2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题11三角函数的定义、同角三角函数基本关系（教师版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题11三角函数的定义、同角三角函数基本关系

基础知识复习

1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分

类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．

(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说

这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度

数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

180

π

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝rad，1rad＝π°.

180

11

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.

22

3．任意角的三角函数

任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，

y

则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．

x

三个三角函数的性质如下表：

三角

定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号

函数

sinαR＋＋－－

cosαR＋－－＋

π

{α|α≠kπ＋，

tanα2＋－＋－

k∈Z}

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

sinαπ

(2)商数关系：＝tanα(α≠＋kπ，k∈Z)．

cosα2

5．三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

ππ

角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α

22

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα

余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα

正切tanαtanα－tanα－tanα

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【知识拓展】

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα.

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

2

典型习题强化

题型一利用定义求三角函数值

【例1】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称.若角的

25

终边与单位圆⊙O交于点P(,)，则cos（）

33

2255

A．B．C．D．

3333

【答案】B

25

【分析】根据对称可得P(,)，进而根据三角函数的定义即可求解.

33

25

【详解】角与角终边关于原点O对称，且若角的终边与单位圆⊙O交于点P(,)，所以角的终

33

25

边与单位圆⊙O交于点P(,)，

33

2

故cos，

3

故选：B

【例2】已知角的终边落在直线y2x上，则sin的值为（）

2552525

A．B．C．D．

5555

【答案】D

【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论.

【详解】设直线y2x上任意一点P的坐标为(m,2m)（m0），

2

则OPm22m5m（O为坐标原点），

y2m2m

根据正弦函数的定义得：sin，

rOP5m

2525

m0时，sin；m0时，sin，

55

所以选项D正确，选项A，B，C错误，

故选：D.

2π2π

【变式1-1】已知角的终边上一点的坐标为sin，cos，则角的最小正值为（）

33

5π2π

A．B．

63

5π11π

C．D．

66

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可.

2π2π

【详解】因为角终边上一点的坐标为sin，cos，

33

2π1

cos

3

所以有tan32，

2π

sin33

32

2π12π3

因为cos0,sin0，

3232

所以角是第四象限角，

π11π

所以角的最小正值为2π，

66

故选：D

34

【变式1-2】已知角以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点,，则下列各式正确的有（）

55

71

A．sincosB．sincos

55

129

C．sincosD．sintan

2520

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可.

34

【详解】因为角以坐标系中Ox为始边，终边与单位圆交于点,，

55

434

所以sin,cos,tan，

553

7

所以sincos，故A错误；

5

1

sincos，故B错误；

5

12

sincos，故C正确；

25

4416

sintan，故D错误.

5315

故选：C.

511

【变式1-3】已知角的终边与一次函数yx(x≤0)的函数图象重合，则cosa的值为．

12tanasina

77

【答案】

13

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的正切值、正弦值、余弦值，可得要求式子的值．

5

【详解】∵角的终边与一次函数yx(x≤0)的函数图象重合，

12

则不妨在角的终边上取点P(12,5)，则|OP|13,

1255

∴cos，sin，tana,

131312

1112121377

则cosa，

tanasina135513

77

故答案为：．

13

题型二根据三角函数值求参数

1

【例3】设是第二象限角，Px,1为其终边上一点，且cosx，则tan.

3

21

【答案】/2

44

【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.

x111

【详解】由题设cosx0，则且x0，可得x22，

x213x219

12

所以tan.

x4

2

故答案为：

4

2

【例4】已知为第二象限角，点Px,5在其终边上，且cosx，则tan．

4

15

【答案】

3

【分析】根据根据三角函数定义和所在象限求出x值，再根据三角函数定义求出正切值.

x2

【详解】根据三角函数定义cosx，解得x3，

x254

因为为第二象限角，所以x3，

515

所以tan.

33

15

故答案为：.

