ln�;−e令=e−�(�−1)+,ln�−e�>1

�1�1

�'�=e−�+��>1ℎ�=e−�+��>1

∴,∵,∴恒成立,

1

�2

∴ℎ'�单=调e递−增�,即�>1单调递ℎ增'�.>0

①ℎ当�时,∴�'�,∴单调递增

∴�≤e+1恒�成'立�,>即�'1在=e+1−�上≥无0零点,�∴�.

②�当�>�1时=,0令�,�1,,+∞,又�∈−单∞调,e递+增1,

∴�>e+时1,�'�,=0�=�0�时0,∈1,+∞,�'�

∴�∈在1,�0�'时�单<调0递减�∈,�0,+∞时�',�单>调0递增,

∴���∈1,�0,又�∵∈�0,+∞时,

∴��min=��0,<�1=0,即�→在+∞�上�有零→+点∞,不合题意;

综上∃�所1∈述�0,+∞��1.=0��1,+∞

19.已知函�∈数−∞,e+1,其中且

32

(1)当时,�求�函=数��+的�极−值��;�∈R�≠0

(2)求函�=数1��的单调区间;

��3

��

(3)若存在��=−,ln使�函数,在处取得最小值,试求

的最大值.�∈−∞,−1ℎ�=��+�'��∈−1,��>−1�=−1�

【答案】(1)极大值为,极小值为

15

327

(2)答案见解析�−1=1�=−

(3)

17−1

【解析2】

(1)当时,,则,

32'2

当�=1��=�+�时−,���;=当3�+2�−时1=,3�−1;�+1

11

∴�∈−∞,−1⋃3,+∞�'�>0�∈−1,3�'�<0

在,上单调递增,在上单调递减,

11

∴��−∞,−13,+∞−1,3

的极大值为

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