3

【变式2-1】已知角的终边经过点Ax,2，B8,y，且yx8，则sin（）

552525

A．B．C．D．

5555

【答案】B

2y

【分析】由三角函数的定义，有tan，结合yx8，解出x,y，可求sin.

x8

2yx425

【详解】由题意可得tan，所以xy16,又yx8，所以，则sin.

x8y41645

故选：B

【变式2-2】若300°角的终边所在直线上一点为4,a，则a的值为．

【答案】43

【分析】根据横坐标判断终边位置，结合三角函数定义可解.

【详解】∵40，且点4,a在300所在直线上，

∴点4,a在120°角的终边上，a0，

a3

sin120，得a43.

16a22

故答案为：43

【变式2-3】（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点A1,a，Bb,1

1

且sin，则（）

3

2

A．aB．b22

4

222

C．cosD．tan

34

【答案】BCD

【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程可求出a,b的值，从而可求出角的其它三角函数值.

【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点A1,a，Bb,1且

1

sin，

3

a11

所以，

1a2b213

1

所以a2,b28，

8

a1

由，可知a0，所以角为第二象限的角，所以b0，

1a23

2

所以a,b22，所以A错误，B正确，

4

b22112

所以cos，tan，所以CD正确，

b213b224

故选：BCD

题型三象限的符号问题

【例5】设是三角形的一个内角，下列那些值有可能取负值？

sin，cos，tan，tan

2

【答案】cos，tan有可能取负值

【分析】根据题意结合三角函数值的符号分析判断.

π

【详解】因为(0,π),0,，

22

所以sin0，tan0恒为正数，cos,tan可能为负值.

2

sinxcosxtanx

【例6】当x为第四象限角时，（）

sinxcosxtanx

A．1B．1C．3D．3

【答案】B

【分析】由象限角确定对应函数值符号，进而化简目标式求值.

【详解】由x为第四象限角，则sinx0,cosx0,tanx0，

sinxcosxtanxsinxcosxtanx

所以1.

sinxcosxtanxsinxcosxtanx

故选：B

【变式3-1】“cos0且tan0”是“为第三象限角”的（）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数符号判断即可.

π3π

【详解】充分性：由cos0可知2kπ2kπ,kZ，

22

π3π

由tan0可知2kπ2kπ或π2kπ2kπ,kZ，

22

3π

综上，π2kπ2kπ,kZ，即为第三象限角.

2

必要性：若为第三象限角，则cos0且tan0.

所以“cos0且tan0”是“为第三象限角”的充要条件.

故选：A

【变式3-2】已知是第二象限角，则（）

A．sin0B．cos0

22

θ

C．tan>0D．tan0

22

【答案】C

【分析】由题意利用象限角的概念求解即可.

【详解】∵θ是第二象限角，

π

∴2kπ+2kπ+π,kZ,

2

ππ

∴kπ+kπ+,kZ

422

θ

∴是第一或第三象限角，可得tan>0.

22

故选：C.

【变式3-3】（多选）下列函数值符号为正的是（）

A．sin155B．cos225

3π7π

C．tanD．tan

46

【答案】AD

【分析】利用三角函数的象限角的符号判断.

【详解】解：因为155是第二象限角，所以sin1550，故A正确；

因为225是第三象限角，所以cos2250，故B正确；

3π3π

因为是第二象限角，所以tan0，故C正确；

44

7π7π

因为是第三象限角，所以tan0，故D正确；

66

故选：AD

题型四弦切知一求二

4

【例7】若tan，0,π，则cos的值为（）

3

3344

A．B．-C．D．

5555

【答案】A

【分析】利用商关系和平方关系建立方程组可得答案.

4sin4

【详解】因为tan，所以；

3cos3

16223

因为sin2cos21，所以coscos1，解得cos；

95

4π3

因为tan0,0,π，所以0,，所以cos.

325

故选：A.

2

【例8】若0,π，2sincos，则tan（）

5

3431

A．-B．C．D．

5544

【答案】C

【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得sin，进而得到cos，由同角三角函数商

数关系可求得结果.

22

【详解】由2sincos得：cos2sin，

55

2

2222284

sincossin2sin5sinsin1，

5525

37

解得：sin或sin，

525

3264

又0,π，sin0，即sin，cos，

5555

3

sin3

tan5.

4

cos4

5

故选：C.

1

【变式4-1】已知cos，则sin的值为（）

3

226226

A．B．C．D．

3333

【答案】C

【分析】根据同角三角函数基本关系求解.

1

【详解】因为cos，

3

122

所以sina1cos21，

93

故选：C

12

【变式4-2】（1）已知cos，且为第四象限角，求sin和tan的值；

13

π

（2）已知tan3,π，求sin,cos的值；

2

1

（3）已知sincos，若是第二象限角，求sincos的值．

5

55103107

【答案】（1）sin，tanθ=-；（2）cos，sin；（3）sincos.

131210105

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；

（2）由同角三角函数的基本关系求解；

（3）由(sincos)212sincos得sincos的值，再由(sincos)212sincos求解.

【详解】（1）因为为第四象限角，则sin0，

2

2125

sin1cos1，

1313

5

sin135

tan.

cos1212

13

sin

（2）因为tan3，所以3，则sin3cos.

cos

21

又sin2cos21，故(3cos)2cos21，则cos.

10

10

因为，所以sin0，cos0，故cos，

210

310

所以sin1cos2.

10

1

（3）(sincos)2sin2cos22sincos12sincos，

25

24

所以2sincos，

25

2449

所以(sincos)2sin2cos22sincos12sincos1，

2525

7

所以sincos,又因为是第二象限角，所以sin0，cos0，

5

7

所以sincos.

5

2

【变式4-3】已知2cos3sin0,,，则cosθ的值是（）

22

1233

A．B．C．D．

2223

【答案】C

【分析】由同角三角函数平方关系，将已知条件化为(2sin1)(sin2)0求sin，结合(,)及平

22

方关系求cos即可.

1

【详解】由题设，2sin23sin2(2sin1)(sin2)0，可得sin或sin2（舍），

2

3

又(,)，则cos1sin2.

222

故选：C

题型五正余弦齐次式的运算

【例9】已知sin2cos，则3sin24sincos．

【答案】4

【分析】首先求tan，再将所求转化为齐次分式形式，并用tan表示，即可求解.

【详解】因为sin2cos，则tan2，

3sin24sincos3tan24tan3442

原式4.

sin2cos2tan2141

故答案为：4

1

【例10】已知tan2，则＝.

sin2sincos2cos2

5

【答案】

4

1sin2cos2sin

【分析】，再利用tan可得答案.

sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2cos

【详解】因sin2cos21，tan2,

1sin2cos2sin

则，又tan，

sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2cos

sin2cos2tan21415

则.

sin2sincos2cos2tan2tan24224

5

故答案为：

4

【变式5-1】已知角的终边经过点P(a,3a)(a0)，

sincos

(1)求的值；

sincos

(2)若sin,cos是方程x2mxn0的两个根，求m2n的值.

1

【答案】(1)

2

19

(2)

10

【分析】（1）先由三角函数的定义求得tan，再利用齐次式法即可得解；

（2）先利用韦达定理求得m,n关于sin,cos的表达式，再利用齐次式法即可得解.

3a

【详解】（1）因为角的终边经过点P(a,3a)(a0)，所以tan3，

a

sincostan1311

则.

sincostan1312

（2）因为sin,cos是方程x2mxn0的两个根，

所以sincosm，sincosn，且m24n0，

23sincos

则m2nsincossincos13sincos1

sin2cos2

3tan3319

11.

tan2132110

4sin2cos

【变式5-2】已知1，

5sin3cos

(1)求tan的值；

(2)求2sin23cos2sincos的值．

【答案】(1)5

21

(2)

13

【分析】（1）等式左边的分子，分母同除以cos得到关于正切的方程，求出答案；

2sin23cos2sincos

（2）式子化为，化弦为切，代入求值即可.

sin2cos2

4sin2cos

【详解】（1）1，等式左边的分子，分母同除以cos得，

5sin3cos

4tan2

1，即5tan34tan2，

5tan3

解得tan5；

2sin23cos2sincos

（2）2sin23cos2sincos

sin2cos2

2

2tan23tan253521

2

tan215113

3π110

【变式5-3】已知π，tan

4tan3

(1)求tan的值；

sincos

(2)求的值；

sincos

(3)求2sin2sincos3cos2的值．

1

【答案】(1)

3

1

(2)

2

11

(3)-

5

【分析】（1）根据角的范围确定1tan0，即可由一元二次方程求解，

（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.

3π

【详解】（1）由于π，所以1tan0，

4

110

又tan得3tan210tan30，

tan3

1

解得tan或tan3（舍去），

3

1

故tan

3

1

1

sincostan11

（2）3

1

sincostan112

3

（3）

2

11

22223

2sinsincos3cos2tantan311

2233

2sinsincos3cos2222

sincostan115

1

3

题型六sincos与sincos关系应用

1

【例11】（多选）已知0,π，sincos，则下列结论正确的是（）

5

12π

A．sincosB．,π

252

37

C．cosD．sincos

55

【答案】BD

【分析】通过平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

1

【详解】依题意，0,π，sincos，

5

1

两边平方得sin22sincoscos212sincos，

25

12π

sincos0，所以π，A选项错误，B选项正确.

252

2

则sinθ-cosθ>0，所以sincossincos12sincos

247

1，所以D选项正确.

255

1

sincos

53

由，两式相减并化简得cos，所以C选项错误.

75

sincos

5

故选：BD

10

【例12】已知sincos，则sin4cos4，若π,0，则tan.

5

411

【答案】/0.82

503

10

【分析】根据sincos及sin2cos21从而可求出空①，又π,0，利用同角三角函数的

5

关系可求出空②.

10222

【详解】由题意：sincos，得：sincos2sincos，

55

3

所以：sincos，

10

2

2

442222341

所以：sincossincos2sincos12，

1050

因为：π,0，所以：sin0，

10

又因为：sincos，得：cos0，

5

2228210

所以：sincossincos2sincos，得：sincos

55

1010310

又因为：sincos，所以：sin，cos，

51010

10

sin1

所以：tan10.

cos3103

10

411

故答案为：；.

503

2

【变式6-1】已知sinxcosx，x0,π，求sinxcosx的值．

3

【答案】14

3

25214

【分析】sinxcosx两边平方得到2sinxcosx，进而求出sinxcosx，

399

结合角的范围和sinxcosx0得到sinx0,cosx0，从而求出答案.

24

【详解】sinxcosx两边平方得sin2x2sinxcosxcos2x，

39

45

即12sinxcosx，故2sinxcosx，

99

222514

sinxcosxsinx2sinxcosxcosx1，

99

又x0,π，sinxcosx0，故sinx0,cosx0，sinxcosx0，

14

故sinxcosx.

3

1

【变式6-2】已知sin,cos是关于x的方程x2axa0的两个根aR，则tan．

tan

【答案】12/21

sincosa2

【分析】根据根与系数关系可以求得，然后利用sincosa2，求出a的值，然后

sin·cosa

111

tan即可求解.

tansincosa

2

【详解】由题意得：sin，cos是x2axa0的两个根，即：a4a0，解得：a4或a0，

sincosa2

由根与系数的关系得：，所以：sincos12sincosa2，

sin·cosa

即：a22a10，解得：a12，a12（舍去），

1sincos111

tan12.

tancossinsincosa12

故答案为：12.

133

【变式6-3】已知sincos，则sincos．

4

47

【答案】

128

33221

【分析】由立方差公式，得sincossincossincossincos.将sincos两

4

边平方，解得sincos15，代入即可得解.

32

【详解】由题知sin3cos3sincossin2cos2sincos，

1

因为sincos1，两边平方有12sincos，

416

3311547

所以sincos15，所以sincos1.

32432128

47

故答案为：.

128

题型七同角三角函数关系的化简求值

3π1sin1sin

【例13】若π，则的化简结果是（）

21sin1sin

2222

A．B．